13.3 第2课时 三角形的外角-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时三角形的外角 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.若三角形的三个顶点处的相应外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之 比为 () A.4:3:2 B.2:3:4 C.5:3:1 D.1:3:5 2.教材22复习题139变式如图，若∠B十∠C十∠D十∠E=2∠A十60°，则∠A的度数为() A.30° B.36° C.40° D.45° B C E (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线， 则∠AEB的度数为 4.如图，在△ABC中，∠B=20°，∠BAC=120°，点E在BC延长线上，CD平分∠ACE交BA的延 长线于点D,则∠D的度数为 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC,∠DAC=10°，AE是△ABC的外角∠MAC的平分线，E为AE 与BC延长线的交点，BF平分∠ABC,交AE于点F.若∠ABC=46°，求∠AFB的度数. M DC (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=60°，∠B=80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外的 点C处.若∠2=35°，则∠1的度数为 () A.1159 B.105 C.95 D.85° 3---c C (第6题) (第7题) 7.一题多解如图，∠ABD,∠ACD的平分线交于点P,∠A=50°，∠D=10°，∠P的度数为() A.10 B.15° C.20° D.25° 8 第十三章三角形 8.方程思想如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87°， 则∠DAC的度数为 D (第8题) 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E. (1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数 (2)当点P在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B,∠ACB的数量关系，并证明. (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.新考向探究题如图，在△ABC中，AE1,BE1分别是内角∠CAB和外角∠CBD的三等分线， 且∠EAD=3∠CAB,∠EBD=3∠CBD. (1)若∠C=60°，则∠E1= (2)在△ABE1中，AE2,BE2分别是内角∠E1AB和外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD= 了∠E,AB,∠E,BD=∠E,BD…,以此规律继续下去若∠C=m,试用含mn的式子表 示∠En的度数、 E (第10题) ●“答案与解析”见P5 9∠ABP=90°-∠A.理由：设AB交PC于点O. ∠AOC=∠POB,∴.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即 ∠ACP+∠A=90°+∠ABP..∠ACP-∠ABP= 90°-∠A. 第2课时三角形的外角 1.C:三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，.设 三个外角的度数分别为2x,3x,4x.∴.2x十3x+4x=2× 180°=360°.∴.x=40°..2x=80°，3x=120°，4x=160°. ∴.与之对应的三个内角的度数分别为100°，60°，20°.∴.与 之对应的三个内角的度数之比为5：3：1. 2.C如图，由三角形的外角性质，得∠AFG=∠C十 ∠E,∠AGF=∠B+∠D.:'∠A+∠AFG+∠AGF= 180°，.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.：∠B+ ∠C+∠D+∠E=2∠A+60°，.∠A+2∠A+60°= 180°.∴.∠A=40° 01 (第2题) 3.100°CD是边AB上的高，∴.∠CDB=∠CDA= 90°..∠BCD=30°，∠ACB=80°，∴.∠ACD=∠ACB- ∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°.∴.∠CAB= 90°-∠ACD=40°.：AE是∠CAB的平分线， :∠EAC=-3∠CAB=20.:∠AEB=∠CAE+ ∠ACB=20°+80°=100°. 4.50°由外角性质，知∠ACE=∠B十∠BAC=20°十 120°-140.：CD平分∠ACE,.∠DCE=2∠ACE 70°.由外角性质，知∠D=∠DCE-∠B=70°-20°=50°. 5.:AD⊥BC,∴.∠ADB=90°.∴.∠BAD=90°- ∠ABC=44°.又：∠DAC=10°，∴.∠BAC=∠BAD+ ∠DAC=54°..∴.∠MAC=180°-∠BAC=126°..AE是 △ABC的外角∠MAC的平分线，：∠ME-号∠MC- 63:BF平分∠ABC,·∠ABF-专∠ABC=23. .∴.∠AFB=∠MAE-∠ABF=63°-23°=40°. 6.A如图，：'∠A=60°，∠B=80°，∴.∠C=180°-∠A ∠B=180°-60°一80°=40°.又：将三角形纸片的一角折 叠，使点C落在△ABC外的点C处，∴.∠C=∠C=40°， ∠2=35°，∴.∠CGD=∠C+∠2=40°+35°=75. .∠1=∠C+∠CGD=40°+75°=115°. B D C (第6题) 7.C如图，延长DC,与AB交于点E,与BP交于点F. 设AC与BP相交于点O,则∠AOB=∠POC.解法一： :∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，∴.∠ACD=∠A+ ∠AEC=50°+∠AEC.:'∠AEC是△BDE的外角， ∴.∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°..∠ACD= 50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD ∠ABD=60°.BP平分∠ABD,CP平分∠ACD, ·∠P+2∠ACD=∠A+∠ABD,即∠P=50- 名（∠ACD-∠ABD)=20.解法二.利用解法一的结论 ∠ACD-∠ABD=60°.：∠PCD是△PCF的外角， .∠PCD=∠P+∠PFC.又'∠PFC是△BDF的外 角，∴.∠PFC=∠PBD+∠D..∠PCD=∠PBD+ ∠P+∠D.:∠ABD,∠ACD的平分线交于点P, 1 ∠PBD=2∠ABD,∠PCD=Z∠ACD. ·2∠ACD-2∠ABD+∠P+∠D.即∠P-2∠ACD 1 1 3∠ABD-∠D=(∠ACD-∠ABD)-∠D=3X 60°-10°=20°. D (第7题) 8.31°可设∠C=∠DAC=x,则∠B=∠ADB= ∠DAC+∠C=2x.∠BAC=87°，∴.∠B+∠C= 180°-∠BAC=93°，即x+2x=93°，解得x=31°. .∠DAC=31°. 9.(1)∠B=30°，∠ACB=80°，∴.∠BAC=70°.，AD 平分∠BAC,∴.∠DAC=35°.∴.∠ADC=65°.：PE⊥ AD,∴.∠EPD=90°.∴.∠E=25°.(2)∠E= (∠ACB-∠B).设∠B=,∠ACB=m如图，：AD 平分∠BAC.∠I=∠2=∠BMC.:∠B+∠ACB+ ∠BAC=180°，∠B=n°，∠ACB=m°，∴.∠BAC=(180- n-m)°.·∠1=2180-n-m)°.∠3=∠B+∠1= n+2(180-n-m)°=90+2°-号m.:PELAD, ∠DPE=90.·∠E=90-(90+2-2m） 2(m-wr=∠ACB-∠B. B (第9题) 10.(1)20°.如图，根据题意，得∠C=60°，∠1= 3∠CAB,∠2=S∠CBD,∠CBD=∠C+∠CAB, ∴.3∠2=60°+3∠1，即∠2=20°+∠1.：∠2=∠1+ ∠E1,.20°+∠1=∠1+∠E1.∴.∠E,=20°.(2)由 题意，得∠EAD=子∠CAB,∠E,BD=号∠CBD.设 ∠E,AD=a,∠E,BD=B,则∠CAB=3a,∠CBD=3B.由 三角形的外角性质，得B=a+∠E1,33=3a+∠C, ·∠E=3∠C.同理，可得∠E=3∠E (3)）∠C…,∠E.=(3)∠c.·∠E.=(3)m 1 2 B D (第10题) 专题特训一三角形内、外角的 平分线的夹角探究 1.120°延长BA,CD交于点G.∠BAD=110°， ∠ADC=130°，.∠GAD=70°，∠GDA=50°.∴.∠G= 60°.由三角形两内角的平分线的夹角模型，知∠P=90°十 2∠G=120 2.∠APB的度数不变.理由：：△AOB的角平分线AC 与BD交于点P,·∠PAB=7∠OAB,∠PBA= 2∠OBA.·∠PAB+∠PBM=2∠OAB+2∠OBM= 2(∠0AB+∠0BA)=号(180°-∠A0B)=90° 3∠A0B.·∠APB=180-(∠PAB+∠PBA) 180-(90°-号∠A0B)=90+2∠A0B.:∠A0B= 80,∠APB=90°+7×80=130，即随者点A,B位置 的变化，∠APB的度数不变，始终为130°. 3.(1)120:60.'BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平 分线，∠ABC=54,∠ACB=66,.∠DBC=号∠ABC= 2T,∠DCB=2∠ACB=3,∠EC=12,∠BCF- 114°..∠D=180°-∠DBC-∠DCB=120°.BP,CP 分别是∠EBC,∠FCB的平分线，.∠CBP=2∠EBC= 63,∠BCP=7∠BCF=57.·.∠P=180-∠PBC- ∠BCP=60°.(2)：BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的 平分线，·.∠DBC=2∠ABC,∠DCB=日∠ACB, ∠D=180°-（∠DBC+∠DCB)=180-2(∠ABC+ ∠ACB)=180°-2(180°-∠A)=90+2∠A=90+ 号×66=12.由外角性质得，∠FBC=∠A十∠ACB. ∠FCB=∠A十∠ABC.:BP,CP分别是∠EBC, ∠PCB的平分线，∠CBP+∠BCP=(∠EBC+ ∠FCB)=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=2(180+ ∠A)=90+2∠A.·.∠P=180°-（∠CBP+∠BCP)= 90°-∠A=90°-号×66=57：(3)∠D+∠P的值 不会变化.理由：由(2)可知，∠D=90+分∠A,∠P 90°-7∠A.∠D+∠P=180,即当∠A的大小变化 时，∠D十∠P的值不变 4.90°：'BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是 △ABC的外角∠ACM的平分线，且∠ABP=20°， ∠ACP=50°，.∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM= 2∠ACP=100°.∴.∠A=∠ACM-∠ABC=60°， ∠ACB=180°-∠ACM=80°.∴.∠BCP=∠ACB+ ∠ACP=130°.：∠PBC=∠ABP=20°，∴.∠P=180° ∠PBC-∠BCP=30°.∴.∠A+∠P=90°. 5.60°延长BE,CF交于点G.:∠BEF=∠G+ ∠EFG,∠CFE=∠G+∠FEG,∴.∠BEF+∠CFE=