13.2 第2课时 三角形的中线、角平分线、高-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

9.8设这三个连续自然数中间的数为x.根据题意，得 2000x+(x一1)+(x+1)<2025,x一1+x>x+1,解 得6号<<675.x的值可能为67,68,69,670， 671,672,673,674...这样的三角形有8个 10.(1)a,b,c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2, a-b=2c-6,∴.3c-2>c,|2c-6|<c,解得2<c<6. (2)△ABC的周长为18，a+b=3c-2,∴.a+b+c= 4c-2=18,解得c=5. 11.3由翻折可知AP=AB=3.在△APC中，由三角形 三边关系可得CP>AC一AP.当点P落在AC边上时， CP=AC一AP,∴.当点D在BC边上运动时，总有CP AC-AP..CP的最小值=AC-AP=6-3=3. 12.由折叠可知AD=DE,AC=EC,∴.BD十DE=BD十 AD=AB=6.点E落在BC的下方，∴.在△BCE中， BE>BC-CE=10一8=2.又·在△BDE中，BE<BD十 DE=6,.2BE6. 第2课时三角形的中线、角平分线、高 1.B①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC 的角平分线，故此说法不正确：；②根据三角形的中线的概 念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确： ③根据三角形的高的概念，知CH是△ACD的边AD上 的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概 念，知AH是△ACF的角平分线和边CF上的高，故此说 法正确 2.ABD是AC边上的中线，∴.AD=CD..△ABD 的周长一△CBD的周长=AB-BC.:△ABD的周长比 △CBD的周长多2cm,且AB=5cm,.5cm-BC= 2cm,即BC=3cm. 3.D'三角形的高AD与高BE所在直线交于点H,点 H在△ABC的外部，∴.△ABC是钝角三角形.∠B= 45°，∴.∠C是钝角或∠A是钝角.当∠C是钝角时，∠A 是锐角，高AD的垂足在BC的延长线上，高BE的垂足在 AC的延长线上，它们所在的直线的交点在△ABC的外部； 当∠A是钝角时，∠C是锐角，高AD的垂足在BC上，高 BE的垂足在CA的延长线上，它们所在的直线的交点在 △ABC的外部.∴.当∠C是钝角或锐角时，三角形的高 AD与高BE所在直线的交，点H都在△ABC的外部 4.F如图，过点B,C分别作△ABC的中线BM,CN,交 AC,AB于点M,N.'BM和CN相交于点F,∴.白棋F 与△ABC的重心位置重合. C (第4题) 5.(1)如图，EF,DG即为所求作.(2)：AD为△ABC 的中线，BE为△MABD的中线，Sam=号5， SAE=SA4m.SE=SaA.:△ABC的面积 为40，BD=5Ss=号BD·EF=号X5·EF= X40=10.EF=4,即△BED的边BD上的高E 为4. DF (第5题) 6.C:AD,CE是△ABC的两条高，AD=3,CE=6, SAM-ABXCE-BCXAD.ABX6-BCX 8…贺音号 7.80或40°如图①，当高AD在△ABC内时，：∠BAD= 60°，∠CAD=20°，∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+ 20°=80°；如图②，当高AD在△ABC外时，'∠BAD= 60°，∠CAD=20°，.∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°- 20°=40°.综上所述，∠BAC的度数为80°或40°. C B D ① ② (第7题) 8.B假设存在这样的三角形.对于A,根据等积法，得到 此三角形三边长的比为2：2：1，∴.存在这样的三角形.故 A不符合题意.对于B,同理，可得三边长的比为6：3：2， 这与三角形的三边关系相矛盾，∴.这样的三角形不存在。 故B符合题意.对于C,同理，可得三边长的比为6：4：3， 存在这样的三角形.故C不符合题意.对于D,同理，可 得三边长的比为20：15：12，∴.存在这样的三角形.故D 不符合题意， 9.(1)由题图，可知△CDE的周长=CE+CD十DE,四边 形ABDE的周长=AE+AB十BD+DE.:△CDE的周 长与四边形ABDE的周长相等，D为BC的中点，∴.BD= CD,CE+CD+DE=AE+AB+BD+DE,CE=AE+ AB.:CE=AC-AE,∴.AC-AE=AE+AB,即AE 含MC-AB:AB=16m,AC=-20emAE=号X (20-16)=2(cm).∴.线段AE的长为2cm.(2):D 是BC的中点，S△mE=SAcE.若△ABE的面积与 △CDE的面积之间存在2倍关系，可分两种情况进行讨 论：①如图①，当S△AE=2S△cpE时，·S△mE=S△cE, Sae=S.AE=CE=号AC=10cm:②如图 ②，当2Saar=SAae时，同理可得AE=号AC=4cm综 上所述，线段AE的长为10cm或4cm. A D ① ② (第9题) 方法归纳 与两个三角形的面积有关的常用结论 (1)等底等高的两个三角形面积相等」 (2)同底（或等底）的两个三角形，面积比等于高的比， (3)等高的两个三角形的面积比等于底边长的比. (4)三角形的一条中线将其分成面积相等的两个三 角形 一微专题·三角形中线的应用—面积法 1.9如图，连接OC.设S△n=a,S△As=b.:AD,BE 是△ABC的两条中线，∴.Sm=S△on=a,S△coR= S△AOE=b,S△An=S△Acn,S△A5E=S△cE.