14.2 第5课时 用“HL”判定两个直角三角形全等-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第5课时用“HL”判定两个直角三角形全等 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025赤峰中考]如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌ Rt△ABD,以下给出的条件中，正确的是 () A.∠ABC=∠ABDB.∠BAC=∠BADC.AC=AD D.BD⊥BC R B (第1题) (第3题) 2.根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是 A.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B.∠A=30°，AB=5,BC=3 C.∠B=60°，AB=6,BC=10 D.∠C=90°，AB=5,AC=3 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB交BC于点E.若∠B=28°，则∠AEC的度数 为 4.转化写化归思想如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD,作DE⊥AB于点 E,延长DE交BC于点F,AD=AB,AE=AC. (1)求证：DE=BC (2)若BF=2,CF=1,求DF的长. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,连接AO 并延长，交BC于点F,则图中全等的直角三角形有 A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 28 (第5题) 第十四章全等三角形 6.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线MN上，点B,C在直线PQ上，点E在AB上，AD+ BC-9,AD=EB,DE-EC,AB- MA D -N P-B cQ M EB (第6题) (第7题) 7.分类讨论思想如图，D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于点E,DF⊥AN于点F,且DE=DF,B 是射线AM上一点，AB=6,BE=2,在射线AN上取一点C,使得DC=DB,则AC的长 为 8.★舒向探究题如图，∠A=∠D=90°，AB=DC,点E,F在直线BC上，且BE=CF. (1)求证：∠E=∠F. (2)若PO平分∠EPF,则PO与BC有什么位置关系？请说明理由. B 0 (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE的延长线交BD于 点F. (1)求证：△ACE≌△ABD, (2)若∠BAC=∠DAE=50°，求∠BFC的度数. (3)过点A作AH⊥BD于点H,求证：EF+DH=HF. (第9题) ●“答案与解析”见P15 29AB=EB. 7.40°在△BDA和△BDE中，BD=BD,.△BDA≌ AD=ED, △BDE(SSS).∴.∠A=∠BED.,∠A=80°，.∠BED= ∠A=80°.：∠BED=∠C+∠CDE,∴.∠CDE= ∠BED-∠C=80°-40°=40° (AB=AD, 8.49°在△ABC和△ADE中，AC=AE,∴.△ABC≌ BC=DE. △ADE(SSS).∴.∠BAC=∠2，∠ABC=∠1..∠3= ∠ABC+∠BAC=∠1+∠2.又∠1+∠2+∠3=98°， ∴.2∠3=98°..∠3=49° AB=DE, 9.(1)在△ABC和△DEC中，BC=EC,∴.△ABC≌ AC-DC. △DEC(SSS.∴.∠ACB=∠DCE.∴.∠ACB-∠ACE= ∠DCE-∠ACE,即∠BCE=∠ACD.(2):'∠CEB= ∠BAC+∠ACE,∠CFE=∠EDC+∠ACD,∠CEB= ∠CFE,∴.∠BAC+∠ACE=∠EDC+∠ACD.由(1)，得 △ABC≌△DEC,∴.∠ACB=∠DCE,∠BAC=-∠EDC. ∴.∠ACE=∠ACD.∠ACE=36,∴.∠DCE=∠ACE+ ∠ACD=36°+36=72°..∠ACB=72°. 10.(1)·AF⊥BE,∴.∠BAF=∠DAE=90°.在△ABF AB=AD, 和△ADE中，{∠BAF=∠DAE,.△ABF≌△ADE AF=AE, (SAS).∴.BF=DE.(2)如图，连接AC.BF=DE, CE=BC+BF,∴.BC=DC.在△ABC和△ADC中， AB=AD, AC=AC,.△ABC≌△ADC(SSS).∴.∠ACB= BC=DC, ∠ACD,∠ABC=∠ADC=110°，∠BAC=∠DAC= 2∠BAF=45.·∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC 1 25°..∠ACD=25°.∴.∠BCE=50°. B E (第10题) 第4课时尺规作图 1.D 2.如图所示。 (第2题) 3.(1)如图所示.(2)在△CDA和△ABC中， (AD-CB. ∠CAD=∠ACB,∴.△CDA≌△ABC(SAS.∴.∠ACD= AC-CA, ∠CAB..CD∥AB. E D 6 (第3题) OD=CG, 4.D由作图可知，在△DOE和△GCF中，DE=GF, OE=CF, ∴.△DOE≌△GCF(SSS).∴.∠GCF=∠DOE,即 ∠AOB=∠HCO=a.∴.∠AHC=∠AOB+∠HCO=2a. 5.62°连接EF,DE.通过尺规作图可知，OD=OF, OD=OF, DE=FE.在△DOE和△FOE中，3DE=FE,∴.△DOE≌ OE-OE, △FOE(SSS).∴.∠AOD=∠AOB=31°.∴.∠BOD= ∠AOB+∠AOD=62°. 6.(1)如图①所示.由作图得，∠DAC=∠C ∠ADB=∠DAC+∠C,∴.∠ADB=2∠C.(2)如图 ②所示.由作图得，∠B=∠EAC.:∠AEC=∠B十 ∠BAE,∠BAC=∠BAE+∠EAC,..∠AEC=∠BAC. B4 ② (第6题) 7.(1)如图所示.(2)如图所示.(3)PF=AC.理由： 由以上作图可知，∠BCP=∠CFP=∠A,CF=AB. :∠BCP+∠FCP=∠BCD=∠A+∠B,∠BCP= ∠A,∴.∠FCP=∠B.又：CF=AB,∠CFP=∠A, ∴.△FCP≌△ABC(ASA).∴.PF=AC. D D (第7题) 第5课时用“HL”判定两个直角三角形全等 1.C在Rt△ABC和Rt△ABD中，已知AB=AB,要使 用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要补充AC=AD 或BC=BD. 2.BA∠A=60°，∠B=45°，AB=4,满足ASA的要 求，∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意.B ∠A=30°，AB=5,BC=3,∠A不是AB,BC的夹角， ∴.可以画出多个三角形，原选项符合题意.C.∠B 60°，AB=6,BC=10,满足SAS的要求，.可以画出唯一 的三角形，原选项不符合题意.D.:∠C=90°，AB=5, AC=3,满足HL的要求，∴.可以画出唯一的三角形，原选 项不符合题意 3.59°DE⊥AB,.∠ADE=90°.∠C=90°， ∴.∠C=∠ADE.在Rt△ACE和Rt△ADE中， AE=AE:R△ACE≌R△ADE(H,.·∠CAE AC-AD, ∠DAE.∠B=28°，∴.∠BAC=62°.∴.∠CAE= 3∠BAC=3R∠ABC=180-∠C-∠CAE=9. 4.(1):∠ACB=90°，DE⊥AB于点E,∴.△ADE和 △ABC都是直角三角形.在Rt△ADE和Rt△ABC中， (AD=AB, ∴.Rt△ADE≌Rt△ABC(HL).∴.DE=BC AE=AC, (2)如图，连接AF.由(1)知DE=BC.:BF=2,CF=1, (AF=AF, .BC=3.在Rt△AEF和Rt△ACF中， AE-AC ∴.Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)..EF=CF=1.∴.DF= DE+EF=BC+CF=3+1=4. D (第4题) 5.C:BD⊥AC,CE⊥AB,∴.∠BEC=∠CEA= ∠BDA=∠BDC=90°.在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE, ∠BDA=∠CEA,.△ABD2△ACE(AAS)..CE= AB=AC, BD.AB=AC,∴.易得∠CBE=∠BCD.在△BCE和 [∠CBE=∠BCD. △CBD中，∠BEC=∠CDB,∴.△BCE≌△CBD CE=BD, (AAS)..'BE=CD..'AC-CD=AB-BE,E AD= (AO=AO, AE.在Rt△AOD和Rt△AOE中， AD=AE, ∴.Rt△AOD≌2Rt△AOE(HL).在△COD和△BOE中， ∠DOC=∠EOB, ∠ODC=∠OEB,∴.△COD≌△BOE(AAS)..∴.OB= CD=BE, O℃..△AOD≌△AOE,..∠DAO=∠EAO.在△CAF (AC=AB, 和△BAF中，∠CAF=∠BAF,∴.△CAF≌△BAF AF-AF. (SAS).∴.∠AFC=∠AFB.:∠AFC+∠AFB=180°， ∴.∠AFC=∠AFB=90°.在Rt△OFC和Rt△OFB中， OC-=OB·:.R△OFC≌R△OFB(.综上所述，题图 OF=OF, 中全等的直角三角形有6对 6.9MN∥PQ,AB⊥PQ,∴.AB⊥MN.∴.∠DAE= (DE=EC, ∠EBC=90°.在Rt△ADE和Rt△BEC中， AD=BE, ∴.Rt△ADE≌Rt△BEC(HⅡ)...AE=BC..AD+ BC=9,.AB=AE+BE=BC+AD=9,即AB的长 为9. 7.6或10①如图①，当点C在线段AF上时，连接AD. DE⊥AM于点E,DF⊥AN于点F,.∠DEB= DB=DC, ∠DFC=90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中， DE=DF, ∴.Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).∴.CF=BE=2.在 Rt△DEA和Rt△DFA中， DA=DA:R△DEA≌ DE=DF, Rt△DFA(HL).∴.AF=AE.AE=AB+BE=6+2= 8,∴.AF=8.∴.AC=AF-CF=8-2=6.②如图②，当 点C在线段AF的延长线上时，同理可得AF=AE=8, CF=BE=2..AC=AF+CF=8+2=10.综上所述， AC的长为6或10. D M EB M EB ① ② (第7题) 8.(1).BE=CF,..BE+BC=CF+BC,EC=FB. BF=CE, 在Rt△ABF和Rt△DCE中， .Rt△ABF≌ AB=DC, Rt△DCE(HL).∴.∠E=∠F.(2)PO⊥BC.理由：由 (1)得，∠E=∠F.:PO平分∠EPF,.∠EPO= ∠E=∠F, ∠FPO.在△EPO和△FPO中，了∠EPO=∠FPO, PO=PO, ∴.△EPO≌△FPO(AAS).∴.∠EOP=∠FOP. ∠EOP+∠FOP=180°，∴.∠EOP=∠FOP=90° ∴，PO⊥BC 方法归纳 判定直角三角形全等的四种思路 (1)若已知条件中有一组斜边和一组直角边分别对 应相等，则用“”判定 (2)若有一组锐角和一组斜边分别对应相等，则用 “AAS”判定. (3)若有一组锐角和一组直角边分别对应相等： ①直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定：②直角边是 锐角的邻边且是直角的邻边，则用“ASA”判定 (4)若有两组直角边分别对应相等，则用“SAS判定 9.(1).'∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC+∠BAE=∠DAE+ ∠BAE,即∠CAE=∠BAD.在△ACE和△ABD中， AC=AB, ∠CAE=∠BAD,∴.△ACE≌△ABD(SAS). AE=AD, (2).△ACE≌△ABD,∴.∠AEC=∠ADB.∴.∠AEF+ ∠AEC=∠AEF+∠ADB=180°.∴.易得∠DAE+ ∠DFE=180°.∠BFC+∠DFE=180°，∴.∠BFC= ∠DAE=50°.(3)如图，连接AF,过点A作AJ⊥CF于 点J.:△ACE≌△ABD,∴.SAACE=S△Am,CE=BD. :WLCE,AHLBD,2CE·J-BD·AH. ÷A=AH,在R△AEI和R△AFH中，AA .Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL).∴.JF=HF.在Rt△AJE 和Rt△AHD中， AE=AD·:R△AWE≌R△AHD AJ=AH, (HL)..JE=HD..EF+DH=EF+JE=JF=HF. B (第9题) 专题特训三全等三角形中的难点模型 1.CAB⊥AC,AD⊥AE,∴.∠BAC=90°，∠DAE= 90°.，∴.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE= AB=AC, ∠DAC.在△BAE和△CAD中， ∠BAE=∠CAD, LAE-AD. ∴.△BAE2△CAD(SAS)..∠E=∠D=35°.∠B= 25°，∴.∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-25°-35° 120°.∴.∠CAE=∠BAE-∠BAC=120°-90°=30°. 2.(1)∠BAE=∠CAF=90°，∴.∠BAE+∠BAC= ∠CAF+∠BAC,即∠CAE=∠BAF.在△EAC和 (AE-AB, △BAF中，∠EAC=∠BAF,..△EAC≌△BAF AC=AF. (SAS).∴.EC=BF.(2)如图，设AC交BF于点O. :△EAC≌△BAF,∴.∠AFO=∠OCM.∠AOF= ∠COM,∴.∠OMC=∠OAF=90°.∴.EC⊥BF.(3)成 立；不成立.同理可证△EAC≌△BAF,∴.EC=BF, ∠AFB=∠ACE..∠CMO=∠FAO=m°.∴.(1)中的结 论成立，(2)中的结论不成立. R (第2题) 3.18如图，过点E作ED LBC,交BC的延长线于点D. :AB⊥BC,且AC⊥CE,.∠ABC=∠D=∠ACE= 90°.∴.∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴.∠BCA=∠DEC.又AC=CE,∴.△ABC≌△CDE 1 (AAS).BC=DE=6.△BCE的面积=2BC· DE=2×6×6=18. (第3题) 4.(1)①EF-|BE-AFL.当点E在点F的左侧时， :∠BCA=90,∠a=90°，∴.∠ACB=∠BEC=∠AFC= 90°.，∴.∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90° ∴.∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中， '∠EBC=∠FCA, ∠BEC=∠CFA,∴.△BCE≌△CAF(AAS).∴.BE= BC=CA, CF,CE=AF.∴.EF=CF-CE=BE-AF.当点E在，点F 的右侧时，同理可证EF=AF-BE.∴.EF=|BE-AF. ②∠a+∠BCA=180°.当点E在点F的左侧时， :∠BEC=∠CFA=∠a,∠a+∠BCA=180°，∴.易得 ∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中， I∠EBC=∠FCA, ∠BEC=∠CFA,∴.△BCE≌△CAF(AAS).∴.BE= BC=CA, CF,CE=AF.∴.EF=CF-CE=BE-AF.当点E在点F