14.2 专题特训三 全等三角形中的难点模型-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

方法归纳 判定直角三角形全等的四种思路 (1)若已知条件中有一组斜边和一组直角边分别对 应相等，则用“”判定 (2)若有一组锐角和一组斜边分别对应相等，则用 “AAS”判定. (3)若有一组锐角和一组直角边分别对应相等： ①直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定：②直角边是 锐角的邻边且是直角的邻边，则用“ASA”判定 (4)若有两组直角边分别对应相等，则用“SAS判定 9.(1).'∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC+∠BAE=∠DAE+ ∠BAE,即∠CAE=∠BAD.在△ACE和△ABD中， AC=AB, ∠CAE=∠BAD,∴.△ACE≌△ABD(SAS). AE=AD, (2).△ACE≌△ABD,∴.∠AEC=∠ADB.∴.∠AEF+ ∠AEC=∠AEF+∠ADB=180°.∴.易得∠DAE+ ∠DFE=180°.∠BFC+∠DFE=180°，∴.∠BFC= ∠DAE=50°.(3)如图，连接AF,过点A作AJ⊥CF于 点J.:△ACE≌△ABD,∴.SAACE=S△Am,CE=BD. :WLCE,AHLBD,2CE·J-BD·AH. ÷A=AH,在R△AEI和R△AFH中，AA .Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL).∴.JF=HF.在Rt△AJE 和Rt△AHD中， AE=AD·:R△AWE≌R△AHD AJ=AH, (HL)..JE=HD..EF+DH=EF+JE=JF=HF. B (第9题) 专题特训三全等三角形中的难点模型 1.CAB⊥AC,AD⊥AE,∴.∠BAC=90°，∠DAE= 90°.，∴.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE= AB=AC, ∠DAC.在△BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD, LAE-AD. ∴.△BAE2△CAD(SAS)..∠E=∠D=35°.∠B= 25°，∴.∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-25°-35° 120°.∴.∠CAE=∠BAE-∠BAC=120°-90°=30°. 2.(1)∠BAE=∠CAF=90°，∴.∠BAE+∠BAC= ∠CAF+∠BAC,即∠CAE=∠BAF.在△EAC和 (AE-AB, △BAF中，∠EAC=∠BAF,..△EAC≌△BAF AC=AF. (SAS).∴.EC=BF.(2)如图，设AC交BF于点O. :△EAC≌△BAF,∴.∠AFO=∠OCM.∠AOF= ∠COM,∴.∠OMC=∠OAF=90°.∴.EC⊥BF.(3)成 立；不成立.同理可证△EAC≌△BAF,∴.EC=BF, ∠AFB=∠ACE..∠CMO=∠FAO=m°.∴.(1)中的结 论成立，(2)中的结论不成立. R (第2题) 3.18如图，过点E作ED LBC,交BC的延长线于点D. :AB⊥BC,且AC⊥CE,.∠ABC=∠D=∠ACE= 90°.∴.∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴.∠BCA=∠DEC.又AC=CE,∴.△ABC≌△CDE 1 (AAS).BC=DE=6.△BCE的面积=2BC· DE=2×6×6=18. (第3题) 4.(1)①EF-|BE-AFL.当点E在点F的左侧时， :∠BCA=90,∠a=90°，∴.∠ACB=∠BEC=∠AFC= 90°.，∴.∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90° ∴.∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中， '∠EBC=∠FCA, ∠BEC=∠CFA,∴.△BCE≌△CAF(AAS).∴.BE= BC=CA, CF,CE=AF.∴.EF=CF-CE=BE-AF.当点E在，点F 的右侧时，同理可证EF=AF-BE.∴.EF=|BE-AF. ②∠a+∠BCA=180°.当点E在点F的左侧时， :∠BEC=∠CFA=∠a,∠a+∠BCA=180°，∴.易得 ∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中， I∠EBC=∠FCA, ∠BEC=∠CFA,∴.△BCE≌△CAF(AAS).∴.BE= BC=CA, CF,CE=AF.∴.EF=CF-CE=BE-AF.当点E在点F 的右侧时，同理可证EF=AF一BE,∴.EF=|BE-AF. (2)EF=BE+AF.:'∠BEC=∠CFA=∠a,∠a= ∠BCA,且∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+ ∠ACF+∠ACB=180°，∴.∠EBC=∠ACF.在△BEC和 ∠EBC=∠FCA, △CFA中， ∠BEC=∠CFA,∴.△BEC≌△CFA BC=CA, (AAS)..AF=CE,BE=CF.EF=CF+CE,..EF= BE+AF 5.(1)如图，延长EB至点G,使BG=DF,连接AG.:四 边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∠D=∠BAD= ∠ABE=∠ABG=90°..∴.△ADF≌△ABG(SAS). ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG.∴.∠DAF+∠BAF= ∠BAG+∠BAF,即∠BAD=∠GAF=90°.'∠EAF= 45°，.∠GAE=∠EAF=45.:AG=AF,∠GAE= ∠FAE,AE=AE,.△GAE≌△FAE(SAS).∴.EF= EG=BE+BG=BE+DF.(2):△GAE≌△FAE, ∴.∠AEB=∠AEF.∴.EA平分∠BEF.:△GAE≌ △FAE,.∠AFE=∠G..△ADF≌△ABG, ∴.∠AFD=∠G.∴.∠AFD=∠AFE.∴.FA平分∠DFE. G2---- B E (第5题) 6.延长FD至点G,使DG=BE,连接CG.∠A十 ∠BCD=60°+120°=180°，.∠B+∠ADC=180°. .∠ADC+∠CDG=180°，∴.∠CDG=∠B.在△CBE (CB=CD, 和△CDG中，〈∠B=∠CDG,.∴.△CBE≌△CDG(SAS) BE=DG, ∴.CG=CE,∠DCG=∠BCE.∴.∠ECG=∠BCD= 120°=2∠ECF..∠ECF=∠GCF.在△ECF和△GCF CE=CG, 中，∠ECF=∠GCF,∴.△ECF≌△GCF(SAS). CF=CF, .EF=GF=DG+DF=BE+DF. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线(1) 1.B如图，过点D作DF⊥AB于点F.AD平分 ∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,.DE=DF..△ABD的 面积为5，.号AB·DF=5.:AB=5,DF=2 ∴.DE=2. E B D C (第1题) 2.C如图，过点P作PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G, PHLAB于点H.,△ABC的外角平分线BD与CE相交 于点P,∴PF=PG=3,PG=PH.∴.PF=PG=PH=3, 即点P到AB的距离为3. A B H (第2题) 3.54如图，过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点 F,连接OA.:O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且 OD⊥BC,∴.OE=OD=OF.又OD=3cm,△ABC的 周长为36cm,.△ABC的面积=S△附+S△oc+ Sr-号AB·OE+号AC·OF+号BC·OD= 3AB+AC+BO).0D-号×36X3=54m. B (第3题) 4.(1)如图①，射线OP即为所求作.(2)如图②，过点 C作CF⊥OA于点F,CG⊥OB于点G,∴.∠OFC= ∠OGC=90°.：'∠OFC+∠OGC+∠FOG+∠FCG= 360°，∴.∠F0G+∠FCG=180°.∠DCE=180°-a, ∠AOB=a,.∠DCE+∠AOB=180°.∴.∠FCG= ∠DCE,即∠FCE+∠ECG=∠FCE+∠DCF. ∴.∠ECG=∠DCF.:OP为∠AOB的平分线，CF⊥ OA,CG⊥OB,∴.CG=CF..△CEG≌△CDF(ASA). .CD=CE. B 10 F DA ① ② (第4题) 5.C根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP长有最 小值.BD⊥CD,即∠BDC=90°，又：∠A=90°， ∴.∠A=∠BDC.又∠ADB=∠C,.∠ABD= ∠CBD,即BD平分∠ABC.又DA⊥BA,DP⊥BC,拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训三 全等三角形中的难点模型 类型一手拉手模型 1.如图，AB⊥AC于点A,AB=AC,AD⊥AE于点A,AD=AE.若∠D=35°，∠B=25°，则 ∠CAE的度数为 () (第1题) A.35 B.25 C.309 D.45° 2.如图，AE=AB,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，EC,BF相交于点M. (1)求证：EC=BF. (2)求证：EC⊥BF. (3)若将条件∠BAE=∠CAF=90°改为∠BAE=∠CAF=m°(m≠90)，则(1)(2)中的结论还 成立吗？(1)中的结论 ,(2)中的结论 .(填“成立”或“不成立”) (第2题) 类型二一线三等角模型 3.如图，AB⊥BC,且AC⊥CE,AC=CE,连接BE.若BC=6,则△BCE的面积为 (第3题) 4.新向探究题已知CD是经过∠VCM的顶点C的一条直线，点A,B分别在CM,CN上，且 CA=CB,E,F是直线CD上两，点，且∠BEC=∠CFA=∠a. (1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面的问题： ①如图①，若∠BCA=90°，∠α=90°，请探索线段EF,BE,AF之间的数量关系，并证明你的 结论 ②如图②，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件： ,使①中 的结论仍然成立 30 第十四章全等三角形 (2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，点E在点F的左侧，∠α=∠BCA,请写出线段 EF,BE,AF之间的数量关系，并证明你的结论 M E ① (② (第4题) 类型三半角模型 5.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的，点，∠EAF=45°.求证： (1)EF=BE+DF. (2)EA平分∠BEF,FA平分∠DFE. (第5题) 6.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD=120°，E,F分别为AB,AD上的点，∠ECF= ∠A=60°.求证：EF=BE+DF (第6题) “答案与解析”见P17 31