12.4 逆命题和逆定理 同步训练 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到综合应用层层递进，适配新授课知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|逆命题逆定理概念、角平分线性质|选择题1考逆定理判断，填空题13直接应用角平分线距离性质，强化抽象能力| |中档|垂直平分线性质、作图与性质结合|选择题4结合尺规作图考角平分线，填空题15综合垂直平分线与角度计算，发展几何直观| |提升|多结论证明、动态问题迁移|解答题22含3问递进证明，填空题17动态几何求最值，培养推理能力与创新意识|

华师大版(2024)八年级上册12.4逆命题和逆定理同步训练 一、选择题 1.下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形：②全等三角形的周长相等：③同 位角相等，两直线平行；存在逆定理的有()个。 A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为10cm、15cm和20cm,三条角平分线的交，点为 0,则S△A0B:S△BOc:SACOA=() A.2:3:4 B.3:4:5 c.1:2:3 D.5:12:13 3.为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带MN‖PQ, 绿化带AB交绿化带MN于A,交绿化带PQ于B.若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则 可供选择的喷灌处修建，点有（) M A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 4.如图，△ABC中，∠A=90°，以，点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于，点M, N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画孤，两孤交于点F,作射线BF交AC于点 1 D.若AD=1,则，点D到BC的距离为() N A.2 B.1 c.2 D.2 5.如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD.AD过，点P,且与AB垂直，若AD=12. 则，点P到BC的距离是() B A D 11 9 A.5 B.2 C.6 6.如图，在△ABC中，E为AB边的中，点，过点E作ED⊥AB交BC于，点D,若AE=3,△ADC的 周长为20，则△ABC的周长为() B D A.20 B.23 C.26 D.29 7.如图，三角形地块ABC中，边AB=40m,AC=30m,其中绿化带AD是该三角形地块的角平 分线.若三角形地块ABD的面积为320m,则三角形地块ACD的面积为() A.120m2 B.240m2 c.400m2 D.560m2 8.如图，直线与线段AB交于点O,点P在直线上，且PA=PB.则下列说法正确的是（) B A.AO=BO B.直线l是AB的垂直平分线 c.若l⊥AB,则直线！是AB的垂直平分线 D.若∠A=∠B,则直线l是AB的垂直平分线 9.如图，在△ABC中，AB=AC,且△ABC的面积为27，BC=6,AC的垂直平分线EF分别交AB ,AC于点E,F,若点D为BC的中点，点P为直线EF上一动点，则△PCD周长的最小值为( A.9 B.12 c.15 D.18 10.如图，在△ABC中，∠B=90°，DE⊥AC于点E,DF‖AC交AB于点F,若DE=DB,则下 列结论：①AB=AE;②AD平分∠BAC;③∠C+∠AFD=180°；④△BDF≌△ECD.其中结 论正确的有（) A.1个 B.2个 c.3个 D.4个 11.如图，△ABC中，作AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,AB=AE,若 △ABC周长为16，AC=6,BD=1,则AB为() B D E A.3 B.4 C.5 D.6 12.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于，点P,过P作 PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于，点H,则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA③ PH=PD:④连接CP,CP平分∠ACB,其中正确的是（) A P F C D B A.①②③ B.①②④ c.①③④ D.①②③④ 二、填空题 13.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OB,如果PC=6,那么点P到OA的距离等于 A P C B 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以，点A为圆心，适当长为半径画孤，分别交AB、AC于点 D,E,再分别以点D,E为圆心，大于PE长为半径画孤，两孤交于点F,作射线AP交边BC 点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积为 G B 15.如图，在△ABC中，∠A=100°，点D是BC上的一点，BD,CD的垂直平分线分别交AB, AC于，点E,F,则∠EDF= E D 16.如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边的中点，BD=6,点P,Q是BD上的两个动点，且 PQ=2.若QH⊥BC于点H,则PA+PQ+QH的最小值为 D P H 17.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，D为射线BC上一动，点，以AD为底边，在AD 的左侧作等腰直角三角形ADE.F为AC上一点，CF=号AB,连接EF.当AE+EF取最小值时， 则∠EFA的度数为 B D C 三、解答题 18.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,有∠BAD=100°，∠ABC的平分线BE交AC 于点E,过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F,且∠AEF=50°，连接DE.