专题07 逆命题和逆定理（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

专题07 逆命题和逆定理 常考题型·精准突破 题型1 写出命题的逆命题（高频） 题型2 互逆定理（重） 题型3 线段垂直平分线的性质（高频） 题型4 线段垂直平分线的判定（重） 题型5 角平分线的性质定理（高频） 题型6 角平分线的判定定理（重） 题型7 角平分线性质的实际应用（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1写出命题的逆命题 1．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_______________ 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到逆命题，先找出原命题的题设和结论，再交换得到结果． 【详解】解：原命题“同位角相等，两直线平行”中，题设为“同位角相等”，结论为“两直线平行”， 交换题设和结论，得到逆命题为“两直线平行，同位角相等”． 2．若，则，它的逆命题是_________________________． 【答案】若，则 【分析】交换原命题的条件和结论即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件为，结论为．，交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 3．定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是________，它是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 三边分别对应相等的两个三角形全等 真 【分析】将原命题拆分为题设和结论，交换二者得到逆命题，再根据全等三角形的判定判断真假． 【详解】解：原命题“全等三角形的对应边相等”可拆分为： 题设：两个三角形是全等三角形， 结论：两个三角形的对应边相等， 交换题设和结论，得到逆命题：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等， 根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形一定全等，因此该逆命题是真命题． 4．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 5．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．七边形是多边形 C．两个全等三角形的面积相等 D．若，，则 【答案】A 【详解】解：A．原命题为“两直线平行，同位角相等”，逆命题为“同位角相等，两直线平行”，该逆命题是真命题； B．原命题为“七边形是多边形”，逆命题为“多边形是七边形”，多边形包含多种边数的图形，该逆命题是假命题； C．原命题为“两个全等三角形的面积相等”，逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，面积相等的三角形形状不一定相同，不一定全等，该逆命题是假命题； D．原命题为“若，，则”，逆命题为“若，则，，举例，，满足，但，该逆命题是假命题． ◆题型2互逆定理 6．下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确． ∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确． ∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误． ∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确． 7．写出一对互逆定理：__________． 【答案】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行(答案不唯一) 【分析】本题考查了互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 根据互逆定理的定义，找出原命题和逆命题都为真命题的一对定理即可． 【详解】解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”， 该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理． 8．下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． 9．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 10．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． ◆题型3线段垂直平分线的性质 11．如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据与的周长之差为列式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵与的周长之差为， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，求的长． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质可得，，利用等量代换可得的周长即为的长． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴． 13．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一与直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：由作图可得是线段的垂直平分线， ，， ，， ． 14．如图，在中，边的中垂线交于点，交于点． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为13 【分析】（1）由，根据“等边对等角”及三角形内角和定理可得，根据垂直平分，可得，进而得，即可求得的度数； （2）由（1）得，即可求得的周长． 【详解】（1）解：， ， 边的中垂线交于点， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， 的周长为13． 15．到三角形三个顶点的距离相等的点是（     ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． ◆题型4线段垂直平分线的判定 16．我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形是一个筝形，其中，，则下列结论不正确的是（     ） A．垂直平分 B． C． D．筝形的面积 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和分割法求面积，逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，， 是的垂直平分线，即垂直平分； B、根据题中的条件，无法证明； C、 ，垂直， ； D、 垂直， 筝形的面积 ； 综上：选项B符合题意． 17．到三角形三个顶点距离相等的点是（     ）． A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 18．如图，在四边形中，，像这样的四边形称为筝形． (1)类比平行四边形和特殊平行四边形的研究，你认为可以研究筝形哪些方面的问题？ (2)请你探索筝形的性质，并加以证明． 【答案】(1)解：类比平行四边形，可以研究： 1、筝形的边的性质； 2、筝形的角的性质； 3、筝形对角线的性质； 4、筝形的对称性； 5、筝形的面积计算方法； (2)解：①有一组对角相等, 连接， ∵，， ∴， ∴，，， ②对角线互相垂直，且一条对角线被另一条平分； 连接，， 由，点A在的垂直平分线上； 由，点C在的垂直平分线上； ∵两点确定一条直线， ∴直线是线段的垂直平分线； ∴，平分； ③筝形是轴对称图形，对称轴是对角线所在直线； ④筝形的面积等于两条对角线乘积的一半； 即， 证明：∵， 设的交点为，且， ∴ ． 【详解】（1）解：略 （2）略 19．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点．求证：是的垂直平分线（要求：全等最多使用一次） 【答案】证明：∵， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 又∵是等腰三角形， ∴，且． ∴垂直且平分，即是的垂直平分线． 【分析】由等腰三角形，等边三角形的性质可以证明，可得，根据等腰三角形底边三线合一即可解题． 【详解】略 20．如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3)4 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ◆题型5角平分线的性质定理 21．在平面内，到三边距离相等的点有_____________个． 【答案】4 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：如图，外角平分线的交点共有3个，内角平分线的交点有1个， 所以到三边距离相等的点共有个． 22．如图，是的角平分线，，于点，点在上，延长至点，连接、． (1)若，，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2)3 【分析】（1）由角平分线的性质可得，平分，，，可得．结合三角形面积公式底高，两三角形的高相等，则可得，进行整理即可求解； （2）由角平分线得，结合直角三角形两锐角互余，推出，进而得．结合已知、，由证，进而可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 23．如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 24．在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时， ； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）过点A作于点E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过点D作交于点E，作交于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点D作交于点E，作交于点F， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴由（1）知：， ∵， ∴， ∵，，平分， ∴由（2）知：， ∴， ∴． 25．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为，则的面积为_____ ． 【答案】 【分析】过点作，，过点作，交的延长线于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，进而可得，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于，于，过点作，交的延长线于点， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型6角平分线的判定定理 26．如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（　　） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 【答案】A 【详解】解：∵点到边、的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴点在边的垂直平分线上， ∴点是的角平分线与的垂直平分线的交点． 27．如图，与都是等边三角形，若与相交于点F． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接，作，于点G，H， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据与都是等边三角形，证明，由全等三角形的性质得出；由三角形外角的定义和性质进一步即可得出． （2）连接，作，于点G，H，，根据，可得，根据全等三角形的面积相等，底相等，可得高相等，再根据角平分线的判定即可得结论． 【详解】（1）解：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）略； 28．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用角平分线的判定定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ， ，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 29．如图，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证出是的角平分线，得出，再利用三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴是的角平分线，， ∴， ∴． 30．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 【答案】解：如图，为所求． 【分析】由于点到边，的距离相等，则点D在的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线，交于点D．由于，则，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作的垂线，交于点E，则为所求． 【详解】略 ◆题型7角平分线性质的实际应用 31．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 32．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 33．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 34．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 35．如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．全等三角形的面积相等 C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形两个锐角互余 【答案】B 【分析】将原命题的题设和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题，再判断新命题是否为假命题即可． 【详解】解：A选项逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题． B选项逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题． C选项的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，是真命题． D选项的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题． 2．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，，从而得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 3．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质定理得出点到三角形三边的距离相等，将的面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图所示，作于点，作于点，连接， ∵点是的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 6．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①点到的三个顶点的距离相等；②；③当时，；④若，，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由角平分线的性质即可判断；由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理得，即可判断；在上取一点，使得，证明，得到，进而再证明，得到，据此可得结论；过点作于，于，连接，由角平分线的性质得到，由三角形的面积公式得到，，，根据，即可判断． 【详解】解：，分别是和的角平分线， 根据角平分线的性质，点到三边距离相等，而不是到三个顶点距离相等，故错误； 在中，， ， ，分别是和的角平分线， ，， 在中， ，故正确； 当时，， ， 在上取一点，使得， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 过点作于，于，连接， 和的角平分线交于点， 点在的平分线上， ， ，，， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的是． 7．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义及可得出，，由此可得，，据此可判断①；根据角平分线的定义得出，再由三角形内角和定理可判断③；根据角平分线的性质即可判断④；连接，根据可判断⑤；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ，， ， ，， ，， ，， ，故①正确； 和的平分线相交于点G， ∴， ∵， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离等于点G到的距离，点G到的距离等于点G到的距离 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，且， ∴点G到各边的距离都为的长， ∵，， ，故⑤正确； 根据现有条件无法得到，故②错误； 综上所述，正确的有①④⑤，共3个． 二、填空题 8．如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 【答案】/度 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解： 的垂直平分线交于点，垂足为， ， ， ， ． 9．如图，中，G、D两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则__ ． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，结合线段垂直平分线的性质可推出，然后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵为的中垂线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，且的内角和为， ∴， ∴，， ∴． 10．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 11．如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【答案】6 【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，则， ， ， ， ， 的周长为：， 三、解答题 12．如图①，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等，如何确定交易中心的位置？如图②，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点． 【分析】根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，分别作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点． 【详解】略 13．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)1 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为1． 14．如图，在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； (2)连接，若 ，则_____ （用含x的代数式表示）． 【答案】(1)如图所示，所作即所求； (2) 【分析】（1）根据用尺规作线段的垂直平分线及角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线定义可得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，再由垂直平分线的性质可得，即，即可得出的度数． 【详解】（1）解：①如下图， 分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P、Q，连接，交边于点E，交边于点M，则即为的垂直平分线； ②如上图， 以点C为圆心，任意长为半径画弧，交边、于点G、H，分别以点G、H为圆心，大于为半径画弧，两弧在内部交于点K，作射线交边于点F，则即为的平分线； （2）解：如下图， ，， ， 由作图知：垂直平分，平分， ，， ， ． 15．已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离． 【答案】(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据等边对等角先得出，结合三角形内角和定理得到，再根据角的和差求解即可； （2）①先得出，，再得出，根据平行线的判定即可得证；②过点作于点，得出，即平分，根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①略． ②解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴，即平分， 又∵，， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴， 即点到的距离为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07逆命题和逆定理 内容概览 目常考题型精准突破 题型1写出命题的逆命题（高频） 题型2互逆定理（重） 题型3线段垂直平分线的性质（高频） 题型4线段垂直平分线的判定（重） 题型5角平分线的性质定理（高频） 题型6角平分线的判定定理（重） 题型7角平分线性质的实际应用（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1写出命题的逆命题 1.两直线平行，同位角相等 2.若a<b,则-2a>-2b 3. 三边分别对应相等的两个三角形全等 真 4.C 5.A ◆题型2互逆定理 6.C 7.两直线平行，同位角相等：同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 8.D 9.A 10.同位角相等，两直线平行 ◆题型3线段垂直平分线的性质 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.B 12.BC=8cm 13.B 14.(1)∠DBC=30° (2)△BCD的周长为13 15.D ◆题型4线段垂直平分线的判定 16.B 17.D 18.(1)解：类比平行四边形，可以研究： 1、筝形的边的性质： 2、筝形的角的性质； 3、筝形对角线的性质： 4、筝形的对称性； 5、筝形的面积计算方法： (2)解：①有一组对角相等， 连接AC, A .AB=AD,CB=CD.AC=AC. :.△ACB△ACD SSS, ∴.∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA, ②对角线互相垂直，且一条对角线被另一条平分： 连接AC,BD 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由AB=AD,点A在BD的垂直平分线上： 由CB=CD,点C在BD的垂直平分线上： 两点确定一条直线， ∴.直线AC是线段BD的垂直平分线： ∴，AC⊥BD,AC平分BD: ③筝形是轴对称图形，对称轴是对角线AC所在直线： ④筝形的面积等于两条对角线乘积的一半； 即S筝形ABCD 1·AC·BD, 证明：：S筝形ABCD=S△ABD+S△CBD, 设AC、BD的交点为O,且AC⊥BD, D :Sa号DA0*+号BD-0C-2BD0t0C BD-AC. 19.证明：，AC=BC, .∠CAB=∠CBA, ,△ACE和△BDC均为等边三角形， ∴.∠CAE=∠CBD=60°， .∠CAB-∠CAE=∠CBA-∠CBD, ∴.∠FAB=∠FBA. 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..FA=FB 在△ACF和△BCF中， AC=BC FA=FB CF=CF ∴.△ACF≌△BCFSSS, ∴.∠ACF=∠BCF, ∴.CG平分∠ACB, 又，△ABC是等腰三角形， ∴.AG=BG,且CG⊥AB ∴.CG垂直且平分AB,即CG是AB的垂直平分线. 20.(1)解：△DEF是等边三角形，理由如下； .AB=AD,∠DAB=60°， ∴.△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60°， CE‖AB, ∴.∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°， ∴.∠CED=∠ADB=∠DFE, ∴.△DEF是等边三角形： (2)证明：AB=AD,CB=CD, .AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD, .AB=AD. ∴.AC平分∠DAB: (3)4 ◆题型5角平分线的性质定理 21.4 22.(1)解：7AB=3BC,理由如下： ,∠BAC=90°， .DA⊥AB, BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC, 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=DE, .AB-AD-6,SBC:DE-14. 2 S△ABD= AB·AD 2 AB_3 SABCD BC.DE BC 7 2 ..7AB=3BC; (2)3 23.D 24.(1)1:1 (2)SABD:S△ACD=m:n (3)16 25.3 ◆题型6角平分线的判定定理 26.A 27.(1)60° (2)证明：如图，连接FD,作DG⊥AC,DH⊥BE于点G,H, R 由(1)可知△ADC≌△BDE, ∴.AC=BE,S△ADC=S△BDE, ..DG=DH, ∴.FD平分∠AFE. 28.A 29.B 30.解：如图，Rt△ADE为所求. 518 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ◆题型7角平分线性质的实际应用 31.D 32.D 33.解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，再作∠MON的角平分线交线段AB的垂直平分线于点P, 则点P即为所求； B 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A,B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速 公路OM和ON的距离也相等. 34.B 35.5 综合攻坚知能拔高 1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.C 8.75°/75度 9.62°162度 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10. 7 11.6 12.作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P. M B N 13.(1)证明：，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, .DC=DE,∠BED=∠C=90°， 在Rt△FCD和Rt△BED中， BD=DF DC=DE ∴.Rt△FCD≌Rt△BED HL, .'.CF=EB. (2)1 14.(1)如图所示，所作即所求： (2)∠ECF=x-45° 15.(1)55° (2)①证明：AC=AD, .∠ACD=∠ADC, .AB=AC, .∠CBA=∠ACB, ,∠CBA=2∠ADC, ∴.∠ACB=2∠ADC, 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DCB=∠ACB-∠ACD=2∠ADC-∠ADC=∠ADC, .AD‖CB ②10cm 8/8学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07逆命题和逆定理 内容概览 目常考题型精准突破 题型1写出命题的逆命题（高频） 题型2互逆定理（重） 题型3线段垂直平分线的性质（高频） 题型4线段垂直平分线的判定（重） 题型5角平分线的性质定理（高频） 题型6角平分线的判定定理（重) 题型7角平分线性质的实际应用（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1写出命题的逆命题 1.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 2.若-2a>-2b,则a<b,它的逆命题是 3.定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”）· 4.