精品解析：广东省普宁市华侨中学2026-2027学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

2026-2027学年度第一学期高一年级第一次教学质量检测 数学科试卷 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若集合，集合，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 若实数、满足，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 7. 若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为________ 13. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是______. 14. 已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，且. （1）求的值； （2）写出集合的所有真子集. 16. 设全集，集合. （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，解不等式； （2）若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19. 已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3）中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高一年级第一次教学质量检测 数学科试卷 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义和空集的定义逐项判断. 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集. 【详解】分式不等式等价于，即 解一元二次不等式得： 故不等式的解集是 故选：B. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 4. 设，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】应用作差法计算判断大小关系及特殊值法，最后结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】当时，，所以，所以“”是的充分条件； 当时，满足，不满足，所以“”是的不必要条件； 则“”是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若集合，集合，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为，根据题意得，故， 所以， 则当，解得， 当,时，，符合题意， 当时，此时，不满足集合互异性，故舍去. 所以. 故选：B. 6. 若实数、满足，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】解：， ，， 又， . 故选：D. 7. 若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 8. 已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正实数且，可得， 则，当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 10. 若且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断ABD，利用作差法即可判断C. 【详解】对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，， 当时，， 此时，故C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次函数图象可得，，进而代入各选项判断即可. 【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故， 与轴的交点为，， 故， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D：不等式可化为， 即，即，其解集为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为________ 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意画出Venn图，再进行求解即可． 【详解】根据题意，画出Venn图如下：    所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故答案为：25. 13. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的解集求出参数的关系，代入不等式求解即可. 【详解】的解集为， ，且，， ，所以. 故答案为： 14. 已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，且. （1）求的值； （2）写出集合的所有真子集. 【答案】（1） （2），，，，，，. 【解析】 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【小问1详解】 当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； 【小问2详解】 由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 16. 设全集，集合. （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集，补集与并集的概念求解； （2）由得，分为与两种情况讨论，列出不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以； 因为或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 若，即，可得，符合题意； 若，则，无解， 综上，的取值范围是. 17. 已知关于的不等式. （1）当时，解不等式； （2）若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，转化为一元二次不等式，分解因式结合二次函数图象开口向上即可得到解集； （2）一元二次不等式在全体实数上恒大于0，只需判别式，解不等式即可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，不等式为，即， 解得或，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 设，因为不等式，对于任意实数都成立， 所以， 解得， 故实数的取值范围是. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【解析】 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19. 已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3）中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在这样的，理由如下： 假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集； （3）是，证明：因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）不存在这样的，理由略； （3）是，证明略. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $