14.3 第1课时 角的平分线(1)-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 14.31 角的平分线 第1课时 角的平分线(1) 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，在△ABC中，AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积 为5，则DE的长为 () A.1 B.2 C.3 D.5 D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，△ABC的外角平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3，则，点P到AB的 距离为 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，△ABC的周长是36cm,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D.若OD 3cm,则△ABC的面积是 4.如图，∠AOB=a. (1)尺规作图：在图①中，作∠AOB的平分线OP(不写作法，保留作图痕迹). (2)在(1)的条件下，如图②，点C在射线OP上，∠DCE=180°-a,且∠DCE的两边分别与 OA,OB交于点D和点E.求证：CD=CE. B DA ① ② (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4cm,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是 BC边上一动点，则DP长的最小值为 () A.2 cm B.3cm C.4cm D.5cm (第5题) 32 第十四章全等三角形 6.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40，三条角平分线将△ABC分为三个三角 形.若S△40=30，则S△Ac的值为 () A.180 B.155 C.150 D.135 A M 0 (第6题) (第7题) 7.如图，在∠AOB的边OA,OB上分别取点M,N,连接MN,MP平分∠AMN,NP平分 ∠MNB.若MN=4,△PMN的面积是6，△OMN的面积是9，则OM+ON的值是 8.如图，AP是△ABC的外角平分线，PM⊥BA,交BA的延长线于点M,且∠BPC=∠BAC (1)求证：PB=PC. (2)求证：AC-AB=2AM. (3)若BM=3,求AB+AC的值 B (第8题) 微专题·对角互补模型 1.如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB,点P在射线OC上，点E在射线OA上，点F在射线OB 上，且∠EPF=90°.求证：PE=PF. B (第1题) 2.如图，OC平分∠AOB,P是OC上任意一点，点M,N分别在射线OB和射线OA上，连接 PM和PN.若∠PMO+∠PNO=180°，求证：PM=PN. B NA (第2题) ●“答案与解析”见P18 33的右侧时，同理可证EF=AF一BE,∴.EF=|BE-AF. (2)EF=BE+AF.:'∠BEC=∠CFA=∠a,∠a= ∠BCA,且∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+ ∠ACF+∠ACB=180°，∴.∠EBC=∠ACF.在△BEC和 ∠EBC=∠FCA, △CFA中， ∠BEC=∠CFA,∴.△BEC≌△CFA BC=CA, (AAS)..AF=CE,BE=CF.EF=CF+CE,..EF= BE+AF 5.(1)如图，延长EB至点G,使BG=DF,连接AG.:四 边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∠D=∠BAD= ∠ABE=∠ABG=90°..∴.△ADF≌△ABG(SAS). ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG.∴.∠DAF+∠BAF= ∠BAG+∠BAF,即∠BAD=∠GAF=90°.'∠EAF= 45°，.∠GAE=∠EAF=45.:AG=AF,∠GAE= ∠FAE,AE=AE,.△GAE≌△FAE(SAS).∴.EF= EG=BE+BG=BE+DF.(2):△GAE≌△FAE, ∴.∠AEB=∠AEF.∴.EA平分∠BEF.:△GAE≌ △FAE,.∠AFE=∠G..△ADF≌△ABG, ∴.∠AFD=∠G.∴.∠AFD=∠AFE.∴.FA平分∠DFE. G2---- B E (第5题) 6.延长FD至点G,使DG=BE,连接CG.∠A十 ∠BCD=60°+120°=180°，.∠B+∠ADC=180°. .∠ADC+∠CDG=180°，∴.∠CDG=∠B.在△CBE (CB=CD, 和△CDG中，〈∠B=∠CDG,.∴.△CBE≌△CDG(SAS) BE=DG, ∴.CG=CE,∠DCG=∠BCE.∴.∠ECG=∠BCD= 120°=2∠ECF..∠ECF=∠GCF.在△ECF和△GCF CE=CG, 中，∠ECF=∠GCF,∴.△ECF≌△GCF(SAS). CF=CF, .EF=GF=DG+DF=BE+DF. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线(1) 1.B如图，过点D作DF⊥AB于点F.AD平分 ∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,.DE=DF..△ABD的 面积为5，.号AB·DF=5.:AB=5,DF=2 ∴.DE=2. E B D C (第1题) 2.C如图，过点P作PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G, PHLAB于点H.,△ABC的外角平分线BD与CE相交 于点P,∴PF=PG=3,PG=PH.∴.PF=PG=PH=3, 即点P到AB的距离为3. A B H (第2题) 3.54如图，过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点 F,连接OA.:O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且 OD⊥BC,∴.OE=OD=OF.又OD=3cm,△ABC的 周长为36cm,.△ABC的面积=S△附+S△oc+ Sr-号AB·OE+号AC·OF+号BC·OD= 3AB+AC+BO).0D-号×36X3=54m. B (第3题) 4.(1)如图①，射线OP即为所求作.(2)如图②，过点 C作CF⊥OA于点F,CG⊥OB于点G,∴.∠OFC= ∠OGC=90°.：'∠OFC+∠OGC+∠FOG+∠FCG= 360°，∴.∠F0G+∠FCG=180°.∠DCE=180°-a, ∠AOB=a,.∠DCE+∠AOB=180°.∴.∠FCG= ∠DCE,即∠FCE+∠ECG=∠FCE+∠DCF. ∴.∠ECG=∠DCF.:OP为∠AOB的平分线，CF⊥ OA,CG⊥OB,∴.CG=CF..△CEG≌△CDF(ASA). .CD=CE. B 10 F DA ① ② (第4题) 5.C根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP长有最 小值.BD⊥CD,即∠BDC=90°，又：∠A=90°， ∴.∠A=∠BDC.又∠ADB=∠C,.∠ABD= ∠CBD,即BD平分∠ABC.又DA⊥BA,DP⊥BC, ..AD=DP..AD=4cm,.'.DP=4cm,即DP长的最 小值为4cm. 6.D如图，过点O分别作AB,BC,CA的垂线，垂足分别 为D,E,F.:AO平分∠BAC,OD⊥AB,OF⊥AC, .OF=OD.同理可得OD=OE.:SAm=30号AB· 0D=30,即号×20·0D=30,解得0D-3.0E- 0r=8.Sx=7BC.0E=2×30X3=45,Sar 号AC.0F-3X40X3=05Am=SAm十5c十 S△4c=30+45+60=135. (第6题)》 7.10如图，过点P作PH⊥MN于点H,PC⊥OA于点 C,PD⊥OB于点D,连接PO.'MP平分∠AMN,NP 平分∠MNB,∴.PC=PH,PD=PH..PC=PD. :△PMN的面积=2MN·PH=6,MN=4,PH- 3.PC=PD=3.:'△PMN的面积是6，△OMN的面 积是9，SaaM+SaoN=6+9=15..2OM·PC+ 2ON·PD=15.∴.(OM+ON)X3=15×2..OM+ ON=10,即OM+ON的值是10. A M C 0 N D B (第7题) 8.(1)如图，过点P作PN⊥AC于点N,.∠CNP= 90°.PM⊥AM,AP平分∠MAC,.∠BMP=90°， PM=PN.:∠BPC=∠BAC,∴.∠ABP=∠PCA. .∠BMP=∠CNP=90°，∴.△PMB≌△PNC(AAS). .PB=PC.(2)'△PMB≌△PNC,∴.BM=CN.在 Rt△PMA和Rt△PNA中， PA=PA,:R△PAM≌ PM=PN, Rt△PAN(HI).∴.AM=AN.∴.AC-AB=(AN+CN)- (BM-AM)=2AM.(3)AB+AC=(BM-AM)+ (AN+CN)=BM+CN=2BM=6. M B。 C (第8题) 微专题·对角互补模型 1.如图，过点P作PG⊥OB于点G,PH⊥AO于点H, 则∠PGF=∠PHE=90°.：'OC平分∠AOB,PG⊥ OB,PH⊥AO,∴.PH=PG.'∠AOB=∠EPF= 90°，∴.∠PFG+∠PEO=180°.又.∠PEH+∠PEO= 180°，.∴.∠PEH=∠PFG..∴.△PEH≌△PFG(AAS). .PE=PF」 0 GF B (第1题) 2.如图，过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点F .∠PEM=∠PFN=90°.：OC是∠AOB的平分线， PE⊥OB,PF⊥OA,.PE=PF.∠PMO+∠PME =180°，∠PMO+∠PNO=180°，∴.∠PME=∠PNO. ∠PME=∠PNF, 在△PME和△PNF中，∠PEM=∠PFN, PE=PE, .△PME≌△PNF(AAS).∴.PM=PN. B B M 、pC F NA (第2题 第2课时角的平分线(2) 1.D:'∠AOC=∠BOC,∴.OC是∠AOB的平分线，故 ①符合题意.PD LOA,PE⊥OB,PD=PE,∴.点P在 ∠AOB的平分线上.∴.OC是∠AOB的平分线，故②符合 题意.：PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△POD和Rt△POE中， OP=OP,:.R△POD≌ OD=OE, Rt△POE(HI).∴.∠POD=∠POE.∴.C是∠AOB的平 分线，故③符合题意.'PD⊥OA,PE⊥OB,∴.∠PDO= ∠PDO=∠PEO, ∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠DPO=∠EPO, OP=OP, ∴.△PDO≌△PEO(AAS).∴.∠POD=∠POE.∴.OC 是∠AOB的平分线，故④符合题意. 2.B'∠BOC=110°，∴.∠OBC+∠OCB=180°-110°= 70°点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴.点O 在∠ABC,∠BCA的平分线上.∴.BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB.∴.∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB. .∠ABC+∠ACB=140°..∠A=180°-（∠ABC+ ∠ACB)=180°-140°=40°.