命题“如果Va=Vb,那么a=b”的逆命题是() A.如果a≠b,那么Va≠Vb B.如果Va=/6,那么a≠b c.如果a=b,那么Va=V6 D.如果a≠Vb,那么a≠b 5.下列命题的逆命题是真命题的是() A.两直线平行，同位角相等 B.七边形是多边形 C.两个全等三角形的面积相等 D.若a>0,b>0,则a+b0 ◆题型2互逆定理 6.下列说法错误的是() A.一个真命题的逆命题可能是真命题 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.一个定理不一定有逆定理 C.任何一个定理都有逆定理 D.若a>b,则a>b的逆命题是若a>b2,则a>b 7.写出一对互逆定理： 8.下列定理中，不存在逆定理的是() A.等边三角形的三个内角都等于60 B.同位角相等，两直线平行 C.一个三角形中相等的边所对的角相等 D.全等三角形的对应角相等 9.下列命题中，真命题是() A.真命题的逆命题不一定是真命题 B.对顶角相等有逆定理 C.过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.“如果x=y,那么x2=y2”的逆命题是“如果xy,那么x≠y2”. 10.写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理： ◆题型3线段垂直平分线的性质 11.如图，在△ABC中，点E是BC边上的点，DE垂直平分AB,若△ABC与△AEC的周长之差为10， 则AB的长为() E A.6 B.10 C.12 D.16 l2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D,边AC的垂直平分线EN交BC于点E.己知 △ADE的周长为8cm,求BC的长. 13.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于)BC长为半径画弧，两弧相交于点M,N.作 直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若∠BDE=65°，则∠C=() 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.20° B.25 C.30° D.35° 14.如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=5,∠A=40°，AB边的中垂线MN交AC于点D,交AB 于点M. M DN B (1)求∠DBC的度数； (2)求△BCD的周长. 15.到三角形三个顶点的距离相等的点是（) A.三条角平分线的交点 B.三边中线的交点 C.三边上高所在直线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 ◆题型4线段垂直平分线的判定 I6.我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=DC, AB=BC,则下列结论不正确的是() A.BD垂直平分AC B.OD=号OB 1 C.∠ADB=∠CDB D.筝形ABCD的面积=左AC~BD 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.到三角形三个项点距离相等的点是()· A.三条边中线的交点 B.三条边的高的交点 C.三个角的角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 18.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,像这样的四边形称为筝形. B (1)类比平行四边形和特殊平行四边形的研究，你认为可以研究筝形哪些方面的问题？ (2)请你探索筝形的性质，并加以证明， l9.如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC,△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F, 连接CF并延长，交AB于点G.求证：CG是AB的垂直平分线（要求：全等最多使用一次） E 20.如图，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°，过点C作CE‖BA,交AD 于E,交BD于点F,连结AC,交BD于H. (1)判断△DEF的形状，并说明理由. (2)求证：AC平分∠DAB (3)若AD=12,CE=8,求CF的长. ◆题型5角平分线的性质定理 21.在平面内，到△ABC三边距离相等的点有 个 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.如图，BD是△ABC的角平分线，∠BAC=90°，DE⊥BC于点E,点F在BD上，延长ED至点G, 连接EF、AG G D E (I)若S△ABD=6,S△BcD=14,判断AB与BC之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠ABC=60°，∠G=∠EFD,DG=3,求DF的长. 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧分别交AC、AB于点P、 Q,又分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M,连接AM交BC于点D.已知 AB=5,CD=2,则△ABD的面积是() A.2 B.3 C.4 D.5 24.在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD, D 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD:S△ACD=: (2)如图2，当AD平分∠BAC时，若AB=m,AC=n,求S△ABD:S△AcD的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，AD平分∠BAC,延长AD到E.使得AD=DE,连接BE,若AC=3,AB=5,S△BDE=10, 求S△ABC的值. 25.如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F.若AB=6,BC=4,△ABC的 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积为8，则△ABF的面积为 ◆题型6角平分线的判定定理 26.如图，△ABC内部有一点P,若点P到边AB、AC的距离相等，且PA=PC,则点P是() B A.∠BAC的角平分线与AC的垂直平分线的交点 B.∠BAC的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C.∠ABC的角平分线与AC的垂直平分线的交点 D.∠ABC的角平分线与BC的垂直平分线的交点 27.如图，△ABD与△CDE都是等边三角形，若BE与AC相交于点F. (I)求∠BFA的度数： (2)连接FD,求证：FD平分∠AFE 28.如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S, ∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论：①AS=AR,②QP‖AR,③△BRP△CSP.其中正确 的是() B 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 29.如图，DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°，则∠BDA的度数为() B C D A.40° B.50° C.60° D.80° 30.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：如图，△ABC 求作：Rt△ADE,使∠AED=9O°，点D,E分别在边BC,AB上，且点D到边AB,AC的距离相等， B ◆题型7角平分线性质的实际应用 31.如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的 地址有() A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 32.如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花 坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在() A.三角形最长的边的中点处 B.三角形三条中线的交点处 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.三角形三条高线的交点处 D.三角形三条角平分线的交点处 33.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离 必须相等，到两条高速公路OM和ON的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位 置P,并简要写出作法及作图依据. M B 34.如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得AB=12Cm,C恰好是AB的中点. 当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是() E 图1 图2 A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm 35.如图，在△ABC中，AB=5,AD⊥BC于点D,CD=2,∠BAD=2∠CAD,将△ABC沿着AD折 叠，若点B恰好落在射线BC上的点E处，则△ACE的面积为· B 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.下列命题的逆命题是假命题的是() A.等腰三角形的两个底角相等 B.全等三角形的面积相等 C.两直线平行，内错角相等 D.直角三角形两个锐角互余 2.如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点 P到BC的距离是() 8/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.8 B.6 C.4 D.2 3.如图，在△ABC中，点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=12,过O作 OD⊥BC于点D,且OD=2,则△ABC的面积是() B D A.12 B.16 C.24 D.30 4.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点F、H, 作直线FH.若AE=4,△ABD的周长为15，则△ABC的周长为() B A.19 B.20 C.22 D.23 5.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=8,S△ABc=24,AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E, F.若D为BC边的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长的最小值为() A.7 B.8 C.10 D.12 6.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F, 9112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论：①点O到△ABC的三个顶点的距离相等；② ∠AOB=90°+片∠C,③当∠C=60°时，AF+BE=AB:④若OD=a,AB+BC+CA=2b,则 S△ABc=ab.其中正确的是() ED A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EFBC交AB于点E,交AC 于点F,过点G作GD⊥AC于点D,下列五个结论：①EF=BE+CF;②BG=CG:③ 1 ∠BGC=90°+∠A,④点G到△ABC各边的距离相等；同设GD=m,AE+AF=n,则SaAP-左mn 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 8.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为E,若∠BAC=110°，∠B=35°，则 ∠DAC的度数是 D 9.如图，△ABC中，G、D两点分别在AC、BC上，DG为BC的中垂线，GB为∠AGD的角平分线， 若∠A=88°，则∠ABD=· 10/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D I0.如图，在∠AOB的平分线上取一点P,过点P作PC⊥OA于点C,在射线OB上取一点D,连接PD, 若OD=6,△POD的面积为21，则P的长为· DB 1 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.分别以点A,B为圆心，大于AB的长为半径画弧， 两弧交于D,E两点，直线DE交BC于点F,连接AF,以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点 H,连接AH.若BC=3,则△AFH的周长为一 ND B 三、解答题 12.如图①，两条交叉马路OM,ON中间区域建有A,B两个温室花房.现要在两条马路OM,ON之间 的空场处建鲜花交易中心P,使得交易中心P到两条马路OM,ON的距离相等，且到两个温室花房A,B 的距离也相等，如何确定交易中心P的位置？如图②，利用尺规作图求作点P(不写作法，保留作图痕迹). M/ A花房 M ●A 交易中心P B花房 ●B 7 N N 图① 图② 13.如图，在△ABC中，∠C=9O°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,F在AC上，且BD=DF. 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：CF=EB: (2)若AB=10,AF=8,求EB的长 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°. B (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边AC的垂直平分线ME,交边AB于点E,交边AC于点M: ②作∠ACB的平分线，交边AB于点F: (2)连接CE,若∠B=x°45°<x<90°，则∠ECF=。(用含x的代数式表示). 15.已知△ABC和△ADC均为等腰三角形，且AB=AC=AD. B 图1 图2 (1)如图1，若∠D=22°，∠BAC=26°，则∠DCB的度数为_： (2)如图2，当∠CBA=2∠ADC时， ①求证：AD‖CB: ②过点D作DE⊥CA,交CA的延长线于点E.若DE=l0cm,求点D到AB的距离. 12/12