求证：DE平分 ∠ADC. B D 19.已知：如图，AE平分∠FAC,EF⊥AF,EG⊥AC,垂足分别为，点F,G,DE是BC的垂直 平分线 B 求证：BF=CG, 20.如图，在△ABC中，D是BC的中，点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF.求 证：AD是△ABC的角平分线. E B D 21.课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角∠A0B,作出LAOB的平分线0C.在0C上任取一点P,过点 P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E,测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在 OC上再取几个点试一试. 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ D E B 图12.3-3 [实验猜想]针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两 边的距离相等. [推理证明]为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求 证”，请你利用全等的知识完成证明过程. (1)已知：点P是∠AOB的平分线OC上一点，过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于，点E.求 证：PD=PE. [知识应用](2)如图2，∠BAC的平分线与△ABC的外角∠BCD的平分线相交于点0，过，点0作 OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,连接OB. ①证明OB平分∠CBE; ②若∠CAB=70°，则∠COB= 22.如图：已知在等腰△ABC中，AB=AC,点D为△ABC左侧一动点，点E在BD的延长线上， CD交AB于点F,且∠BDC=∠BAC. E B 备用图 (1)求证：∠ABD=∠ACD. (2)请你判断AD是否平分∠CDE,并证明你的结论： (3)若在D,点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，请你判断∠BAC的度数是否变 化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数 华师大版（2024)八年级上册12.4逆命题和逆定理同步训练（参考答 案) 一、选择题 1.下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同 位角相等，两直线平行：存在逆定理的有()个. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两底角相等，正确，① 存在逆定理； 全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的三角形全等，错误，②没有逆定理： 同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，正确，③存在逆定理， 故选C. 2.如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为10cm、15cm和20cm,三条角平分线的交点为 0,则S△AOB:S△BOc:S△cOA=() B A.2:3:4 B.3:4:5 c.1:2:3 D.5:12:13 【答案】A 【解析】过0作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N,OK⊥AC于K, 飞 O -AN B M .△ABC的三条角平分线的交点为0， ∴.OM=ON=OK, △A0B的而积=ABOM,△B0C的而积号BC-ON,△A0C的面积=AC-0K, .'AB、BC、AC的长分别为10cm、15cm和20cm, ..SAAOB:SABOC:SACOA=AB:BC:AC=10:15:20=2:3:4. 故选：A 3.为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带MN‖PQ, 绿化带AB交绿化带MN于A,交绿化带PQ于B.若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则 可供选择的喷灌处修建，点有() A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 【答案】C 【解析】：∠BAN和∠ABQ的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， M .这两个角的平分线的交点满足条件： .∠BAM和∠ABP的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， .这两个角的平分线的交点满足条件： .满足这条件的点有2个： 故选：C 4.如图，△ABC中，∠A=90°，以，点B为圆心，适当长为半径画孤，分别交BA,BC于，点M, N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画孤，两孤交于点F,作射线BF文AC于点 D.若AD=1,则，点D到BC的距离为（) M D A.2 B.1 c.2 D. 【答案】B 【解析】过点D作DE⊥BC,如图 由题意得：BD平分∠ABC, .∠A=90°，AD=1 ∴.DE=AD=1 故选：B 5.如图，AB‖CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD.AD过点P,且与AB垂直，若AD=12. 则点P到BC的距离是() D 11 A.5 B.2 0.6 【答案】C 【解析】过P作PE⊥BC交于E, D .'ABCD,AD⊥AB, ∴.AD⊥CD .·BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD, .∴.PA=PE=PD PE=号AD=6: 故选：C 6.