15.3等腰三角形 巩固练习卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3等腰三角形 巩固练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 4．如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏东的方向行驶到达地，再由地向北偏东的方向行驶到地，则，两地相距（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交于N，若，则的值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形是一个筝形，其中，，则下列结论不正确的是（     ） A．垂直平分 B． C． D．筝形的面积 9．如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分 11．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 12．如图，在中，，D在延长线上，，则________． 13．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为______． 14．如图，在中，，，是的角平分线，是的高，、相交于点F，则的度数是__________． 15．如图，在中，的垂直平分线交边于点．若，，则_________． 16．如图，在中，，，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．如图，点在上，，．求证：． 18．如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 19．在直角三角形中，，三等分，，求证：． 20．如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 21．如图，在中，，，交边于点，是边上的点，． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 22．如图，在中，，，，点D是的中点，于交于F，交的延长线于E． (1)_________（无需证明，直接写结果） (2)求证：垂直且平分． 23．如图，在中，，，点D是上一点，将沿翻折，点B的对应点E落在的外部． (1)若，求的度数； (2)设（），用含α的式子表示的度数，并说明理由； (3)当α为何值时，？ 24．解答下列各题： (1)【发现】将两个三角板（，，）如图1互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，若，，则_________ (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起（，，），当顶点在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为_________；若，连接，则与的比值为_________． (3)【应用】将等腰直角三角板（，）如图3放置，在x轴上，B在y轴正半轴上且，过点作射线（射线与边有交点），过点作于点，过点作于点E，过点E作于点F交y轴于点G．点G的坐标为______． (4)【逆向思维】如图4，于点，且，若点是的角平分线的交点，点是的中点．求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 15.3等腰三角形 巩固练习 （参考答案及解析） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C A D B C B 1．C 【分析】分的角是顶角或底角两种情况分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若的角是顶角，则顶角为； ②若的角是底角，则顶角为； 综上所述，它的顶角的度数为或． 2．D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 3．B 【详解】解：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形． ∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴B正确，A错误． ∵等腰三角形的顶角可以为锐角、直角或钝角， ∴等腰三角形不一定是锐角三角形，也不一定是钝角三角形，C、D错误． 4．B 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理及对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 6．A 【分析】根据方位角求出，结合判定三角形为等边三角形，进而由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得， ∵南北方向线平行， ， ，， 是等边三角形， ， 即，两地相距． 7．D 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. 8．B 【分析】根据垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和分割法求面积，逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 是的垂直平分线，即垂直平分； B、根据题中的条件，无法证明； C、，垂直， ； D、垂直， 筝形的面积； 综上：选项B符合题意． 9．C 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 10．B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 11． 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 12． 【分析】根据等边对等角得出，再根据外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．/26度 【分析】首先利用等边对等角求出，然后由垂直平分线的性质得到，结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图得，垂直平分 ∴ ∴． 14．/55度 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． 15． 【分析】根据中垂线的性质，得到，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可. 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交边于点， ∴， ∴， ∴， 由图可知， ∴. 16．17 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，从而可得，，再结合三角形周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 17．证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出． 【详解】证明：略 18．证明：∵于，于， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明即可求证． 【详解】略 19．证明：，，三等分， ， ， ， ． 【分析】通过已知条件可以求得，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】略 20．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 如图，即为所求作． ∵ ∴ ∵是的平分线 ∴． 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作出的平分线，然后利用三线合一即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1) (2)解：．理由如下： 由（1）知． ， ． ， ， ， ． 由（1）知， ． 【分析】（1）先根据直角三角形的两个锐角互余，得出，根据等边对等角得出，运用三角形内角和性质，得，根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角即可求出的度数； （2）由（1）知，结合三角形内角和得出，根据直角三角形的两个锐角互余得出，则，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． ， ， ． （2）略 22．(1)45 (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：是等腰三角形，且， ∴， 即垂直且平分． 【分析】（1）证明，可得，再证明是等腰直角三角形，即可求解； （2）证明，再结合是等腰三角形，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）略 23．(1) (2)解：． 理由：∵，， ∴． ∵， ∴， ， 由折叠可得， ∴． (3) 【分析】（1）根据等边对等角求出，结合，求出，，由折叠可得，从而根据角的和差即可求解； （2）同（1）思路求解即可； （3）当时，，据此列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ， 由折叠可得， ∴． （2）略 （3）解：当时，， 由（2）有，， ∴，解得． ∴当时，． 24．(1)9 (2)； (3) (4)证明：∵， ∴， ∴； ∵点是的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴，， ∴； 同理可证明，， ∴； 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵点F为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点K， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得到，再由线段的和差关系可得答案； （2）过点C作交的延长线于点G，交于点H，证明，得到，则可得到；证明，得到，则，据此可得； （3）由三线合一定理得到，证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到；再证明，得到，则，即可得到点G的坐标为； （4）可求出；证明，得到，，则；同理可证明，，则；延长到点G，使得，连接，证明，得到，证明，得到；延长交于点K，可证明，得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，过点C作交的延长线于点G，交于点H， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 由题意得，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，设交x轴于点P，交y轴于点Q， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为； （4）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $