14.3 专题特训四 构造全等三角形的常用方法-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训四构造全等三角形的常用方法 类型一利用角平分线和垂线段构造全等三角形 方法指导：出现角平分线和垂线时，我们一般通过延长垂线或向角的两边作垂线，构造全等三角形解决问题 1.如图，在△DBC中，DB=DC,A为△DBC外一点，且∠BAC=∠BDC,DM⊥AC于点M. (1)求证：AD平分△ABC的外角. (2)判断AM,AC,AB的数量关系，并证明你的结论. (第1题) 2.(1)【探索研究】老师在课堂上给出了这样一道题目：如图①，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,交CD的延长线于点E.试探究线段BE和CD的数量关系.小 明经过认真思考后认为：先延长CA,BE相交于，点G,再证明△ACD≌△ABG即可，请根据小明 的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系. (2)【类比探究】老师引导同学们继续研究：如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D 在线段BC上，∠EDB=∠C,BELDE,垂足为E,DE与AB相交于点F,试探究线段BE与 DF的数量关系，并证明你的结论， (1 (第2题) 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,交∠ABC的平分线于点E. (1)求∠BED的度数. (2)过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证：AF+BD=AB. D (第3题) 36 第十四章全等三角形 类型二截长补短法 方法指导：用截长补短法可证明一条线段等于另两条线段的和或差 (I)截长法：先在长线段上取一段，使其等于其中一条短线段，再证明剩下的线段等于另一条短线段。 (2)补短法：①先延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，再证明延长后的线段等于长线段；②先 延长其中一条短线段，使其等于长线段，再证明延长的部分等于另一条短线段 4.一题多解如图，ABCD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上，求证：BC=AB十CD. (第4题) 5.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的两条角平分线AD,CE相交于点P. (1)求∠CPD的度数. (2)求证：AC=AE+CD. D (第5题) 类型三倍长中线法 方法指导：先将三角形的中线延长一倍，构造出全等三角形解决问题 6.(1)如图①，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定全等的依据为 (2)如图②，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,试探究 线段AE与AD的数量关系. ① ② (第6题) 7.如图，在△ABC中，AD交BC于点D,E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB 于点G.若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线. B ED (第7题) ●“答案与解析”见P21 37∠ABC.(2)由(1)可得，PD=PE=PF.:S△4c Sa+Som+SamexABPD+X PE+号xACXPF--X4XPD+3X2XPD+司 4XPD2×PDX(4+2+=5PD=15,PD=3. (3):BP平分∠ABC,∴.∠PBC=∠PBA.在△PBE和 ∠PEB=∠PDB, △PBD中，∠PBE=∠PBD,∴.△PBE≌△PBD PB=PB, (AAS)..BE=BD.同理可得，CE=CF,AD=AF.设 BD=BE=,AD=AF=AB-BD=7-,CE=CF= BC-BE=5-x.∴.CF+AF=5-x+7-x=AC=8,解 得x=2,即BD的长为2. 0 (第8题) 9.(1):'EF⊥AB,∠AEF=50°，∴.∠FAE=90°-50°= 40°.：∠BAD=100°，.∠CAD=180°-∠BAD- ∠FAE=180°-100°-40°=40°.(2)如图，过点E作 EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.:∠FAE= ∠DAE=40°，∴.AE平分∠FAG.:EF⊥BF,EG⊥AD ∴.EF=EG.·BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC, ∴.EF=EH.∴EG=EH.:EG⊥AD,EH⊥BC,∴点 E在∠ADC的平分线上..DE平分∠ADC. (3):'S△AD=15,S△Acn=S△AE+S△cE,EG=EH, :合AD·G+2CD·EH=15,即号×4BG+合× 8EG=15,解得DG=EH=号.·EP=EH= 5 :△ABE的面积子AB,EF=含×7X号-空 4 B DH (第9题) 专题特训四构造全等三角形的常用方法 1.(1)如图，过点D作DN⊥BA,交BA的延长线于点 N,设AC,BD交于点O.∠BAO=∠ODC,∠AOB= ∠DOC,∴.∠ABO=∠DCO..DM⊥AC,DN⊥AB, ∴.∠DNB=∠DMC=90°.DB=DC,∴.△DNB≌ △DMC(AAS)...DN=DM..DM⊥AC,DN⊥AB, ∴.点D在∠NAM的平分线上.∴.AD平分∠NAM,即 AD平分△ABC的外角.(2)AC-AB=2AM. :DN=DM,DA=DA,∠DNA=∠DMA=90, ∴.Rt△DNA≌Rt△DMA(HL).∴.AN=AM. :△DNB≌△DMC,∴.BN=CM..AC-AB=AM+ CM-(BN-AN)=2AM. E N (第1题) 2.(1)补全图形如图①所示.CD=2BE.BE⊥CD, ∴.∠BED=90°.∠BAC=90°，∴.∠ACD+∠ADC= ∠ABG+∠EDB.∠ADC=∠EDB,∴.∠ACD= ∠ACD=∠ABG, ∠ABG.在△ACD和△ABG中，AC=AB, ∠CAD=∠BAG, ∴.△ACD≌△ABG(ASA)..CD=BG.CD平分 ∠ACB,∴.∠ACE=∠BCE.在△GCE和△BCE中， ∠GCE=∠BCG, CE=CE, ∴.△GCE≌△BCE(ASA)..GE= ∠CEG=∠CEB, BE..BG=2BE..CD=2BE.(2)DF=2BE.如图 ②，过点D作DG∥AC,交AB于点H,交BE的延长线于 点G.∴∠BHD=∠A=90°.AB=AC,∠BAC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形.∴.∠ABC=∠C=45°. :DG∥AC,∴.∠BDG=∠C=∠ABC=45.∴.△BHD 是等腰直角三角形.∴HB=HD.:BE⊥DE,∴.易得 △FHDF≌△HBG(ASA).∴.DF=BG.:∠EDB=2∠C, ∠EDB=号∠BDG,即DE平分∠BDG.&∠EDB= ∠EDG.又.'∠BED=∠GED,DE=DE,∴.△BDE≌ △GDE(ASA).∴.BE=GE..BG=2BE.∴.DF=2BE (第2题) 3.(1)∠C=90°，∴.∠CAB+∠CBA=90°.AE平 分∠CAB,BE平分∠ABC,∴.∠BAE=∠CAD= 3∠CB,∠ABE=∠DBE=∠ABC.·∠DEB ∠BAE+∠ABE=(∠CAB+∠ABC)=45.(2)如 图，延长FE交AB于点M.,EF⊥AE,∴∠AEF= ∠AEM=∠DEM=90°.，∠DEB=45°，∴.∠BEM= ∠BED=45°.AE=AE,BE=BE,∴.△AEF≌△AEM (ASA),△BED≌△BEM(ASA).,∴.AM=AF,BM= BD..'AB=AM+BM=AF+BD. D B (第3题) 4.解法一：如图①，在BC上取点F,使BF=BA,连接 EF.:BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,.∠ABE= ∠FBE,∠FCE=∠DCE.在△ABE和△FBE中， AB=FB, ∠ABE=∠FBE,'.△ABE≌△FBE(SAS)..∴.∠A= BE=BE, ∠BFE.AB∥CD,.∠A十∠D=180°.∴.∠BFE+ ∠D=180..∠BFE+∠CFE=180°，..∠CFE=∠D ∠D=∠CFE, 在△CDE和△CFE中， ∠DCE=∠FCE,∴.△CDE≌ CE=CE, △CFE(AAS).∴.CF=CD.BC=BF+CF,∴.BC= AB十CD.解法二：如图②，延长CD至点F,使CF= BC,连接EF.CE平分∠BCD,∴.∠BCE=∠FCE.在 BC=FC, △BCE和△FCE中， ∠BCE=∠FCE,.∴.△BCE≌ CE=CE. △FCE(SAS).∴.BE=FE,∠CBE=∠F.BE平分 ∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE..∠ABE=∠F.AB∥ CD,.∠A=∠EDF.在△ABE和△DFE中， ∠A=∠EDF, ∠ABE=∠F,∴.△ABE2△DFE(AAS)..AB= BE=FE, DF...BC=CF=DF+CD=AB+CD. E F ① ② (第4题) 2 5.(1):在△ABC中，∠ABC=60,∴.∠BAC+∠BCA= 180°-∠ABC=120°.AD,CE分别平分∠BAC, ∠ACB,∠PAC=∠PAE=Z∠BAC,∠PCA= ∠PD=2∠BCA.·∠PAC+∠PCA=2(∠BAC+ ∠BCA)=60°.∴.∠CPD=∠PAC+∠PCA=60°. (2)如图，在AC上取一点F,使AF=AE,连接PF :∠CPD=60,∴.∠APE=∠CPD=60°，∠APC= 180°-∠CPD=120°.在△APF和△APE中， (AF=AE, ∠PAF=∠PAE,∴.△APF≌△APE(SAS).∴.∠APF= AP=AP, ∠APE=60°.∴.∠CPF=∠APC-∠APF=60°. ∴.∠CPF=∠CPD=60.在△CPF和△CPD中， ∠CPF=∠CPD, CP=CP, .∴.△CPF≌△CPD(ASA).∴.CF= ∠PCF=∠PCD, CD..AC=AF+CF=AE+CD. C D (第5题) 6.(1)SAS.:AD是△ABC的中线，.BD=CD.在 AD=ED, △ADC和△EDB中， ∠ADC=∠EDB,.'.△ADC≌ CD-BD, △EDB(SAS),即判定全等的依据是SAS.(2)如图，延 长AD至点M,使DM=AD.:AD是△ABC的中线， ∴.DB=CD.又∠ADB=∠MDC,AD=DM, .△ABD≌△MCD(SAS).∴.MC=AB,∠B=∠MCD. :AB=CE,∴.CM=CE.∠BAC=∠BCA,∴.∠B+ ∠BAC=∠ACB+∠MCD,即∠ACE=∠ACM.又 :AC=AC,CM=CE,∴.△ACM≌△ACE(SAS). .AE-AM.AM-AD+DM-2AD,..AE-2AD. M (第6题) 7.如图，延长FE,截取EH=EG,连接CH.:E是BC 的中点，.BE=CE.在△BEG和△CEH中， BE=CE, ∠BEG=∠CEH,∴.△BEG≌△CEH(SAS). GE=HE, ∴.∠BGE=∠H,BG=CH.∠BGE=∠FGA, ∴.∠BGE=∠FGA=∠IH.:CF=BG,∴.CH=CF. ∠F=∠H=∠FGA.:EF∥AD,.∠F=∠CAD, ∠BAD=∠FGA.∴.∠CAD=∠BAD.∴.AD平分 ∠BAC,即AD为△ABC的角平分线. ED H (第7题) 专题特训五全等三角形中的动态问题 1.(1)90°.：∠DAE=∠BAC=90°，.∠BAD+ ∠DAC=90°，∠DAC+∠CAE=90°.∴.∠BAD= (AB=AC. ∠CAE.在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS.∴.∠ACE=∠B.:∠BAC= 90°，.∠B+∠ACB=90°..∠ACE+∠ACB=90°，即 ∠DCE=90°.(2)①x+y=180°.AB=AC,∴.易得 ∠B=∠ACB.∠DAE=∠BAC,∴.∠DAE- ∠CAD=∠BAC-∠CAD,即∠CAE=∠BAD.在 (AB=AC, △BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌ AD-AE. △CAE(SAS)..∠B=∠ACE.∴.∠DCE=∠ACB+ ∠ACE=∠ACB+∠B.∴.y=∠B+∠ACB.:∠BAC+ ∠B十∠ACB=180°，∴.x十y=180°.②补充完整如图 所示.x=.AB=AC,∴.易得∠ABC=∠ACB. ∠DAE=∠BAC,∴.∠DAE-∠BAE=∠BAC ∠BAE,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS). AD=AE, ∴.∠AEC=∠ADB.,∠DCE+∠CDE+∠CED= 180°，∴.∠DCE+∠CDE+∠AED+∠AEC=∠DCE+ ∠CDE+∠AED+∠ADB=∠DCE+∠AED+ ∠ADE=180°.∴.y+∠AED+∠ADE=180°. ∠DAE=∠BAC=x,∠DAE+∠AED+∠ADE= 180°，∴.x+∠AED+∠ADE=180°..x=y. D (第1题) (AC=EC, 2.(1)在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD, BC=DC, ∴.△ABC≌△EDC(SAS).∴.∠A=∠E.∴.ABDE. (2当01≤号时，AP=3em:当号<≤号时，B即 (3t-4)cm,则AP=4-(3t-4)=(8-3t)cm.综上所述， 线段AP的长为3tcm或(8-3t)cm(3)由(1)得， △ABC≌△EDC,'.∠A=∠E,ED=AB=4cm ∴.EQ=(4-t)cm.在△ACP和△ECQ中， ∠A=∠E, RAC=EC, ∴.△ACP≌△ECQ(ASA).∴.AP= ∠ACP=∠ECQ, Q.当0<号时=4-1：解得1=1：当号<<时， 8-3t=4一t,解得t=2.综上所述，当线段PQ经过点C 时，t的值为1或2. 3.(1)①△ACP≌△BPQ.理由：：AC⊥AB,BD⊥AB, ∴，∠A=∠B=90°.：点Q的运动速度与点P的运动速 度相等，且t=1,∴.AP=BQ=1cm.AB=4cm,AC= BD=3cm,∴.BP=AB-AP=3cm.∴.AC=BP ∴.△ACP≌△BPQ(SAS.②PC=PQ,PC⊥PQ. △ACP≌△BPQ,∴.PC=PQ,∠ACP=∠BPQ. ∠ACP+∠APC=90°，∴.∠BPQ+∠APC=90° ∴.∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°.∴.PC⊥ PQ.∴.PC=PQ,PC⊥PQ.(2)存在.当x=1,t=1时， △ACP≌△BPQ或当x=1.5,t=2时，△ACP≌△BQP. 由题知，AB=4cm,AC=BD=3cm,AP=tcm,BQ= xtcm,∴.BP=AB-AP=(4-t)cm.:∠CAB= ∠DBA=60°，∴.若△ACP和△BPQ全等，则需满足 AC=BP,AP=BQ或AC=BQ,AP=BP,即 3=4-t, 解得5”当 或 t=4一t, 年，=1或{，=2 1,t=1时，△ACP≌△BPQ;当x=1.5,t=2时， △ACP≌△BQP. 4.(1)①∠ACB=90°，AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠ACD+∠ECB=90°，∠ADC=∠CEB=90°.