13.3 专题特训一 三角形内、外角的平分线的夹角探究-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训一 三角形内、外角的平分线的夹角探究 类型一三角形两内角的平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. 结论：∠D=90+2∠A, 1.如图，在四边形ABCD中，BP平分∠ABC,CP平分∠BCD,若∠BAD= 110°，∠ADC=130°，则∠P的度数为 2.如图，∠MON=80°，点A,B分别在射线OM,ON上移动，△AOB的角平分 (第1题) 线AC与BD交于点P.随着点A,B位置的变化，∠APB的度数是否会变 化？若不变，请说明理由；若变化，请求出变化范围. D M (第2题) 类型二三角形两外角的平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BF,CF分别平分△ABC的外角∠CBP,∠BCQ. 结论：∠F=90-∠A, 3.如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线，BP,CP分别是∠EBC,∠FCB 的平分线。 (1)当∠ABC=54°，∠ACB=66时，∠D=°，∠P=」 (2)若∠A=66°，求∠D,∠P的度数. (3)当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否会变化？请说明理由. (第3题) 10 第十三章三角形 类型三三角形一内角的平分线与一外角的平分线的夹角 模型示例：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACM. 结论：∠E=2∠A. 4.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线.如果∠ABP= 20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P的度数为 (第4题) (第5题) 5.如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，BE平分∠ABC,CF平分∠ACD,若∠BEF+ ∠CFE=210°，则∠A的度数为 6.如图①，∠MON=90°，点A,B分别在OM,ON上运动（不与点O重合）. (1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D. ①如果∠BAO=70°，那么∠D的度数为 ②∠D的度数是否随点A,B的运动而发生变化？请判断并说明理由. （2)如图@，如果∠CBA=吉∠ABN,∠BAD=吉∠BA0,求∠D的度数 (3)在图①的基础上，若∠MON=α，其余条件不变，随着点A,B的运动（如图③），则∠D= (用含α的式子表示). D ① ② (第6题) “答案与解析”见P6 11∠BAC=180°，∠B=n°，∠ACB=m°，∴.∠BAC=(180- n-m)°.·∠1=2180-n-m)°.∠3=∠B+∠1= n+2(180-n-m)°=90+2°-号m.:PELAD, ∠DPE=90.·∠E=90-(90+2-2m） 2(m-wr=∠ACB-∠B. B (第9题) 10.(1)20°.如图，根据题意，得∠C=60°，∠1= 3∠CAB,∠2=S∠CBD,∠CBD=∠C+∠CAB, ∴.3∠2=60°+3∠1，即∠2=20°+∠1.：∠2=∠1+ ∠E1,.20°+∠1=∠1+∠E1.∴.∠E,=20°.(2)由 题意，得∠EAD=子∠CAB,∠E,BD=号∠CBD.设 ∠E,AD=a,∠E,BD=B,则∠CAB=3a,∠CBD=3B.由 三角形的外角性质，得B=a+∠E1,33=3a+∠C, ·∠E=3∠C.同理，可得∠E=3∠E (3)）∠C…,∠E.=(3)∠c.·∠E.=(3)m 1 2 B D (第10题) 专题特训一三角形内、外角的 平分线的夹角探究 1.120°延长BA,CD交于点G.∠BAD=110°， ∠ADC=130°，.∠GAD=70°，∠GDA=50°.∴.∠G= 60°.由三角形两内角的平分线的夹角模型，知∠P=90°十 2∠G=120 2.∠APB的度数不变.理由：：△AOB的角平分线AC 与BD交于点P,·∠PAB=7∠OAB,∠PBA= 2∠OBA.·∠PAB+∠PBM=2∠OAB+2∠OBM= 2(∠0AB+∠0BA)=号(180°-∠A0B)=90° 3∠A0B.·∠APB=180-(∠PAB+∠PBA) 180-(90°-号∠A0B)=90+2∠A0B.:∠A0B= 80,∠APB=90°+7×80=130，即随者点A,B位置 的变化，∠APB的度数不变，始终为130°. 3.(1)120:60.'BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平 分线，∠ABC=54,∠ACB=66,.∠DBC=号∠ABC= 2T,∠DCB=2∠ACB=3,∠EC=12,∠BCF- 114°..∠D=180°-∠DBC-∠DCB=120°.BP,CP 分别是∠EBC,∠FCB的平分线，.∠CBP=2∠EBC= 63,∠BCP=7∠BCF=57.·.∠P=180-∠PBC- ∠BCP=60°.(2)：BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的 平分线，·.∠DBC=2∠ABC,∠DCB=日∠ACB, ∠D=180°-（∠DBC+∠DCB)=180-2(∠ABC+ ∠ACB)=180°-2(180°-∠A)=90+2∠A=90+ 号×66=12.由外角性质得，∠FBC=∠A十∠ACB. ∠FCB=∠A十∠ABC.:BP,CP分别是∠EBC, ∠PCB的平分线，∠CBP+∠BCP=(∠EBC+ ∠FCB)=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=2(180+ ∠A)=90+2∠A.·.∠P=180°-（∠CBP+∠BCP)= 90°-∠A=90°-号×66=57：(3)∠D+∠P的值 不会变化.