15.1 第1课时 轴对称及其性质-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

∴.∠ACM+∠CAM=90°..∠BCP=∠CAM.在 ∠BPC=∠CMA, △CBP和△ACM中，∠BCP=∠CAM,∴.△CBP≌ CB=AC. △ACM(AAS).∴.MC=BP.同理，可得CM=DQ. f∠BNP=∠DNQ. ..DQ=BP.在△BPN和△DQN中，∠BPN=∠DQN, BP=DQ, 第十五章 15.1图形的轴对称 第1课时轴对称及其性质 1.DA,B,C选项的文字均无法找到一条直线，使文字沿 直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，故都不能看 作是轴对称图形；D选项的文字能找到一条直线，使文字沿 直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，故能看作是 轴对称图形 方法归纳 “火眼金睛”识别轴对称图形 识别轴对称图形时，通常的依据是轴对称图形的概 念，识别方法如下：将图形沿某条直线折叠，再观察直线 两旁的部分是否互相重合，能够互相重合的就是轴对称 图形，否则就不是轴对称图形 2.D由轴对称的性质可知，关于某条直线对称的两个图 形互相重合，.△ABC≌△A'B'C,故①正确. △ABC≌△A'B'C',∴.∠BAC=∠B'A'C',故②正确， ·C,C是对称点，对称轴垂直平分对称点所连线段，∴直 线l垂直平分CC',故③正确.把BC,B'C延长，会发现一 定交于对称轴上一点，故④不正确 3.2由题图知，涂色部分的面积可转化为正方形ABCD 面积的一半.：正方形ABCD的边长为2，∴.题图中涂色 部分的面积为号×2=2。 4.,'六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是 它的对称轴，∴.∠AFC=∠EFC,∠BCF=∠DCF. :∠AFC+∠DCF=150,∴.∠AFE+∠BCD= ∠AFC+∠EFC+∠BCF+∠DCF=2(∠AFC+ ∠DCF)=2X150°=300°. 5.C如图，与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形 .∴.△BPN≌△DQN(AAS)..'.BN=ND.∴.N是BD的 中点 (第18题) 轴对称 有△BAG,△FDC,△AFE,△DBH,△GCB,共5个. H (第5题) 6.B如图，连接OP1,OP2,PP2.点P关于直线AB, CD的对称点分别是P1,P2.易得OP,=OP=4,OP2= OP=4.OP-OP2<P P2<OP +OP2,.0< P,P2<8.∴.点P,,P2之间的距离可能是7. D P C B P (第6题) 7.62°.∠MGE=62°，.∠MGN+∠EGF=180° ∠MGE=118°.由折叠的性质可知，∠B=∠MGN,∠C= ∠EGF,∴.∠B+∠C=∠MGN+∠EGF=118. .∠A=180°-（∠B+∠C)=62 8.(1)a+2∠B=90°.∠C=90°，.∠CAB+∠B= 90°，即a十∠NAB+∠B=90°.'点A,B关于直线MN 对称，.易得∠NAB=∠B.∴.a+2∠B=90°. (2)△ABC的周长为24，.AC+BC+AB=24. :BC-专AC,AB=号ACAC+号AC+号AC=24, 解得AC=6.∴.AC的长为6. 9.(1)如图所示.(2)如图，连接NE.易证△NEM≌ △ACM,.NE=AC=AB,∠ENA=∠MAC.:DML AM,∴.∠AMD=∠NMD=90°.易证△ADM≌△NDM, ∴.DN=DA,∠DNA=∠DAM.易证△NDE≌△ADB, ∴.∠DNE=∠DAB.∴.∠DAN=∠DNA=∠DNE+ ∠ENM=∠DAB+∠MAC,·∠DAM=2∠BAC. D N M (第9题) 第2课时线段的垂直平分线 1.C:AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC 的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,∴.EA=EB GA=GC..△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+ EG+GC=BC=7. 2.DA.逆命题为如果两个直角三角形的斜边相等，那么 它们全等，错误，是假命题，不符合题意；B.逆命题为如果 两个实数互为相反数，那么它们的商为一1，错误，是假命 题，不符合题意：C.逆命题为如果√a=√，那么a=b, 错误，是假命题，不符合题意；D.逆命题为如果三角形两边 上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，正确，是真命 题，符合题意 3.40°，ED垂直平分AC,∴.AE=CE.易证△ADE≌ △CDE,∴.∠C=∠DAE.又∠ABC=90°，∴.∠C+ ∠DAE+∠BAE=90°..∴.2∠C+10°=90°..∴.∠C=40. 4.(1):AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F,∴.∠EAD=∠FAD,∠DEA=∠DFA=90°，DE= DF.∴.点D在EF的垂直平分线上.在△AED和△AFD ∠DEA=∠DFA, 中，∠EAD=∠FAD,∴.△AED≌△AFD(AAS). AD=AD, ∴.AE=AF.∴.点A在EF的垂直平分线上.∴.AD垂直 平分EF.(2)由(1)得，DE=DF.DE=3,.DF=3. :AB+AC=10,∴.△ABC的面积=△ABD的面积+ △MCD的面积-2AB·DE+号AC·DF-(AB+ AC·DE=3×10X3=15. 方法归纳 证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件 (1)存在两点：直线上有两个不同的点。 (2)到线段两端的距离相等：两点到线段两个端点 的距离分别相等 根据两，点确定一条直线，推导出这两个点所在的直 线就是这条线段的垂直平分线 5.C如图，连接AO..11垂直平分AB,l2垂直平分 AC,∴.AO=BO,AO=CO.∴.易得∠OBA=∠OAB, ∠OCA=∠OAC.:∠OAB+∠OAC=∠BAC=78, ∴.∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=78.:∠ABC+ ∠ACB=180°-∠BAC=180°-78°=102°，∴.∠OBC+ ∠OCB=∠ABC-∠OBA+∠ACB-∠OCA=102° 78=24°.AO=B0,AO=CO,.B0=C0. ∴.∠OBC=∠OCB=12° B (第5题) 6.1<m<5AD=3,AC=5,DE垂直平分BC,.BD= CD=5-3=2.AD-BD<AB<AD+BD,.3-2< m<3+2,即1m<5. 7.(6,6)或（一2,2）分两种情况讨论：①如图①，过点C 作CD⊥OB于点D,CE⊥x轴于点E.∴.∠BDC= ∠AEC=90°.∠BCA=∠DCE=90°，∴.∠BCD= ∠ACE=90°-∠ACD.:'点C在AB的垂直平分线上， ∠BDC=∠AEC=90° '.C=AC.在△BCD和△ACE中，3∠BD=∠ACE, BC=AC, ∴.△BCD≌△ACE(AAS).∴.AE=BD,CE=CD=OE. .4+AE=8-AE..AE=2.∴.OE=OD=6.∴.点C 的坐标为(6,6).②如图②，过点C作CD⊥OB于点D, CE⊥x轴于点E.∴.∠CDB=∠CEA=90°.∠BCA= ∠DCE=90°，.∠BCD=∠ACE=90°-∠ACD.:点C 在AB的垂直平分线上，∴.BC=AC.在△BCD和△ACE [∠BDC=∠AEC=90°， 中，∠BCD=∠ACE, .△BCD≌△ACE(AAS). BC=AC, ∴.AE=BD,CE=CD=OE..4十OE=8一OE...OE= 2.∴.点C的坐标为（一2,2）.综上所述，点C的坐标为(6， 6)或(-2,2) B 0 A E EO ② (第7题) 8.(1)如图，连接CD.:DG是BC的垂直平分线，第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 第1课时轴对称及其性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.*境传统文化[2025遂宁中考]汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程 中演变出多种字体，给人以美的享受.以下是“遂宁之美”四个字的篆书，其中能看作是轴对称图 形的为 () “业 A. 2.如图，△ABC和△A'B'C'关于直线L对称，有下列结论：①△ABC≌△A'B'C';②∠BAC ∠B'AC';③直线l垂直平分CC';④直线BC和B'C的交点不一定在直线L上.其中，不正确 的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A(A B (第2题) (第3题) 3.转化泻化归思想如图，正方形ABCD的边长为2，则图中涂色部分的面积为 4.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴.如果∠AFC+∠DCF= 150°，求∠AFE+∠BCD的度数. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 5.如图，在2×2的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC,则与△ABC成轴对称且以格点为顶 点的三角形共有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 (第5题) 44 第十五章轴对称 6.如图，直线AB,CD相交于点O,P为这两条直线外一点，连接OP,点P关于直线AB,CD的对 称点分别是P1,P2.若OP=4,则点P1,P2之间的距离可能是 () A.0 B.7 C.9 D.10 D B-- (第6题) (第7题) 7.在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示的方式折叠，点B,C均落在边BC上的点G处，线段 MN,EF为折痕.若∠MGE=62°，则∠A= 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点M,N分别在边AB,BC上，且点A,B关于直线MN对称，连 接AN. (1)若∠CAN=a,则∠B与a之间的数量关系为 (2)若BC-号AC,AB-号AC,且△ABC的周长为24，求AC的长. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.考向探究题如图，在五边形ABDEC中，AB=AC,BD=DE,M为CE的中点，DB∥AM, DM⊥AM. (1)作出△DMA关于直线DM对称的△DMN. (2)求证：∠DAM=∠BAC (第9题) ●“答案与解析”见P28 45