14.3 专题特训五 全等三角形中的动态问题&综合与实践2 利用全等三角形证明拼图猜想-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训五 全等三角形中的动态问题 类型一单动点与全等三角形 1.在△ABC中，AB=AC,D是射线CB上的一动点（不与点B,C重合），以AD为一边在AD的 右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图①，当点D在线段CB上，∠BAC=90时，∠DCE=一· (2)设∠BAC=x,∠DCE=y. ①如图②，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究x与y之间的数量关系，并证明你的 结论. ②如图③，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图③补充完整，并直接写出此时 x与y之间的数量关系（不需证明） ② ③ (第1题) 类型二双动点与全等三角形 2.如图，AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=4cm,点P从点A出发，沿A→B→A方 向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P,Q两点同时 出发.当点P回到点A位置时，P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为ts. (1)求证：ABDE. (2)写出线段AP的长（用含t的式子表示）. (3)连接PQ,当线段PQ经过点C时，求t的值！ (第2题) 3.如图①，AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度 由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为ts. (1)如图①，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，t=1. ①判断△ACP和△BPQ是否全等，并说明理由， ②判断线段PC和线段PQ的关系，并证明你的结论. (2)如图②，将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60”,其他条件不变，设 38 第十四章全等三角形 点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP和△BPQ全等？若存在，请直接写出 相应的x,t的值；若不存在，请说明理由. (第3题) 类型三动直线与全等三角形 4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于 点E (1)当直线MN绕点C旋转到如图①所示的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB. ②DE=AD+BE. (2)当直线MN绕，点C旋转到如图②所示的位置时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由. ② (第4题) 类型四 面动与全等三角形 5.将两个全等的直角三角形ABC,DBE按如图①所示的方式摆放.其中，∠ACB=∠DEB=90°， ∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在的直线交AC所在的直线于点F. (1)求证： ①CF=EF ②AF+EF=DE (2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°<α<60°，其他条件不变，如图②.请 你判断(1)中的两个结论是否成立，并说明理由 (3)若将图①中的△DBE绕，点B按顺时针方向旋转B,且60°<B<180°，其他条件不变，如图③. 请你写出此时AF,EF与DE之间的数量关系，并加以证明. 3 (第5题) ●“答案与解析”见P23 39 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 综合与实践2利用全等三角形证明拼图猜想 1.如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E,过点B作 BF⊥ED,交ED的延长线于点F. (1)求证：△DEA≌△DFB. (2)某数学兴趣小组解答(1)后发现，在图中只需将△AED剪下来拼到△BFD处，就可得到一 个与△ABC等面积的长方形EFBC.继续讨论后又发现，任意三角形也可以剪拼成一个等面积 的长方形，请你在图②中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法（不需要证明） (第1题 2.如图，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，将边BC与DE重合，点B与点D对应，点C 可与点E对应，点F与点A在同侧，连接AF,猜想AF与BC的关系， C E (第2题) 40 >“答案与解析”见P24BE=CE, ∠BEG=∠CEH,∴.△BEG≌△CEH(SAS). GE=HE, ∴.∠BGE=∠H,BG=CH.∠BGE=∠FGA, ∴.∠BGE=∠FGA=∠IH.:CF=BG,∴.CH=CF. ∠F=∠H=∠FGA.:EF∥AD,.∠F=∠CAD, ∠BAD=∠FGA.∴.∠CAD=∠BAD.∴.AD平分 ∠BAC,即AD为△ABC的角平分线. ED H (第7题) 专题特训五全等三角形中的动态问题 1.(1)90°.：∠DAE=∠BAC=90°，.∠BAD+ ∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°.∴.∠BAD= (AB=AC. ∠CAE.在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS.∴.∠ACE=∠B.:∠BAC= 90°，.∠B+∠ACB=90°..∠ACE+∠ACB=90°，即 ∠DCE=90°.(2)①x+y=180°.AB=AC,∴.易得 ∠B=∠ACB.∠DAE=∠BAC,∴.∠DAE- ∠CAD=∠BAC-∠CAD,即∠CAE=∠BAD.在 (AB=AC, △BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌ AD-AE. △CAE(SAS)..∠B=∠ACE.∴.∠DCE=∠ACB+ ∠ACE=∠ACB+∠B.∴.y=∠B+∠ACB.:∠BAC+ ∠B十∠ACB=180°，∴.x十y=180°.②补充完整如图 所示.x=.AB=AC,∴.易得∠ABC=∠ACB. ∠DAE=∠BAC,∴.∠DAE-∠BAE=∠BAC ∠BAE,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS). AD=AE, ∴.∠AEC=∠ADB.,∠DCE+∠CDE+∠CED= 180°，∴.∠DCE+∠CDE+∠AED+∠AEC=∠DCE+ ∠CDE+∠AED+∠ADB=∠DCE+∠AED+ ∠ADE=180°.∴.y+∠AED+∠ADE=180°. ∠DAE=∠BAC=x,∠DAE+∠AED+∠ADE= 180°，∴.x+∠AED+∠ADE=180°..x=y. D (第1题) (AC=EC, 2.(1)在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD, BC=DC, ∴.△ABC≌△EDC(SAS).∴.∠A=∠E.∴.ABDE. (2当01≤号时，AP=3em:当号<≤号时，B即 (3t-4)cm,则AP=4-(3t-4)=(8-3t)cm.综上所述， 线段AP的长为3tcm或(8-3t)cm(3)由(1)得， △ABC≌△EDC,'.∠A=∠E,ED=AB=4cm ∴.EQ=(4-t)cm.在△ACP和△ECQ中， ∠A=∠E, RAC=EC, ∴.△ACP≌△ECQ(ASA).∴.AP= ∠ACP=∠ECQ, Q.当0<号时=4-1：解得1=1：当号<<时， 8-3t=4一t,解得t=2.综上所述，当线段PQ经过点C 时，t的值为1或2. 3.(1)①△ACP≌△BPQ.理由：：AC⊥AB,BD⊥AB, ∴，∠A=∠B=90°.：点Q的运动速度与点P的运动速 度相等，且t=1,∴.AP=BQ=1cm.AB=4cm,AC= BD=3cm,∴.BP=AB-AP=3cm.∴.AC=BP ∴.△ACP≌△BPQ(SAS.②PC=PQ,PC⊥PQ. △ACP≌△BPQ,∴.PC=PQ,∠ACP=∠BPQ. ∠ACP+∠APC=90°，∴.∠BPQ+∠APC=90° ∴.∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°.∴.PC⊥ PQ.∴.PC=PQ,PC⊥PQ.(2)存在.当x=1,t=1时， △ACP≌△BPQ或当x=1.5,t=2时，△ACP≌△BQP. 由题知，AB=4cm,AC=BD=3cm,AP=tcm,BQ= xtcm,∴.BP=AB-AP=(4-t)cm.:∠CAB= ∠DBA=60°，∴.若△ACP和△BPQ全等，则需满足 AC=BP,AP=BQ或AC=BQ,AP=BP,即 3=4-t, 解得5”当 或 t=4一t, 年，=1或{，=2 1,t=1时，△ACP≌△BPQ;当x=1.5,t=2时， △ACP≌△BQP. 4.(1)①∠ACB=90°，AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠ACD+∠ECB=90°，∠ADC=∠CEB=90°. .'.∠DAC+∠ACD=90°..∠DAC=∠ECB.在△ADC ∠ADC=∠CEB, 和△CEB中， ∠DAC=∠ECB,∴.△ADC≌△CEB AC=CB, (AAS).②，△ADC≌△CEB,∴.CD=BE,AD= CE.∴.DE=CE+CD=AD+BE.(2)△ADC≌ △CEB成立，DE=AD+BE不成立.理由：·'∠ACB= 90°，AD⊥MN,BE⊥MN,∴.∠ACD+∠ECB=90°， ∠ADC=∠CEB=90°.∴.∠DAC+∠ACD=90. ∴.∠DAC=∠ECB.在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB,∴.△ADC≌△CEB(AAS).∴.CD= AC=CB, BE,AD CE..DE CE-CD AD BE. ∴.△ADC≌△CEB成立，DE=AD+BE不成立 5.(1)①如图①，连接BF.:易知△ABC≌△DBE, ∴.BC=BE,AC=DE.∠ACB=∠DEB=90°， ∴.∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BFC和Rt△BFE中， BF=BF, .Rt△BFC≌Rt△BFE(HL).,.CF=EF BC=BE, ②：'CF=EF,AF+CF=AC,∴AF+EF=AC=DE. (2)(1)中的两个结论成立.理由：如图②，连接BF, :△ABC≌△DBE,∴.BC=BE,AC=DE,∠ACB= ∠DEB=90°.∴.∠BEF=90°.在Rt△BCF和Rt△BEF 中， BF=BF,:.R△BCF≌R△BEF(HI,).CF- BC=BE, EF.∴.AF+EF=AF+CF=AC=DE.∴.(1)中的两个 结论成立.(3)AF=DE+EF.如图③，连接BF. △ABC≌△DBE,∴.BC=BE,AC=DE.:'∠ACB= ∠DEB=90°，，.∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BCF和 BF=BF, Rt△BEF中， ∴.Rt△BCF≌Rt△BEF(HL). BC=BE. ∴.CF=EF.∴.AF=AC+CF=DE+EF. D E CF ① ② ③ (第5题) 综合与实践2利用全等三角形证明拼图猜想 1.(1).DE⊥AC,BF⊥ED,D是AB的中点， ∴.∠AED=∠BFD=90°，AD=BD.又∠ADE= ∠BDF,∴.△DEA≌△DFB(AAS).(2)画剪拼示意图 如图所示，方法不唯一.分别过AC,BC的中点M,N作 AB的垂线，垂足分别为O,P,再过点C作AB的平行线， 与OM,PN的延长线分别交于点E,F.由作图可得，MC AM,BN=NC,∠E=∠EOA,∠FPB=∠F.又 :∠EMC=∠OMA,∠PNB=∠FNC,∴.△CME≌ △AMO(AAS),△BNP≌△CNF(AAS)..S△cME= S△AM0,S△BNp=S△CwP.∴.△ABC的面积与长方形OPFE 的面积相等。 (第1题) 2.AFBC,AF=BC.如图，由题意易知∠1=∠2=∠3= ∠4=45°，∠ABC=∠DEF=90°，∴.∠5=∠6=45 :△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∴.AB= BC=DE=EF.在△ABF和△CBF中， (AB=CB, ∠5=∠3，..△ABF≌△CBF(SAS)..AF=CF, BF=BF, ∠BAF=∠BCF=90°.∴.AF=EF=BC,∠BAF十 ∠ABC=180°..AF∥BC (D) 2的C(E) (第2题) 第十四章拔尖自主测评 1.C:'△ABC≌△DEC,∠ACB=90°，∠ABC=55°， .∴.AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠E=55° ∴.∠CDE=90°-∠E=35°..AC=DC,∴.易得 ∠ADC=∠DAC=45°.∴.∠ADE=∠ADC+∠CDE= 45°+35°=80°. 2.BA.·'AB=BA,∠CAB=∠DBA,AC=BD, ∴.△ABC≌△BAD(SAS),故原选项不符合题意. B.·AB=BA,∠CAB=∠DBA,BC=AD,.△ABC和 △BAD不一定全等，故原选项符合题意.C.·'∠CAB= ∠DBA,∠C=∠D,AB=BA,∴.△ABC≌△BAD (AAS),故原选项不符合题意.D.,∠CAB=∠DBA, AB=BA,∠CBA=∠DAB,∴.△ABC≌△BAD(ASA), 故原选项不符合题意 4