广东省广州市铁一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026-2027学年第一学期10月月考 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分。 1．已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．设，则“且”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 8．已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分。 9．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 10．已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，若 ，则实数的值为_____. 13．已知正实数，满足，则的最大值为________． 14．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本大题5小题，共77分。 15．（13分） 已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分） (1)设，比较与的大小. (2)解不等式：. (3)已知，且，求的最小值. 17．（15分） 某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 18．（17分） 已知，（）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，，若，求实数的取值范围． 19． （17分） 已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年第一学期10月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A C C D C AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．C因为，，当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去），若，则，符合题意，综上所述，. 2．C由题意，集合，所以.故选：C. 3．A且，则，但，不能推出且，例如：，满足，但.故选：. 4．A全称命题的否定为特称命题，所以命题“，”的否定是“，”. 5．C对于A，由题意，即，故A错误；对于B，由题意，即，故B错误；对于C，由题意，即，故C正确；对于D，由题意，即，故D错误. 6．C因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为.故选：C. 7．D由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ，选项A：，，又，，故A错误；选项B：，，故B错误；选项C：，，故C错误；选项D：， ，，原不等式等价于，解得，不等式的解集为，故D正确．故选：D． 8．C由；由. 所以当时，，，所以，因为集合的长度为2，所以.此时，，所以，所以的长度为； 当时，，，所以，这与集合的长度为2矛盾，故. 当时，，，所以，因为集合的长度为2，所以.此时，，所以，所以的长度为. 综上可知：集合的长度为5.故选：C 9．AC根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确；易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.故选：AC. 10．ACD对于A，若，则，即，故A正确；对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，若，则，且，则， 则，故D正确；故选：ACD. 11．ABD当时，，恒成立；当时，“，”等价于，解得.命题“，”为真命题的充要条件是. 因为，，是的真子集，所以，，均是命题“，”为真命题的充分不必要条件.故选：ABD. 12．或由集合，因为，则或，解得或， 当时，集合，满足；当时，集合，满足，综上可得，实数的值为或.故答案为：或. 13．因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为，故答案为： 14．【详解】不等式，即，方程，可得或，当时，不等式为，解得，所以，不合题意；当时，，由，解得，由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得.综上，的取值范围为.故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）先解出集合及其补集，代入得到集合，再按照交集、并集定义运算； （2）根据，分为空集和不为空集两种情况，建立不等式，讨论求解即可. 【详解】（1）已知集合，解，即，可得或， 所以，则．当时，， 所以． （2）①若，即，则；②若，则，解得， 综上可得实数的取值范围为． 16．（15分）【详解】（1）由，得，，， 因此，所以. （2）化为，即，，且， 即(且)原不等式的解集为． （3）.. 4. 当且仅当，且，即且时，等号成立，因此的最小值为4. 17．(1)384(2)存在，【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可； （2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解. 【详解】（1）由题意知，B礼包共份，每份成本为元，则， 整理得：，解得：，因为，所以调整后的最大值是384. （2）假设存在实数满足要求，由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且，因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，所以； 对于②，整理得：对恒成立，所以且， 又因为，当时，，所以，综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 18．(1)(2)(3)【分析】（1）由不等式的解集可知对应方程的根，利用韦达定理求解；（2）转化为关于的不等式恒成立，利用一次函数单调性，列出不等式组求解即可； （3）解出不等式的解集，再由，分类讨论求出的取值范围. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以，解得. （2）由，可得，即关于的不等式对任意的成立， 所以只需满足，即，解得或， 即的取值范围为. （3）由，可得， 当，即时，，当，即时，， 当，即时，. ①当时，即时，满足； ②当时，要使，则或， 解得或，又，可得或； ③当时，要使，则或， 解得或，又，可得.综上，实数的取值范围 19．(1)；(2)；(3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 答案第2页（共4页） 答案第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $