14.3 角的平分线 重点题型归纳练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 重点题型归纳练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、利用角平分线性质求值 1．如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 2．如图，在中，， 平分，于点E．若，则的长为________ 3．如图，中，，，平分，若的面积为，求的面积． 4．在平面直角坐标系中有点 (1)若点在y轴上，求M的坐标； (2)点在第二、四象限的角平分线上，求M的坐标． 二、利用角平分线性质判断与证明 5．如图，在中，，是的高，是的边上的中线，是的角平分线．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，平分，平分，则下列结论：①；②；③；④中一定正确的是_______．（只填序号） 7．如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 8．已知如图，，平分，于点 N，于M， 求 的值． 三、利用角平分线判定求值 9．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知于点，于点，且，，，则____． 11．如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 12．在中，，点D在上，，，垂足分别为E，F，且，求的长． 四、利用角平分线判定判断证明 13．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 14．如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为_______．（只填写序号） 15．已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 16．已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 五、利用角平分线的性质与判定与尺规作图 17．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 18．如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 19．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 六、利用角平分线的性质与判定综合求值证明 20．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 21．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 22．已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 23．图①、图②、均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线． 24．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 5 9 13 17 20 答案 C D B A C C 1．C 过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 2．3 由角平分线的性质定理可得，由即可得出结果． 解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3． 过点D作于G，作于H，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，再根据计算，即可求得答案． 解：如图，过点D作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．(1) (2) （1）解：由y轴上的点横坐标为零可得，则，此时； （2）解：由角平分线的性质可得第二、四象限的角平分线上的点到坐标轴的距离相等， ∵第二、四象限的横纵坐标异号， ∴第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得， ∴． 5．D 根据高线的定义结合直角三角形的两锐角互余即可判断A选项；根据角平分线的定义可判断B选项；根据中线的定义可判断C选项；根据三角形的面积公式可判断D选项． 解：，是的高，即， ， ，故A选项结论正确，不符合题意； ，是的角平分线， ，故B选项结论正确，不符合题意； 是的边上的中线， ，故C选项结论正确，不符合题意； 和有相等的高，但底边、不一定相等， 不一定等于，故D选项结论错误，符合题意． 6．①②③ 由，即可判断结论①；结合平分，，得出角相等，可判断结论②；由平分，平分，且，可证得，故可判断结论③；由，可得，判断出当平分时，结论④才正确；综合以上结论，得出正确答案． 解：∵， ∴，故结论①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 即， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， 当平分时，才有，故结论④不一定正确； 综上，一定正确的结论是①②③． 7．证明：， ， ， ∵是的平分线，点P在上，， ， 在和中， ∴， ∴． 先根据角平分线的性质证，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 略 8． 先根据角平分线得到，继而证明，则，再证明，则，最后根据线段和差证明即可． 解：如图， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 9．B 根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 解：于点，于点，且， 平分， ， ． 10． 本题考查角平分线定理的判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由题意可得，是的平分线，则，根据三角形外角的性质进行计算即可． 解：∵，， 又∵， ∴是的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 11．(1)的度数为； (2)． 本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． （1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 12． 证明得到，再由含30度角的直角三角形的性质可得答案． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 13．A 解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上， ∴O为三条角平分线的交点． 14．①③④ 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识；根据等边三角形的性质可得，，，求出，即可证明，①正确；利用证明和，可得②错误；利用三角形外角的性质可求出，③正确；作于点，作于点，利用全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，即可判断④正确．掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 解：、均为等边三角形， ，，， ∴，即， ，①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， 图中至少有三对全等三角形，②错误； ∵， ∴， ∴，③正确； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，④正确； 综上，正确结论的是①③④， 故答案为：①③④． 15． 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴平分． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据得，又因为，证明，结合到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进行作答即可． 略 16．(1)见解析 (2)见解析 （1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． （1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 17．C 由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 18． 解：，， ， 由作图痕迹，可知平分， ， ． 19．(1)如图，即为所求， (2)3 （1）利用尺规作图的基本方法，作的角平分线． （2） 利用角平分线的性质，得点到的距离等于，再通过面积法列方程求解． （1）解：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）解：过点作于点， 平分，，， ， 设， ， ， 即， ， 解得， 点到的距离为． 20．C 本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 21． 本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 22．证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 略 23．(1)作图见解析 (2)作图见解析 本题考查了用无刻度的直尺，在给定的网格中作图． （1）先由得出点D应为线段的中点，再在网格图中构造一组全等三角形，从而找到点D位置； （2）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，在网格图中构造一组全等三角形，从而确定的角平分线． （1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 24．(1) 证明：，． ． 在与中，，，． ． ，． 平分． (2) （1）证明，得出，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明，即可解答； （1）略 （2）解：在和中，，， ． ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $