14.3 第2课时 角的平分线(2)-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时角的平分线(2) 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB.有下列条 件：①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;④∠DPO=∠EPO.其中，能判定OC是 ∠AOB的平分线的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A D B (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC.若∠BOC=110°，则∠A的度数为 () A.35° B.40° C.45 D.70 3.如图，D是△ABC的边AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=DF,G 是BC上一点，连接DG,且BG=DG.若∠A=65°，∠C=68°，则∠DGC的度数为 4.如图，在△ACD和△BCE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=40°，AD,BE交于点H, 连接CH.求证： (1)△ACD≌△BCE. (2)HC平分∠AHE. (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在△ABC中，∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P,过点P分别作PM⊥BE,PNL BF,分别交BA,BC的延长线于点M,N,有下列结论：①CP平分∠ACF;②∠ABC+ 2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB,④S△Pmc=S△MP+S△CP.其中，正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 CN (第5题) (第6题) 6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,连接AP.若 ∠BPC=36°，则∠CAP的度数为 34 第十四章全等三角形 7.教材53习题14.3T8变式如图，∠A=∠B=90°，E为AB的中点，DE平分∠ADC. (1)求证：CE平分∠BCD. (2)求证：CD=AD+BC. (3)若AB=12,CD=13,求S△cDE D (第7题) 8.如图，在△ABC中，AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,过点P作PD⊥AB于点D,连接BP. (1)求证：BP平分∠ABC. (2)若△ABC的面积为15，AB=4,AC=4,BC=2,求PD的长 (3)若AB=7,BC=5,AC=8,求BD的长. D (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作 EF⊥AB,交BA的延长线于点F,且∠AEF=50°，连接DE. (1)求∠CAD的度数 (2)求证：DE平分∠ADC. (3)若AB=7,AD=4,CD=8,且S△AcD=15,求△ABE的面积. B (第9题) “答案与解析”见P19 35..AD=DP..AD=4cm,.'.DP=4cm,即DP长的最 小值为4cm. 6.D如图，过点O分别作AB,BC,CA的垂线，垂足分别 为D,E,F.:AO平分∠BAC,OD⊥AB,OF⊥AC, .OF=OD.同理可得OD=OE.:SAm=30号AB· 0D=30,即号×20·0D=30,解得0D-3.0E- 0r=8.Sx=7BC.0E=2×30X3=45,Sar 号AC.0F-3X40X3=05Am=SAm十5c十 S△4c=30+45+60=135. (第6题)》 7.10如图，过点P作PH⊥MN于点H,PC⊥OA于点 C,PD⊥OB于点D,连接PO.'MP平分∠AMN,NP 平分∠MNB,∴.PC=PH,PD=PH..PC=PD. :△PMN的面积=2MN·PH=6,MN=4,PH- 3.PC=PD=3.:'△PMN的面积是6，△OMN的面 积是9，SaaM+SaoN=6+9=15..2OM·PC+ 2ON·PD=15.∴.(OM+ON)X3=15×2..OM+ ON=10,即OM+ON的值是10. A M C 0 N D B (第7题) 8.(1)如图，过点P作PN⊥AC于点N,.∠CNP= 90°.PM⊥AM,AP平分∠MAC,.∠BMP=90°， PM=PN.:∠BPC=∠BAC,∴.∠ABP=∠PCA. .∠BMP=∠CNP=90°，∴.△PMB≌△PNC(AAS). .PB=PC.(2)'△PMB≌△PNC,∴.BM=CN.在 Rt△PMA和Rt△PNA中， PA=PA,:R△PAM≌ PM=PN, Rt△PAN(HI).∴.AM=AN.∴.AC-AB=(AN+CN)- (BM-AM)=2AM.(3)AB+AC=(BM-AM)+ (AN+CN)=BM+CN=2BM=6. M B。 C (第8题) 微专题·对角互补模型 1.如图，过点P作PG⊥OB于点G,PH⊥AO于点H, 则∠PGF=∠PHE=90°.：'OC平分∠AOB,PG⊥ OB,PH⊥AO,∴.PH=PG.'∠AOB=∠EPF= 90°，∴.∠PFG+∠PEO=180°.又.∠PEH+∠PEO= 180°，.∴.∠PEH=∠PFG..∴.△PEH≌△PFG(AAS). .PE=PF」 0 GF B (第1题) 2.如图，过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F .∠PEM=∠PFN=90°.：OC是∠AOB的平分线， PE⊥OB,PF⊥OA,.PE=PF.∠PMO+∠PME =180°，∠PMO+∠PNO=180°，∴.∠PME=∠PNO. ∠PME=∠PNF, 在△PME和△PNF中，∠PEM=∠PFN, PE=PE, .△PME≌△PNF(AAS).∴.PM=PN. B B M 、pC F NA (第2题 第2课时角的平分线(2) 1.D:'∠AOC=∠BOC,∴.OC是∠AOB的平分线，故 ①符合题意.PD LOA,PE⊥OB,PD=PE,∴.点P在 ∠AOB的平分线上.∴.OC是∠AOB的平分线，故②符合 题意.：PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△POD和Rt△POE中， OP=OP,:.R△POD≌ OD=OE, Rt△POE(HI).∴.∠POD=∠POE.∴.C是∠AOB的平 分线，故③符合题意.'PD⊥OA,PE⊥OB,∴.∠PDO= ∠PDO=∠PEO, ∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠DPO=∠EPO, OP=OP, ∴.△PDO≌△PEO(AAS).∴.∠POD=∠POE.∴.OC 是∠AOB的平分线，故④符合题意. 2.B'∠BOC=110°，∴.∠OBC+∠OCB=180°-110°= 70°点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴.点O 在∠ABC,∠BCA的平分线上.∴.BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB.∴.∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB. .∠ABC+∠ACB=140°..∠A=180°-（∠ABC+ ∠ACB)=180°-140°=40°. 3.47°如图，连接BD.:∠A=65,∠C=68°，∴.∠AC 180°-∠A-∠C=47°.DE LAB,DF⊥BC,DE=DF, ∴.点D在∠ABC的平分线上.∴.BD平分∠ABC ∴.∠ABD=∠CBD.BG=DG,∴.易得∠GBD= ∠GDB.∴.∠ABD=∠GDB.∴.AB∥DG.∴.∠DGC= ∠ABC=47°. (第3题) 4.(1)'∠ACB=∠DCE,∴.∠ACB+∠BCD=∠BCD+ ∠DCE,即∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中， CA=CB, ∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS).(2)如 CD=CE, 图，过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N. ∴.∠AMC=∠BNC=90°.：'△ACD≌△BCE, ∴.∠CAM=∠CBN.在△ACM和△BCN中， ∠CAM=∠CBN, ∠AMC=∠BNC=90°，.△ACM≌△BCN(AAS). AC=BC, .CM=CN.又CM⊥AH,CN⊥HE,.点C在 ∠AHE的平分线上.∴.HC平分∠AHE. B、 E (第4题) 5.D①如图，过点P作PD⊥AC于点D.BP平分 ∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, ∴.PM=PN,PM=PD.∴.PN=PD..PN⊥BF,PDL AC,∴.点P在∠ACF的平分线上，即CP平分∠ACF.故 ①正确.②PM⊥AB,PN⊥BC,∴.∠ABC+90°+ ∠MPN+90°=360°.'.∠ABC+∠MPN=180°.在 Rt△PAM和Rt△PAD中， PA=PA,:.R△PAM≌ PM=PD, Rt△PAD(HL).∴.∠APM=∠APD.同理可得， Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴.∠CPD=∠CPN. ∴.∠MPN=2∠APC.∴.∠ABC+2∠APC=180°，故②正 确③AP平分∠CAE,BP平分∠ABC,∴.∠CAE= ∠ABC+∠ACB=2∠PaM,∠ABD=号∠ABC. :∠PAM=∠ABP+∠APB=∠ABC+∠APB, ∴.∠ACB=2∠APB,故③正确.④Rt△PAM≌ Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,.S△APm=S△MP, SAcPD=SANCP.∴.SAAP+S△NCP=SAAPD+ScPn= S△Pc,故④正确.综上所述，正确的个数为4. /E M B CN (第5题) 6.54°如图，过点P作PF⊥BA,交BA的延长线于点 F,PN⊥BD于点N,PM⊥AC于点M.设∠PCD=x° 'CP平分∠ACD,.∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN. .∠ACD=∠ACP+∠PCD=2x°.：BP平分∠ABC, ∴.∠ABP=∠PBC,PF=PN.∴.PF=PM.又PF BA,PM⊥AC,∴.点P在∠FAC的平分线上.∴.AP平分 ∠FAC.∴.∠FAP=∠CAP.∠BPC=36, ∴.∠ABP=∠PBC=x°-36.∴.∠BAC=∠ACD- ∠ABC=2x°-(a-36)-(x°-36)=72°.∴.∠CAF= 180-2=108.∠FAP=∠CP=2∠CAF=54 C ND (第6 7.(1)如图，过点E作EM⊥CD,垂足为M.DE平分 ∠ADM,EA⊥AD,EM⊥CD,∴.AE=EM.E为AB 的中点，.AE=EB.∴EM=EB.:EB⊥BC,EM⊥ CD,∴.点E在∠BCD的平分线上.∴.CE平分∠BCD. (2)由(1)可知AE=EM=EB.在Rt△DEA和Rt△DEM ,DE=DE:.R△DEA≌R△DEM(HI.·DA= 中，AE=EM, DM.同理，可证CB=CM.,∴.CD=DM+MC=AD+BC. (3)由(1)可知EM=AE=EB=2AB=6.:EMLCD, 1 CD=13,.S△cng=2·DC·EM=-2X13X6=39. E B C (第7题) 8.(1)如图，过点P作PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为 E,F.AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,PD⊥AB, ∴.PD=PF,PE=PF.∴.PD=PE.又PE⊥BC, PD LAB,.点P在∠ABC的平分线上..BP平分 ∠ABC.(2)由(1)可得，PD=PE=PF.:S△4c Sa+Som+SamexABPD+X PE+号xACXPF--X4XPD+3X2XPD+司 4XPD2×PDX(4+2+=5PD=15,PD=3. (3):BP平分∠ABC,∴.∠PBC=∠PBA.在△PBE和 ∠PEB=∠PDB, △PBD中，∠PBE=∠PBD,∴.△PBE≌△PBD PB=PB, (AAS)..BE=BD.同理可得，CE=CF,AD=AF.设 BD=BE=,AD=AF=AB-BD=7-,CE=CF= BC-BE=5-x.∴.CF+AF=5-x+7-x=AC=8,解 得x=2,即BD的长为2. 0 (第8题) 9.(1):'EF⊥AB,∠AEF=50°，∴.∠FAE=90°-50°= 40°.：∠BAD=100°，.∠CAD=180°-∠BAD- ∠FAE=180°-100°-40°=40°.(2)如图，过点E作 EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.:∠FAE= ∠DAE=40°，∴.AE平分∠FAG.:EF⊥BF,EG⊥AD ∴.EF=EG.·BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC, ∴.EF=EH.∴EG=EH.:EG⊥AD,EH⊥BC,∴点 E在∠ADC的平分线上..DE平分∠ADC. (3):'S△AD=15,S△Acn=S△AE+S△cE,EG=EH, :合AD·G+2CD·EH=15,即号×4BG+合× 8EG=15,解得DG=EH=号.·EP=EH= 5 :△ABE的面积子AB,EF=含×7X号-空 4 B DH (第9题) 专题特训四构造全等三角形的常用方法 1.(1)如图，过点D作DN⊥BA,交BA的延长线于点 N,设AC,BD交于点O.∠BAO=∠ODC,∠AOB= ∠DOC,∴.∠ABO=∠DCO..DM⊥AC,DN⊥AB, ∴.∠DNB=∠DMC=90°.DB=DC,∴.△DNB≌ △DMC(AAS)...DN=DM..DM⊥AC,DN⊥AB, ∴.点D在∠NAM的平分线上.∴.AD平分∠NAM,即 AD平分△ABC的外角.(2)AC-AB=2AM. :DN=DM,DA=DA,∠DNA=∠DMA=90, ∴.Rt△DNA≌Rt△DMA(HL).∴.AN=AM. :△DNB≌△DMC,∴.BN=CM..AC-AB=AM+ CM-(BN-AN)=2AM. E N (第1题) 2.(1)补全图形如图①所示.CD=2BE.BE⊥CD, ∴.∠BED=90°.∠BAC=90°，∴.∠ACD+∠ADC= ∠ABG+∠EDB.∠ADC=∠EDB,∴.∠ACD= ∠ACD=∠ABG, ∠ABG.在△ACD和△ABG中，AC=AB, ∠CAD=∠BAG, ∴.△ACD≌△ABG(ASA)..CD=BG.CD平分 ∠ACB,∴.∠ACE=∠BCE.在△GCE和△BCE中， ∠GCE=∠BCG, CE=CE, ∴.△GCE≌△BCE(ASA)..GE= ∠CEG=∠CEB, BE..BG=2BE..CD=2BE.(2)DF=2BE.如图 ②，过点D作DG∥AC,交AB于点H,交BE的延长线于 点G.∴∠BHD=∠A=90°.AB=AC,∠BAC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形.∴.∠ABC=∠C=45°. :DG∥AC,∴.∠BDG=∠C=∠ABC=45.∴.△BHD 是等腰直角三角形.∴HB=HD.:BE⊥DE,∴.易得 △FHDF≌△HBG(ASA).∴.DF=BG.:∠EDB=2∠C, ∠EDB=号∠BDG,即DE平分∠BDG.&∠EDB= ∠EDG.又.'∠BED=∠GED,DE=DE,∴.△BDE≌ △GDE(ASA).∴.BE=GE..BG=2BE.∴.DF=2BE (第2题) 3.(1)∠C=90°，∴.∠CAB+∠CBA=90°.AE平 分∠CAB,BE平分∠ABC,∴.∠BAE=∠CAD=