12.4 专题特训六 等腰三角形中常用辅助线的作法-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训六等腰三角形中常用辅助线的作法 类型一连结线段构造等腰三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF,BE=CD,G是 EF的中点.求证：DG⊥EF. (第1题) 类型二作“三线”中的“一线” 2.如图，在△ABC中，CA=CB,D是AB的中点，∠E=∠F=90°，CE=CF.求证：∠ADF ∠BDE. D (第2题) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边AB上一点，过点D作DF⊥AB,交AC于点E,交BC的 延长线于点F,求证：∠F-∠BAC D C (第3题) 类型三作平行线构造等腰三角形 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边AB上，点E在AC的延长线上，且CE=BD,连结DE 交BC于点F. (1)求证：DF=EF. (2)过点D作DG⊥BC,垂足为G.求证：BC=2FG. (第4题) 64 第12章全等三角形 类型四用“截长补短法”构造等腰三角形 5.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,且AB+BD=CD,求∠C的度数. (第5题) 类型五用“倍长中线法”构造等腰三角形 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,BD=CD.求证：∠ABC=∠C. (第6题) 7.如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F.若 AE=EF,求证：AC=BF. D (第7题) 类型六运用转化倍角构造等腰三角形 8.*如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC D (第8题) ●“答案与解析”见P31 65专题特训六等腰三角形中常用 辅助线的作法 1.如图，连结DE、DF.AB=AC,∴.∠B=∠C.在 BE=CD, △BDE和△CFD中，{∠B=∠C,,∴.△BDE≌△CFD BD=CF, (SAS).∴.DE=FD.G是EF的中点，.DGLEF. (第1题) 2.如图，连结CD.在Rt△ECD和Rt△FCD中， CD=CD:R△ECD≌R△FCD(HL..∠CDE= CE-CF, ∠CDF.CA=CB,D是AB的中点，.CD⊥AB. ∴.∠CDA=∠CDB.∴.∠CDA-∠CDF=∠CDB- ∠CDE,即∠ADF=∠BDE. B (第2题) 3.如图，过点A作AG⊥BC于点G,则∠AGB=90°. ∴.∠B+∠BAG=180°-∠AGB=90°.：'DF⊥AB, ∴.∠BDF=90°.∴.∠B+∠F=180°-∠BDF=90. ∴.∠F=∠BAG.AB=AC,AG⊥BC,∴.∠BAG ∠BAC.∠P-∠BAC 1 B (第3题) 4.(1)如图，过点D作DH∥AC,交BC于点H,则 ∠DHB=∠ACB,∠DHF=∠ECF.AB=AC, ∴.∠B=∠ACB..∠B=∠DHB..BD=HD. ,CE=BD,∴.HD=CE.在△DHF和△ECF中， ∠DFH=∠EFC, ∠DHF=∠ECF,∴.△DHF≌△ECF(AAS).∴.DF= HD=CE, EF.(2)由(I),得BD=HD.:DG⊥BC,∴.BG GH,即GH=2BH.由(1)，得△DHF≌△BCP. :HF=CF,即HF=号CH.·FG=GH+HF= 合BH+2CH=2BC.BC=2FG. GH E (第4题) 5.如图，在CD上截取DE=BD,连结AE.AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADE=90°.在△ABD和△AED中， BD=ED, ∠ADB=∠ADE,'.△ABD≌△AED(SAS).∴.AB= AD-AD, AE,∠B=∠AED.'AB+BD=CD,DE=BD, .AB+DE CD.CD=DE+EC,.AB=EC. ∴.AE=EC.设∠EAC=∠C=x.:∠AEB为△AEC的 外角，.∠AEB=∠EAC+∠C=2x.∴.∠B=2x. ∴.∠BAE=180°-2x-2x=180°-4x.∠BAC=120°， .∠BAE+∠EAC=120°，即180°-4x+x=120°.∴.x= 20°.∴.∠C=20°. D C (第5题) 6.如图，延长AD至点E,使ED=AD,连结BE.在 ED-AD, △EDB和△ADC中，{∠EDB=∠ADC,∴.△EDB≌ BD=CD, △ADC(SAS).∴.EB=AC,∠E=∠DAC.AD平分 ∠BAC,.∠DAB=∠DAC.∴.∠DAB=∠E.∴.AB= EB..AB=AC..∠ABC=∠C D E (第6题) 7.如图，延长AD至点G,使DG=AD,连结BG.:'AD 为边BC上的中线，.BD=CD.在△BDG和△CDA中， BD=CD, ∠BDG=∠CDA,∴.△BDG≌△CDA(SAS).∴.BG= DG-DA, CA,∠G=∠CAD.AE=EF,∴.∠CAD=∠AFE.又 :∠BFG=∠AFE,∴.∠G=∠BFG.∴.BG=BF. ∴.AC=BF」 (第7题) 8.如图，在AC上截取AE=AB,连结DE.,AD平分 ∠BAC,∴.∠BAD=∠EAD.在△ABD和△AED中， (AB=AE, ∠BAD=∠EAD,.△ABD≌△AED(SAS).∴.∠B= AD=AD, ∠AED,BD=ED.又∠B=2∠C,∴.∠AED= 2∠C.:∠AED=∠C+∠EDC,.∠EDC=∠C. .ED=CE..BD=CE..AB+BD=AE+CE=AC. D (第8题) 方法归纳 利用倍角关系构造等腰三角形的方法 已知在△AC中，∠ACB=∠AC. (1)如图①，作∠ABC的平分线BD,则可构造等腰三角 形BDC. (2)如图②，作∠BCE=2∠ACB,交BA的延长线于点 E,则可构造等腰三角形BCE. (3)如图③，延长CB至，点D,使BD=AB,连结AD,则 可构造等腰三角形ABD和等腰三角形ADC. (4)如图④，作∠BCE=∠ACB,交AB的延长线于点 E,则可构造等腰三角形BCE. ② B D B-- ③ ④ 专题特训七等腰三角形中的分类讨论 1.D.2a-3b+5+(2a+3b-13)2=0,|2a-3b+ 2a-3b+5=0, 5l≥0，(2a+3b-13)2≥0，∴. 解得 2a+3b-13=0, a=2, 分两种情况讨论：①如图①，当a为底边长时，三角 b=3. 形的三边长为2,3,3.2+3>3，∴.能构成三角形，此时 周长为2十3十3=8.②如图②，当b为底边长时，三角形的 三边长为2,2,3.2十2>3，.能构成三角形，此时周长 为2十2十3=7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8. ① ② (第1题) 2.72°或45°分两种情况讨论：①当等腰三角形的顶角是 底角的一半时，设等腰三角形的顶角为x,则底角为2x.由 题意，得x十2x十2x=180°，解得x=36°.∴.等腰三角形的 底角为72°.②当等腰三角形的底角是顶角的一半时，设等 腰三角形的底角为y,则顶角为2y.由题意，得y+y十 2y=180°，解得y=45°.∴.等腰三角形的底角为45°.综上 所述，此三角形底角的度数为72或45°. 3.D分两种情况讨论：如图①，当∠A为锐角时， :AB=AC,CD为边AB上的高线，∴·∠B=∠ACB, ∠CDA=90°.又：'△ADC是等腰三角形，∴.∠DAC= ∠DCA=45.∠B=∠ACB=号×(180-459= 67.5°.∴.∠BCD=∠ACB-∠DCA=67.5°-45=22.5°. 如图②，当∠BAC为钝角时，：AB=AC,CD为边AB上 的高线，∴.∠B=∠ACB,∠CDB=90°.又：△ADC是等 腰三角形，∴.∠DAC=∠DCA=45°.：∠B+∠ACB= ∠DAC,∠B=∠ACB=∠DAC=×45 22.5°.∴.∠BCD=∠ACB+∠DCA=22.5°+45°= 67.5°.综上所述，∠BCD的度数为22.5或67.5°. B∠ ① ② (第3题) 4.11或5设等腰三角形的腰长AB=AC=xcm.如图 ①，当AD+AC-(BC+BD)=3cm时，2x十x (8+号x)-3,解得x=1.11,11,8能组成三角形，符合