12.4 专题特训七 等腰三角形中的分类讨论&综合与实践3 全等四边形-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训七等腰三角形中的分类讨论 类型一遇边或角进行讨论 1.已知a、b是等腰三角形的两边长，且a、b满足|2a一3b+5引+(2a十3b一13)2=0，则此等腰三角 形的周长为 A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 2.若一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角的度数为 类型二遇高、垂直平分线或中线进行讨论 3.在△ABC中，AB=AC,CD为边AB上的高线，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD的度数为 () A.67.5 B.22.5 C.45 D.22.5或67.5 4.已知等腰三角形的底边长为8c,一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另 部分长3cm,则这个三角形的腰长为 cm. 5.在△ABC中，AB=AC,边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角的度数为 50°，则∠B= 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC,两腰的垂直平分线交于点P,已知∠BPC=100°，则等腰三角 形的顶角的度数为 类型三分割构造进行分类讨论 7.已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分 割成两个三角形，使其中一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多可以画() A.6条 B.5条 C.4条 D.3条 8.一个三角形可被分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角是36°，则原三角形最大内角的所有 可能值为 类型四遇动点、动线进行分类讨论 9.*如图，P是射线BM上一动点（不与点B重合），点O在BM的反向延长线上，∠AOB=30°， ∠ABM=60°.当∠OAP的度数为多少时，以A、O、B三点中的任意两点和P为顶点的三角形 是等腰三角形？ 0 B (第9题) 66 “答案与解析”见P32 第12章全等三角形 综合与实践3全等四边形 1.如图所示为两个全等的四边形，根据图中所标注的数值可知：在四边形ABCD中，AB= cm;在四边形EFGH中，∠ =60°，FG= cm. 4 10cm D 6cm 60 (第1题) 2.舒考向阅读理解题阅读下面的材料，完成相应的任务， 根据全等图形的定义可知：四条边分别对应相等、四个角也分别对应相等的两个四边形全 等.在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个 条件，智慧小组的同学类比探索“三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如 下思考：如图，在四边形ABCD和四边形A'B'CD'中，连结对角线AC、A'C',这样两个四边形全 等的问题就转化为“△ABC≌△A'B'C”与“△ACD≌△A'C'D'”的问题.若先给定△ABC≌ △A'BC的条件，只要再增加两个条件使“△ACD≌△A'C'D'”即可推出两个四边形中“四条边 分别对应相等、四个角也分别对应相等”，从而说明这两个四边形全等 A R B (第2题) 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形ABCD和四边形A'B'CD'先给出如下条件：AB= A'B',∠B=∠B',BC=B'C',小亮在此基础上又给出“AD=A'D',CD=CD'”两个条件，他们 认为满足这五个条件能得到“四边形ABCD≌四边形A'B'C'D”. (1)请根据小明和小亮给出的条件，结合全等图形的定义说明四边形ABCD≌四边形A'B'C'D' 的理由， (2)在小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“AD=A'D',∠BCD=∠BC'D'”.满足这 五个条件 (填“能”或“不能”)得到四边形ABCD≌四边形A'B'CD'. “答案与解析”见P34 67CA,∠G=∠CAD.AE=EF,∴.∠CAD=∠AFE.又 :∠BFG=∠AFE,∴.∠G=∠BFG.∴.BG=BF. ∴.AC=BF」 (第7题) 8.如图，在AC上截取AE=AB,连结DE.,AD平分 ∠BAC,∴.∠BAD=∠EAD.在△ABD和△AED中， (AB=AE, ∠BAD=∠EAD,.△ABD≌△AED(SAS).∴.∠B= AD=AD, ∠AED,BD=ED.又∠B=2∠C,∴.∠AED= 2∠C.:∠AED=∠C+∠EDC,.∠EDC=∠C. .ED=CE..BD=CE..AB+BD=AE+CE=AC. D (第8题) 方法归纳 利用倍角关系构造等腰三角形的方法 已知在△AC中，∠ACB=∠AC. (1)如图①，作∠ABC的平分线BD,则可构造等腰三角 形BDC. (2)如图②，作∠BCE=2∠ACB,交BA的延长线于点 E,则可构造等腰三角形BCE. (3)如图③，延长CB至，点D,使BD=AB,连结AD,则 可构造等腰三角形ABD和等腰三角形ADC. (4)如图④，作∠BCE=∠ACB,交AB的延长线于点 E,则可构造等腰三角形BCE. ② B D B-- ③ ④ 专题特训七等腰三角形中的分类讨论 1.D.2a-3b+5+(2a+3b-13)2=0,|2a-3b+ 2a-3b+5=0, 5l≥0，(2a+3b-13)2≥0，∴. 解得 2a+3b-13=0, a=2, 分两种情况讨论：①如图①，当a为底边长时，三角 b=3. 形的三边长为2,3,3.2+3>3，∴.能构成三角形，此时 周长为2十3十3=8.②如图②，当b为底边长时，三角形的 三边长为2,2,3.2十2>3，.能构成三角形，此时周长 为2十2十3=7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8. ① ② (第1题) 2.72°或45°分两种情况讨论：①当等腰三角形的顶角是 底角的一半时，设等腰三角形的顶角为x,则底角为2x.由 题意，得x十2x十2x=180°，解得x=36°.∴.等腰三角形的 底角为72°.②当等腰三角形的底角是顶角的一半时，设等 腰三角形的底角为y,则顶角为2y.由题意，得y+y十 2y=180°，解得y=45°.∴.等腰三角形的底角为45°.综上 所述，此三角形底角的度数为72或45°. 3.D分两种情况讨论：如图①，当∠A为锐角时， :AB=AC,CD为边AB上的高线，∴·∠B=∠ACB, ∠CDA=90°.又：'△ADC是等腰三角形，∴.∠DAC= ∠DCA=45.∠B=∠ACB=号×(180-459= 67.5°.∴.∠BCD=∠ACB-∠DCA=67.5°-45=22.5°. 如图②，当∠BAC为钝角时，：AB=AC,CD为边AB上 的高线，∴.∠B=∠ACB,∠CDB=90°.又：△ADC是等 腰三角形，∴.∠DAC=∠DCA=45°.：∠B+∠ACB= ∠DAC,∠B=∠ACB=∠DAC=×45 22.5°.∴.∠BCD=∠ACB+∠DCA=22.5°+45°= 67.5°.综上所述，∠BCD的度数为22.5或67.5°. B∠ ① ② (第3题) 4.11或5设等腰三角形的腰长AB=AC=xcm.如图 ①，当AD+AC-(BC+BD)=3cm时，2x十x (8+号x)-3,解得x=1.11,11,8能组成三角形，符合 题意.如图②，当BC+BD一(AD+AC)=3cm时，8+ 之x-(分x十)=3，解得x=555.8能组成三角形，符 合题意.综上所述，这个三角形的腰长为11cm或5cm. A D B ⑦ ② (第4题) 5.70或20°如图①，当∠A为锐角时，，边AB的垂直 平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角的度数为50°， ·∠A=40.:AB=AC,.∠B=∠C=2180- ∠A)=号×(180°-40)=70如图@，当∠B1C为纯角 时，：边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得 的锐角的度数为50°，∴.∠1=40°..AB=AC,∴.∠B= ∠C.:∠B+∠C=∠1，∠B=∠C=号∠1=20：综 上所述，∠B的度数为70或20° B Q ② (第5题) 6.50或130°如图①，当点P在△ABC的内部时，连结 AP.:AB和AC的垂直平分线交于点P,∴.AP=BP= CP.∴.∠BAP=∠ABP,∠PBC=∠PCB,∠PAC= ∠ACP.∠BPC=100°，∴.∠PBC+∠PCB=180° ∠BPC=80°.：∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP=180° (∠PBC+∠PCB)=100°.∴.2∠BAP+2∠CAP= 100°.∴.∠BAP+∠CAP=50°.∴.∠BAC=50°.当点P 在△ABC的外部时，如图②，连结AP.:'AB和AC的垂 直平分线交于点P,∴AP=BP=CP.∠BAP= ∠ABP,∠PAC=∠ACP.∠BPC=l00,.∠ABP+ ∠BAP+∠ACP+∠CAP=360°-∠BPC=260. ∴.2∠BAP+2∠CAP=260°.∴.∠BAP+∠CAP= 130°.∴∠BAC=130°.综上所述，等腰三角形的顶角的度 数为50或130° (第6题) 3 7.C如图，当AC=CD=4时，此时直线AD将△ABC 分割成两个三角形，△ACD是等腰三角形.当AB=BG= 4时，此时直线AG将△ABC分割成两个三角形，△ABG 是等腰三角形.作AC的垂直平分线MF与BC交于点F, .AF=CF.∴.△FCA是等腰三角形.作AB的垂直平分 线NE与BC交于点E,∴.AE=BE.∴：△EBA是等腰三 角形.综上所述，这样的直线最多可以画4条. M B DE FAG C (第7题) 8.72°或90°或108°或126°或132°有以下五种可能： ①原三角形是锐角三角形，最大内角是72°，如图①， ∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36,AD=BD=BC;②原三 角形是直角三角形，最大内角是90°，如图②，∠ABC=90°， ∠A=36°，AD=CD=BD;③原三角形是钝角三角形，最 大内角是108°，如图③，∠BAC=108°，∠B=36°，BD= AB,AD=DC;④原三角形是钝角三角形，最大内角是 126°，如图④，∠ABC=126°，∠C=36°，AD=BD=BC: ⑤原三角形是钝角三角形，最大内角是132°，如图⑤， ∠C=132°，∠ABC=36°，AD=BD,CD=CB. D B C B ④ ⑤ (第8题) 9.分四种情况讨论：①如图①，当OA=OP时， :∠A0B=30,0A=0P,∠0AP=∠0PA=号× (180°-30)=75°.②如图②，当A0=AP时， .∠AOB=30°，AO=AP,.∠AP0=∠AOB=30°. ∴.∠OAP=180°-∠AOB-∠AP0=180°-30°-30°= 120°.③当OP=AP时，∠AOB=30°，OP=AP, ∴.∠OAP=30°.：∠AOB=30°，∠ABM=60°， ∴.∠OAB=30°.∴.∠OAP=∠OAB,即点P与点B重 合，不符合题意，舍去.④如图③，当△ABP是等腰三角形 时，'∠ABM=60°，∴.△ABP是等边三角形.∴.∠APB= 60°.∠AOB=30°，.∠OAP=180°-∠AOB ∠AP0=180°-30°-60°=90°.综上所述，当∠OAP=75 或120或90时，以A、O、B三点中的任意两点和P为顶点 的三角形是等腰三角形 B 0 B (① ② 0 B P M ③ (第9题) 方法归纳 常见的等腰三角形的分类讨论问题 (1)当没有指明腰和底边时，必须进行分类讨论 (2)当顶角和底角不确定时，必须进行分类讨论 (3)当高线的位置不确定时，必须进行分类讨论 (4)由腰的垂直平分线引起的分类讨论 (5)由腰上的中线引起的分类讨论. 同时还要注意检验求出的角度（边）必须满足三角 形的内角和定理（三角形的三边关系） 综合与实践3全等四边形 1.10H6:四边形ABCD和四边形EHGF全等， ∴.AB=HE=l0cm,∠B=∠H=60°，CD=FG=6cm. AB=A'B', 2.(1)理由：在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B', BC=B'C', ∴.△ABC≌△A'BC'(SAS).∴.∠BAC=∠B'A'C', ∠BCA=∠B'C'A',AC=A'C'.在△ACD和△A'C'D'中， (AD=A'D', CD=C'D',∴.△ACD≌△A'C'D'(SSS).∴.∠D= AC-AC' ∠D',∠ACD=∠A'C'D',∠DAC=∠D'A'C'. ∴.∠BAC+∠DAC=∠B'A'C'+∠D'A'C',∠BCA+ ∠ACD=∠B'C'A'+∠A'CD'.∴.∠BAD=∠B'A'D', ∠BCD=∠B'CD'.∴.四边形ABCD和四边形A'B'CD' 的四条边分别对应相等，四个角也分别对应相等.∴.四边 形ABCD≌四边形A'B'CD'.(2)不能.在△ABC和 AB=A'B', △A'B'C'中，{∠B=∠B',.△ABC≌△A'B'C'(SAS) BC=B'C', ∴.∠BCA=∠B'CA',AC=A'C.∠BCD=∠B'C'D', ∴.∠BCD-∠BCA=∠B'C'D'-∠B'C'A',即∠DCA= ∠D'C'A'.由∠DCA=∠D'C'A',AC=A'C',AD=A'D', 不可以判定△ACD≌△A'CD',∴.满足这五个条件不能 得到四边形ABCD≌四边形A'B'C'D', 3 第12章拔尖自主测评 1.A算术平方根等于本身的数是0和1，命题①是假命 题.任意多边形的外角和都为360°，命题②是真命题.两点 之间线段最短，命题③是假命题.有理数0与任意无理数的 积都是0,0是有理数，命题④是假命题.综上所述，真命题 只有1个. 2.C若添加∠B=∠E,在△ABC和△DEF中，AB= DE,∠B=∠E,BC=EF,可通过“SAS”判定△ABC≌ △DEF,选项A不符合题意；若添加AC=DF,在△ABC 和△DEF中，AB=DE,BC=EF,AC=DF,可通过“SSS 判定△ABC≌△DEF,选项B不符合题意；若添加∠C= ∠F,在△ABC和△DEF中，由AB=DE,BC=EF, ∠C=∠F,根据“SSA”不能判定两个三角形全等，选项C 符合题意；对于选项D,:'AB∥DE,EF∥BC,∴.∠B= ∠EDC,∠EDC=∠E..∠B=∠E.又：'AB=DE, BC=EF,∴.△ABC≌△DEF(SAS).∴.选项D不符合 题意. 3.A如图，延长BC到点F,使得CF=BD,连结EF :△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠BAC=∠ACB= 60°，AB=BC..∠BCE=180°-∠ACB=120°. ∴.∠CDE+∠CED=180°-∠DCE=60°.：AD=DE, ∴.∠DAE=∠DEA.又∠DAE+∠BAD=60°= ∠DEA十∠CDE,∴.∠CDE=∠BAD.又·BD十DC= CF+DC,.BC=DF..AB=DF=10.△ABD≌ △DFE(SAS).∴.∠F=∠B=60°，EF=BD=CF ∴△CEF是等边三角形.∴.CE=CF.∴.△DCE的周 =CD+CE+DE=CD+CF+DE=DF+DE=10+ 9=19. B D E (第3题) 4.C如图，过点D作DH⊥AC于点H.AD是 △ABC的角平分线，DF⊥AB,DH⊥AC,DF=2, .DF=DH=2.AE是△ABC的中线，∴BE= CE.∴.S△Ac=2S△Ar=2X6=12.∴.S△A5n+S△ACn= SA=12.:SaR=号AB·DF+号AC·DH, 号AB×2+号×7.5X2=12,解得AB=45. (第4题) 4