理由：由(2)可知，∠D=90+分∠A,∠P 90°-7∠A.∠D+∠P=180,即当∠A的大小变化 时，∠D十∠P的值不变 4.90°：'BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是 △ABC的外角∠ACM的平分线，且∠ABP=20°， ∠ACP=50°，.∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM= 2∠ACP=100°.∴.∠A=∠ACM-∠ABC=60°， ∠ACB=180°-∠ACM=80°.∴.∠BCP=∠ACB+ ∠ACP=130°.：∠PBC=∠ABP=20°，∴.∠P=180° ∠PBC-∠BCP=30°.∴.∠A+∠P=90°. 5.60°延长BE,CF交于点G.:∠BEF=∠G+ ∠EFG,∠CFE=∠G+∠FEG,∴.∠BEF+∠CFE= 180°+∠G..∠G=210°-180°=30°.由内、外角平分线 模型可知∠A=2∠G=60° 6.(1)①45°..'∠MON=90°，∠BAO=70°，∴.∠AB0= 20°.∴.∠ABN=180°-∠AB0=160°.：BC平分 ∠ABN,.∠ABC=是∠ABN=80.:AD平分 ∠BA0∠BAD-号∠BA0-35:∠D=∠ABC ∠BAD=45°.②不随，点A,B的运动而发生变化.理由： :由题意知，AD平分∠BAO,BC平分∠ABN, :∠BAD=∠BAO,∠CBA=号∠ABN.:∠CBA= ∠D+∠BAD,·.∠D=∠CBA-∠BAD=2∠ABN- 3∠BA0-是（∠ABN-∠BAO)-是∠MON. ∠MON=90°，.∠D=45°.∴.∠D的度数不随点A,B 的运动而发生变化.(2)由(1)②知，∠D=∠CBA ∠BAD.:∠CBA=3∠ABN,∠BAD=号∠BAO, 1 ·.∠D-3∠ABN-3∠BAO=子（∠ABN-∠BAO) 3∠M0N.∠M0N=90,.∠D=30.(3)2a. 由(1)②知，∠D=∠CBA-∠BAD=2∠ABN- ∠BA0-(∠ABN-∠BAO)=2∠MON=7a: y 专题特训二三角形中的数学思想方法 1.A由题意得，设∠A=2x,则∠ACB=2x,∠ACD= x,∴.∠CDB=∠A+∠ACD=3x.,'CE是△ABC的 高，∠DCE=48°，∴.∠CDB=90°-48°=42°，即3x=42°， 解得x=14°..∠ACB=2x=28. 2.50°设∠B=x,由题意可知，∠A=∠B+10°=x十 10°，∠C=∠B+20°=x+20°.由三角形内角和可知，x十 10°+x+x+20°=180°，解得x=50°..∠B=50°. 3.48°设∠CAD=x,则∠E=3x.:AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD=x.∴.∠EAD=∠ADE=∠B+ ∠BAD=50°+x.:'在△ADE中，∠E+∠ADE十 ∠DAE=180°，∴.3x+2(50°+x)=180°，解得x=16°. ∴.∠E=3x=48°. 4.设∠C=2x,则∠ADB=3x.BD平分∠ABC, ∠ABC=72°，∴.∠ABD=∠CBD=36.∠ADB ∠DBC+∠C,∴.3x=36°+2x,解得x=36°.∴.∠C 72°，∠ADB=108°.∴.∠BAC=180°-72°-72°=36. :AE⊥BE,.∠E=90°.：∠ADB=∠E+∠DAE, .∠DAE=108°-90°=18. 5.·∠AKG=∠A+∠B,∠DHG=∠C+∠D,∠FGK= ∠E+∠F,∠AKG,∠DHG,∠FGK是△GKH的外角， ∴.易得∠AKG+∠DHG+∠FGK=360°.∴.∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 6.A∠O+∠OAB+∠OBA=180°，.∠OAB+ ∠OBA=180°-∠O=180°-60°=120°.A01,B01分 别平分∠OAB,∠OBA,.∠O1AB=∠O1AO= 3∠0AB,∠0，BA=∠0，B0=3∠0BA.又：A0, B02分别平分∠OAO1,∠OBO1,.∠O2AO1= 3∠0，A0=∠0AB,∠0，B0,=7∠0，B0 ∠OBA.·∠0，AB+∠0，BA=∠0AB+ ∠0BA=子（∠0AB+∠0BM)=×120=90 .∠O2=180°-（∠02AB+∠O2BA)=180°-90°=90 7.100°：BI平分∠DBE,CI平分∠DCF,∴.可设 ∠IBD=∠IBE=x,∠ICD=∠ICF=y.易得x+y= ∠I+∠A①，∠D=180°-2x+180°-2y+∠A②，将① 代入②，得∠D=360°-2∠A-2∠I+∠A,∴.∠I= 180-2(∠A+∠D)=180°-2×160=102 8.'∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点E,D,F, G.∠CBG=∠EG=∠ABE=号∠ABC.∠CF ∠PCF=∠ACE=3∠ACB.在△BCG中，∠GC=1I8. ∴.∠CBG+∠BCE=180°-∠BGC=62..∠CBG+ 2∠BCF=62①.在△BCF中，∠BFC=132°，.∠BCF+ ∠CBF=180°-∠BFC=48°.∴.∠BCF+2∠CBG=48 ②.①+②，得3∠BCF+3∠CBG=110°.∴.∠A=180°- (3∠BCF+3∠CBG)=70°. 9.(1)15°.：△ABC是“准互余三角形”，∠C>90, ∠B=60°，∴.∠B+2∠A=90°.∴.∠A=15° (2)①△ABD是“准互余三角形”.理由：：AD是∠BAC 的平分线，∴.∠BAC=2∠BAD.,∠ACB=90°， .∠BAC+∠B=90°..2∠BAD+∠B=90°.∴.△ABD是 “准互余三角形”.②：△ABE是“准互余三角形”， ∴.∠EAB+2∠ABC=90°或2∠EAB+∠ABC=90°. :∠ABC=24°，.∠EAB=42或∠EAB=33.当 ∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°-∠ABC- ∠BAE=24°.当∠EAB=33°，∠ABC=24时，∠EAC= 90°-∠ABC-∠BAE=33°.综上所述，∠EAC的度数为 24或33°