13.3 第1课时 三角形的内角-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

得三边长的比为20：15：12，∴.存在这样的三角形.故D 不符合题意， 9.(1)由题图，可知△CDE的周长=CE+CD十DE,四边 形ABDE的周长=AE+AB十BD+DE.:△CDE的周 长与四边形ABDE的周长相等，D为BC的中点，∴.BD= CD,CE+CD+DE=AE+AB+BD+DE,CE=AE+ AB.:CE=AC-AE,∴.AC-AE=AE+AB,即AE 含MC-AB:AB=16m,AC=-20emAE=号X (20-16)=2(cm).∴.线段AE的长为2cm.(2):D 是BC的中点，S△mE=SAcE.若△ABE的面积与 △CDE的面积之间存在2倍关系，可分两种情况进行讨 论：①如图①，当S△AE=2S△cpE时，·S△mE=S△cE, Sae=S.AE=CE=号AC=10cm:②如图 ②，当2Saar=SAae时，同理可得AE=号AC=4cm综 上所述，线段AE的长为10cm或4cm. A D ① ② (第9题) 方法归纳 与两个三角形的面积有关的常用结论 (1)等底等高的两个三角形面积相等」 (2)同底（或等底）的两个三角形，面积比等于高的比， (3)等高的两个三角形的面积比等于底边长的比. (4)三角形的一条中线将其分成面积相等的两个三 角形 一微专题·三角形中线的应用—面积法 1.9如图，连接OC.设S△n=a,S△As=b.:AD,BE 是△ABC的两条中线，∴.Sm=S△on=a,S△coR= S△AOE=b,S△An=S△Acn,S△A5E=S△cE.∴.3+a 2b十a,3十+b=2a十b,解得b=1.5,a=1.5..S△4c 3+2(a+b)=3+2×(1.5+1.5)=9. bE 30 aa、 B4 D C (第1题) 27E是AD的中点，SaAe=2SAn,SAACE 1 1 SAAIC.SAI +SANCE (SAA +SAA)- 2XS△=2X28=14(cm2).小S△g=28-14= 1 14(cm).:F是CE的中点，小S△脚=2S△E= 合×11=7em》. 3.4:G为△ABC三边中线AD,BE,CF的交点， .S△ABD=S△Ax,S△D=S△cG,S△APG=S△5r, S△AME=S△CGE.·S△AGB=S△A,S△APG=S△AGE. 1 1 SAaE=3Sac.同理Sam-专Sap.:Sae= 1 1 SAICE=2 SAMI-2X 12-6 (cm )SACGF 1 SAIXE-3SAAY- X6-2(cm).S-SAcOE S△Gr=2+2=4(cm2). 13.3三角形的内角与外角 第1课时三角形的内角 1.B在△ABC中，∠B=46°，∠C=52°，∴.∠BAC= 180°-46°-52°=82°.AD平分∠BAC,∴.∠BAD= 名∠RC=号X2=A:DE/AB,∠ADE= ∠BAD=41°. 2.B①：∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.2∠C=180°，即∠C=90°..△ABC是直角三角形 ②∠A:∠B:∠C=1:2:3,小∠C=1+2+3× 3 180°=90°.∴.△ABC是直角三角形.③∠A=∠B= ∠C,∴.∠A=∠B=∠C=60°.∴.△ABC不是直角三角 形.④：∠A=90°-∠B,∴.∠A十∠B=90°..∠C= 90°.∴.△ABC是直角三角形.综上所述，能确定△ABC是 直角三角形的有①②④. 3.125或85°在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD 平分∠ACB,·.∠A=30°，∠ACD=∠DCB=2∠ACB= 45°.如图①，当点E在线段AD上时，：∠PCD=20°， ∴.∠ACE=∠ACD-∠PCD=25°..∠AEC=180°- ∠A一∠ACE=180°-30°-25°=125°.如图②，当，点E在 线段DB上时，：∠BDC=180°-∠B-∠DCB=180°- 60°-45°=75°，∴.∠AEC=180°-∠PCD-∠BDC= 180°-20°-75°=85°.综上所述，∠AEC的度数为125 或85°. 1 (第3题) 4.85°解法一：在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠C= 95°.在△AED中，∠1+∠2=180°-∠A=85°.解法二： :∠1+∠2+∠A=180°，∠B+∠C+∠A=180, ∴.∠1+∠2=∠B+∠C.,∠B=30°，∠C=55°， ∴.∠1+∠2=∠B+∠C=30°+55°=85°. 5.(1)∠BAC=∠BED,.AC∥DE..∠ADE= ∠DAC.∠ADE=∠CGF,∴.∠DAC=∠CGF.∴.AD∥ GF.(2):AC∥DE,∠AED=100°，∴.∠BAC= 180°-100°=80°.：AD平分∠BAC,∴.∠DAC= 2∠BAC=40.:∠C=5.∠ADC=180-40- 55°=85°.，AD/GF,∴.∠CFG=∠ADC=85°. 6.D:∠A=40°，∠B=68°，∠A+∠B+∠BCA= 180°，.∠BCA=180°-∠A-∠B=180°-40°-68°= 72CF平分∠BCA,∠BCF=号∠BCA=36 ∴.∠EFD=∠BFC=180°-36°-68°=76°.ED⊥AB, ∴.∠FDE=90°.∴.∠FED=180°-90°-76°=14°.如图， 过点E作ED'⊥AB,∴.E'D'∥ED..∠FED' ∠FED=14°.∴.当E点运动时，∠E的度数不变，为14° C (第6题) 7.42°：BD是边AC上的高，∴.∠BDC=90°.又 ∠BFC=128°，∴.∠CFD=180°-∠BFC=180° 128°=52°.∴.∠ACE=180°-∠BDC-∠CFD=180° 90°-52°=38°.：∠AEC=80°，∴.∠A=180°-∠AEC ∠ACE=180°-80°-38°=62°.CE是∠ACB的平分 线，.∴.∠ACB=2∠ACE=76°.∴.∠ABC=180°-∠A一 ∠ACB=180°-62°-76°=42°. 方法归纳 求解三角形的内角度数的方法 若已知三角形的两个内角，则直接利用三角形的内 角和等于180°求第三个内角的度数.若已知三角形三个 内角之间的数量关系，则利用三角形的内角和等于180 列方程求解 8.122.5° 思路导引 折叠 ∠ADI=2∠ADE,∠AEI=2∠AED 邻角互补∠1+∠2=130° 三角形内角和得∠A的度数 角平分线三角形内角和 求出∠BIC的度数 由折叠，得∠ADE=∠IDE,∠AED=∠IED.'∠1十 ∠ADI=∠2+∠AEI=180°，∴.∠1+∠2+∠ADI+ ∠AEI=180°+180°，即∠1+∠2=360°-2（∠ADE+ ∠AED).:∠ADE+∠AED+∠A=180°，∴.∠ADE+ ∠AED=180°-∠A..∠1+∠2=2∠A.∴.2∠A= 130°，.∠A=65°.：BI平分∠ABC,CI平分∠ACB, ∴∠IBC+∠ICB-3(∠ABC+∠ACB)-2(18r ∠A)=0°-2∠A.·∠BC=180°-（∠IC+∠ICB)- 180-(90-2∠A）=90+2×65-12.5 9.(1)在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°.在 △BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°.：∠AOC= ∠BOD,∴.∠A+∠C=∠B+∠D.(2)同(1)中模型可 得，∠B+∠BAF=∠E+∠ECF,∠D+∠DCE=∠E+ ∠EAD.∴.∠B+∠D+∠DCE+∠BAF=2∠E+ ∠ECF+∠EAD.'AE,CE分别平分∠BAD,∠BCD, ∴.∠DCE=∠ECF,∠BAF=∠EAD.∴.∠B+∠D= 2∠E. 10.(1)90°；40°.∠MPN=90°，∴.∠PBC+∠PCB= 180°-∠MPN=90°.∠A=50°，∴.∠ABC+∠ACB= 180°-∠A=130.∴.∠ABP+∠ACP=(∠ABC+ ∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=130°-90°=40°. (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A.理由：，（∠PBC+ ∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴.90°+ (∠ABP+∠ACP)+∠A=180°.∴.∠ABP+∠ACP+ ∠A=90°.∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A.(3)∠ACP- ∠ABP=90°-∠A.理由：设AB交PC于点O. ∠AOC=∠POB,∴.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即 ∠ACP+∠A=90°+∠ABP..∠ACP-∠ABP= 90°-∠A. 第2课时三角形的外角 1.C:三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，.设 三个外角的度数分别为2x,3x,4x.∴.2x十3x+4x=2× 180°=360°.∴.x=40°..2x=80°，3x=120°，4x=160°. ∴.与之对应的三个内角的度数分别为100°，60°，20°.∴.与 之对应的三个内角的度数之比为5：3：1. 2.C如图，由三角形的外角性质，得∠AFG=∠C十 ∠E,∠AGF=∠B+∠D.:'∠A+∠AFG+∠AGF= 180°，.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.：∠B+ ∠C+∠D+∠E=2∠A+60°，.∠A+2∠A+60°= 180°.∴.∠A=40° 01 (第2题) 3.100°CD是边AB上的高，∴.∠CDB=∠CDA= 90°..∠BCD=30°，∠ACB=80°，∴.∠ACD=∠ACB- ∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°.∴.∠CAB= 90°-∠ACD=40°.：AE是∠CAB的平分线， :∠EAC=-3∠CAB=20.:∠AEB=∠CAE+ ∠ACB=20°+80°=100°. 4.50°由外角性质，知∠ACE=∠B十∠BAC=20°十 120°-140.：CD平分∠ACE,.∠DCE=2∠ACE 70°.由外角性质，知∠D=∠DCE-∠B=70°-20°=50°. 5.:AD⊥BC,∴.∠ADB=90°.∴.∠BAD=90°- ∠ABC=44°.又：∠DAC=10°，∴.∠BAC=∠BAD+ ∠DAC=54°..∴.∠MAC=180°-∠BAC=126°..AE是 △ABC的外角∠MAC的平分线，：∠ME-号∠MC- 63:BF平分∠ABC,·∠ABF-专∠ABC=23. .∴.∠AFB=∠MAE-∠ABF=63°-23°=40°. 6.A如图，：'∠A=60°，∠B=80°，∴.∠C=180°-∠A ∠B=180°-60°一80°=40°.又：将三角形纸片的一角折 叠，使点C落在△ABC外的点C处，∴.∠C=∠C=40°， ∠2=35°，∴.∠CGD=∠C+∠2=40°+35°=75. .∠1=∠C+∠CGD=40°+75°=115°. B D C (第6题) 7.C如图，延长DC,与AB交于点E,与BP交于点F. 设AC与BP相交于点O,则∠AOB=∠POC.解法一： :∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，∴.∠ACD=∠A+ ∠AEC=50°+∠AEC.:'∠AEC是△BDE的外角， ∴.∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°..∠ACD= 50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD ∠ABD=60°.BP平分∠ABD,CP平分∠ACD, ·∠P+2∠ACD=∠A+∠ABD,即∠P=50- 名（∠ACD-∠ABD)=20.解法二.利用解法一的结论 ∠ACD-∠ABD=60°.：∠PCD是△PCF的外角， .∠PCD=∠P+∠PFC.又'∠PFC是△BDF的外 角，∴.∠PFC=∠PBD+∠D..∠PCD=∠PBD+ ∠P+∠D.:∠ABD,∠ACD的平分线交于点P, 1 ∠PBD=2∠ABD,∠PCD=Z∠ACD. ·2∠ACD-2∠ABD+∠P+∠D.即∠P-2∠ACD 1 1 3∠ABD-∠D=(∠ACD-∠ABD)-∠D=3X 60°-10°=20°. D (第7题) 8.31°可设∠C=∠DAC=x,则∠B=∠ADB= ∠DAC+∠C=2x.∠BAC=87°，∴.∠B+∠C= 180°-∠BAC=93°，即x+2x=93°，解得x=31°. .∠DAC=31°. 9.(1)∠B=30°，∠ACB=80°，∴.∠BAC=70°.，AD 平分∠BAC,∴.∠DAC=35°.∴.∠ADC=65°.：PE⊥ AD,∴.∠EPD=90°.∴.∠E=25°.(2)∠E= (∠ACB-∠B).设∠B=,∠ACB=m如图，：AD 平分∠BAC.∠I=∠2=∠BMC.:∠B+∠ACB+拔尖特训·数学（人教版）八年级上 13.3 三角形的内角与外角 第1课时三角形的内角 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=52°，AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AB交AC于点 E,则∠ADE的度数是 () A.45° B.41° C.44° D.54° B∠ (第1题) (第3题) (第4题) 2.有下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=∠B=∠C;④∠A 90°一∠B.其中，能确定△ABC是直角三角形的有 () A.①②③ B.①②④ C.②④ D.①②③④ 3.分类讨论思想如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD平分∠ACB.从点C画射线CP交 AB于点E,当∠PCD=20°时，∠AEC的度数为 4.一题多解如图，点E,D分别在AB,AC上，若∠B=30°，∠C=55°，则∠1十∠2的度数 为 5.如图，D,E,F,G是△ABC边上的点，∠BAC=∠BED,∠ADE=∠CGF. (1)求证：ADGF, (2)若AD平分∠BAC,∠AED=100°，∠C=55°，求∠CFG的度数. (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=68°，E是△ABC角平分线CF延长线上一动点（不与F点 重合)，过E点作ED⊥AB于D点.当E点运动时，∠E的度数 ( A.随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B B.度数不变，为16° D C.随E点运动而变化，离F点越远，度数越大 D.度数不变，为14° (第6题) 6 第十三章三角形 7.*如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE是∠ACB的平分线，BD,CE相交于点F,若 ∠AEC=80°，∠BFC=128°，则∠ABC的度数为 (第7题) (第8题) 8.如图，BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC沿DE折叠，使点A与点I重合，若∠1十 ∠2=130°，则∠BIC的度数为 9.【模型理解】(1)如图①，AB和CD交于点O,求证：∠A+∠C=∠B+∠D 【模型应用】(2)如图②，AE,CE分别平分∠BAD,∠BCD,求证：∠B十∠D=2∠E, 1 (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.新考向探究题将一把三角尺（∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①，三 角尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C.现进行如下探究：∠ABP与∠ACP之间是否存在 某种数量关系？ (1)若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= ;∠ABP+∠ACP= (2)猜想∠ABP,∠ACP,∠A之间的数量关系，并说明理由. (3)如图②，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM,PN仍恰好经过点B 和点C,猜想∠ABP,∠ACP,∠A之间的数量关系，并说明理由， ① ② (第10题) ●“答案与解析”见P3