∴.3+a 2b十a,3十+b=2a十b,解得b=1.5,a=1.5..S△4c 3+2(a+b)=3+2×(1.5+1.5)=9. bE 30 aa、 B4 D C (第1题) 27E是AD的中点，SaAe=2SAn,SAACE 1 1 SAAIC.SAI +SANCE (SAA +SAA)- 2XS△=2X28=14(cm2).小S△g=28-14= 1 14(cm).:F是CE的中点，小S△脚=2S△E= 合×11=7em》. 3.4:G为△ABC三边中线AD,BE,CF的交点， .S△ABD=S△Ax,S△D=S△cG,S△APG=S△5r, S△AME=S△CGE.·S△AGB=S△A,S△APG=S△AGE. 1 1 SAaE=3Sac.同理Sam-专Sap.:Sae= 1 1 SAICE=2 SAMI-2X 12-6 (cm )SACGF 1 SAIXE-3SAAY- X6-2(cm).S-SAcOE S△Gr=2+2=4(cm2). 13.3三角形的内角与外角 第1课时三角形的内角 1.B在△ABC中，∠B=46°，∠C=52°，∴.∠BAC= 180°-46°-52°=82°.AD平分∠BAC,∴.∠BAD= 名∠RC=号X2=A:DE/AB,∠ADE= ∠BAD=41°. 2.B①：∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.2∠C=180°，即∠C=90°..△ABC是直角三角形 ②∠A:∠B:∠C=1:2:3,小∠C=1+2+3× 3 180°=90°.∴.△ABC是直角三角形.③∠A=∠B= ∠C,∴.∠A=∠B=∠C=60°.∴.△ABC不是直角三角 形.④：∠A=90°-∠B,∴.∠A十∠B=90°..∠C= 90°.∴.△ABC是直角三角形.综上所述，能确定△ABC是 直角三角形的有①②④. 3.125或85°在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD 平分∠ACB,·.∠A=30°，∠ACD=∠DCB=2∠ACB= 45°.如图①，当点E在线段AD上时，：∠PCD=20°， ∴.∠ACE=∠ACD-∠PCD=25°..∠AEC=180°- ∠A一∠ACE=180°-30°-25°=125°.如图②，当，点E在 线段DB上时，：∠BDC=180°-∠B-∠DCB=180°-拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时三角形的中线、角平分线、高 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E,F为AB上一点，CF⊥ AD于点H.下列说法中，正确的是 () ①AD是△ABE的角平分线. ②BE是△ABD的边AD上的中线 ③CH是△ACD的边AD上的高. ④AH是△ACF的角平分线和边CF上的高. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ (第1题) (第2题) (第4题) 2.如图，BD是△ABC的中线，AB=5cm,若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm,则BC的 长为 () A.3 cm B.4cm C.6cm D.7cm 3.在△ABC中，∠B=45°，三角形的高AD与高BE所在直线交于点H,点H在△ABC的外部， 以下对∠C的描述，正确的是 () A.∠C是锐角 B.∠C是直角 C.∠C是钝角 D.∠C是锐角或钝角 4.舒境游戏活动如图所示为围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑 棋A,B,C围成△ABC,白棋D,E,F,G在△ABC中，则正好与△ABC的重心位置重合的是白 棋 (填“D“E”“F”或“G”). 5.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线. (I)作图：在△BED中作出BD边上的高EF,BE边上的高DG. (2)若△ABC的面积为40，BD=5,则△BED的边BD上的高EF为多少？ D (第5题) 4 第十三章三角形 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.如图，在△ABC中，AD,CE是△ABC的两条高，且AD=3,CE=6,则AB:BC等于() (第6题) A.3:4 B.4:3 C.1:2 D.2:1 7.分类讨论思想已知AD是△ABC的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为 8.某班组织了一次活动课，老师让同学们谈谈对三角形相关知识的理解.小峰说：“存在这样一些三 角形，它们的三条高之比分别为1：1：2,1：2：3,2：3：4,3：4：5.”老师说：“有一个三角形 是不存在的.”你认为不存在的三角形的三条高之比是 () A.1:1:2 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 9.*如图，在△ABC中，AB=16cm,AC=20cm,D是BC的中点，点E在边AC上. (1)若△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等，求线段AE的长， (2)连接BE,若△ABE的面积与△CDE的面积之间存在2倍关系，求线段AE的长， (第9题) 微专题·三角形中线的应用一面积法 1.如图，AD,BE是△ABC的两条中线，AD与BE交于点O,若△ABO的面积为3，则△ABC 的面积为 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且S△AB=28cm2,则S涂色都分= cm2. 3.如图，G为△ABC三边中线AD,BE,CF的交点，S△Ac=12cm,则涂色部分的面积为 cm. “答案与解析”见P2 5