如图，在△ABC中，E为AB边的中点，过点E作ED⊥AB交BC于点D,若AE=3,△ADC的 周长为20，则△ABC的周长为() B C D A.20 B.23 C.26 D.29 【答案】C 【解析】，E为AB边的中点，ED⊥AB ∴.ED垂直平分AB,AB=2AE=6, ..BD=AD. .△ADC的周长为20 ∴.AD+CD+AC=20, .BD+CD+AC=20. .∴.BC+AC=20. ∴.△ABC的周长=AB+AC+BC=20+6=26, 故选；C. 7.如图，三角形地块ABC中，边AB=40m,AC=30m,其中绿化带AD是该三角形地块的角平 分线.若三角形地块ABD的面积为320m,则三角形地块ACD的面积为() A.120m2 B.240m2 c.400m2 D.560m2 【答案】B 【解析】过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, .'AD是∠BAC的平分线， ∴.DE=DF, .'AB=40m,△ABD的面积为320m2, :DE=DF=2x320-16(m, 40 △ACD的面积ACDF-×30×16=240m, 故选：B D 8.如图，直线I与线段AB交于点O,点P在直线1上，且PA=PB.则下列说法正确的是() A.AO=BO B.直线l是AB的垂直平分线 c.若！⊥AB,则直线是AB的垂直平分线 D.若∠A=∠B,则直线I是AB的垂直平分线 【答案】C 【解析】.PA=PB, ∴点P在直线AB的垂直平分线上， ∴.若l⊥AB,则直线I是AB的垂直平分线，故C说法正确，符合题意 根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C 9.如图，在△ABC中，AB=AC,且△ABC的面积为27，BC=6,AC的垂直平分线EF分别交AB ,AC于点E,F,若，点D为BC的中点，点P为直线EF上一动点，则△PCD周长的最小值为( B D A.9 B.12 c.15 D.18 【答案】B 【解析】连接AD,AP. A .AB=AC,点D是BC边的中点， .AD⊥BC 5号BCAD=×6×AD=27, 解得AD=9」 .EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称，点为，点A, .PA=PC. .AD≤AP+PD=CP+DP, .AD的长为CP+DP的最小值， △CDM的周长最小值为CP+DP+CD=AD+号BC=9+x6=12, 故选：B 10.如图，在△ABC中，∠B=90°，DE⊥AC于点E,DF‖AC交AB于点F,若DE=DB,则下 列结论：①AB=AE;②AD平分∠BAC;③∠C+∠AFD=180°：④△BDF≌△ECD.其中结 论正确的有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】DE⊥AC, ∴.∠DEA=∠DBA=90° .DE=DB .AD平分∠BAC,故②正确： ∴.∠BAD=∠EAD ∴.△BAD≌△EADA.A.S., .AB=AE,故①正确： DF AC, ∴.∠BAC+∠AFD=180°， 根据现有条件无法证明∠C=∠A, .无法证明∠C+∠AFD=180°，故③错误； DF AC, .∠C=∠BDF, 由于只有BD=DE,并不能得到BD=EC, .△BDF≌△ECD不成立，故④错误， 故选：B. 11.如图，△ABC中，作AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于，点F,交BC于点E,AB=AE,若 △ABC周长为16，AC=6,BD=1,则AB为() B D C A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】B 【解析】：△ABC周长为16， .∴.AB+BC+AC=16, .AC=6, .∴.AB+BC=10 ,EF垂直平分AC, .∴.EA=EC, AB=AE,AD⊥BC, .∴.BD=DE=1,AB=CE, .∵AB+2+CE=10 .∴.AB=4, 故选：B 12.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作 PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于，点H,则下列结论：①∠APB=135°：②BF=BA:③ PH=PD:④连接CP,CP平分∠ACB,其中正确的是() E P F D B A.①②③ B.①②④ c.①③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】在△ABC中， ∴.：∠ACB=90o .∴.∠BAC+∠ABC=90° 又：'AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC, ·∠BAD+∠ABE=L ∠BAC+∠ABC=45°. .∠APB=135°，故①正确. ∴.∠BPD=45°， 又.PF⊥AD」 .∴.∠FPD=90°， .∴.∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135° .∴.∠APB=∠FPB. 又'∠ABP=∠FBP,BP=BP .△ABP≌△FBPA.S.A., ∴.∠BAP=∠BFP,BA=BF,PA=PF,故②正确. 在△APH和△FPD中， '.'∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP,PA=PF, ∴.△APH≌△FPDA.S.A., .PH=PD,故③正确 ,'△ABC的角平分线AD、BE相交于点P, ∴.，点P到AB、AC的距离相等，，点P到AB、BC的距离相等， .∴点P到BC、AC的距离相等， ,点P在∠ACB的平分线上， ∴.CP平分∠ACB,故④正确. 故选：D A E P H .- C D B 二、填空题 13.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OB,如果PC=6,那么点P到OA的距离等于 A P 【答案】6 【解析】过P作PH⊥OA于H, A ○ C B .OP平分∠AOB,PC⊥OB, .∴.PH=PC=6 ∴.，点P到OA的距离等于6. 故答案为：6. 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以，点A为圆心，适当长为半径画孤，分别交AB、AC于点 D,E,再分别以点D,E为圆心，大于DE长为半径画孤，两孤交于点F,作射线AF交边BC于 点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积为 C F B 【答案】2 【解析】由作图得AG平分∠BAC, .∠B=90° '.G,点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1， △ACG的面积=号×4×1=2； 故答案为：2. 15.如图，在△ABC中，∠A=100°，点D是BC上的一点，BD,CD的垂直平分线分别交AB, AC于点E,F,则∠EDF=一 【答案】100° 【解析】BD,CD的垂直平分线分别交AB,AC于点E,F, .EB=ED,FD=FC. ∴.∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD ∠EDF=180°-∠EDB+∠FDC=180°-∠B+∠C,∠B+∠C=180°-∠A, ∴.∠EDF=∠A=100° 故答案为：100° 16.如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边的中点，BD=6,点P,Q是BD上的两个动，点，且 PQ=2.若QH⊥BC于点H,则PA+PQ+QH的最小值为 D H 【答案】6 【解析】连接CP,过点Q作QE⊥AB于点E,连接CE交BD于点F,连接HF,如图所示， A D .'△ABC是等边三角形，点D是AC边的中点， .∴.AP=CP,∠ABD=∠CBD. QE⊥AB,QH⊥BC, ∴.QE=QH .PA+PQ+QH=CP+PQ+QE=CP+PF+QF+QE. ·.'CP+PF≥CF,QF+QE≥EF」 .∴.PA+PQ+QH≥CF+EF=CE ∴.当CE最小时，PA+PQ+QH最小， .CE⊥AB时，即E为AB中点时，CE最小， .△ABC是等边三角形，BD=6, ∴.CE=BD=6时，PA+PQ+QH最小， .∴.PA+PQ+QH的最小值为6， 故答案为：6. 17.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，D为射线BC上一动，点，以AD为底边，在AD 的左侧作等腰直角三角形ADE.F为AC上一点，CP=号AB,连接EF.当AE+EF取最小值时， 则∠EFA的度数为 B D C 【答案】120 【解析】如图，过E作EG⊥BC交CB的延长线于G,E作EH⊥AC交AC的于H,作射线CE,连 接BE, H GB D C ∴.∠AHE=∠DGE=∠EHC=90°， .∴.∠GEH=90」 ∴.∠DEG+∠DEH=90° ·△AED是等腰直角三角形， .∴.∠AED=90°，AE=DE, ∠AEH+∠DEH=90 .∴.∠AEH=∠DEG, 在△AEH和△DEG中 乙 .△AEH≌△DEG(A.A.S), ∴.EG=EH」 ∴.CE是∠ACB的平分线， .E在CE上运动， .∴.∠BCE=∠FCE=45° .∠BAC=30°， ∠ACB=90° .BC=-AB 21 ∠ABC=60°， CF=1AB ∴.BC=FC, 在△CBE和△CFE中 6, ∴.△CBE≌△CFE(S.A.S), ∴.EB=EF」 .∴.AE+EF =AE+EB. 当A、E、B三，点共线时，AE+EB最小， 如图，此时AE+EB=AB, -H B G 0 此时，同理可证：△CBE≌△CFE, .∴.∠EBC=∠EFC=60°， ∴.∠EFA=180°-∠EFC =120°： 故答案：120°： 三、解答题 18.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,有∠BAD=100°，∠ABC的平分线BE交AC 于点E,过，点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F,且∠AEF=50°，连接DE,求证：DE平分 ∠ADC. E B 【答案】证明如图，过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H, G B DH ·.EF⊥AB,∠AEF=50°， ∴.∠FAE=90°-50°=40°， .∠BAD=100°， .∴.∠CAD=180°-100°-40°=40° ∴.∠FAE=∠CAD=40°，即AC为∠DAF的平分线. 又EF⊥AB,EG⊥AD, .∴.EF=EG ·.BE是∠ABC的平分线， ∴.EF=EH, ∴.EG=EH, ∴，点E在∠ADC的平分线上， .DE平分∠ADC. 19.已知：如图，AE平分∠FAC,EF⊥AF,EG⊥AC,垂足分别为，点F,G,DE是BC的垂直 平分线. 求证：BF=CG 【答案】证明连接EC、EB B ,AE是∠CAB的平分线，EF⊥AF,EG⊥AC, .∴.EG=EF 又ED垂直平分BC, ∴.EC=EB ∴.Rt△CGE≌Rt△BFEH.L.. ∴.BF=CG 20.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF.求 证：AD是△ABC的角平分线. A D 【答案】证明点D是BC的中，点， .BD=DC .DE⊥AB,DF⊥AC, .∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中 6, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF|H.L., ..DE=DF. .DE⊥AB,DF⊥AC .AD平分∠BAC. .AD是△ABC的角平分线. 21.课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角∠A0B,作出LAOB的平分线0C.在0C上任取一点P,过点 P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E,测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在 OC上再取几个点试一试. 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ D B 图12.3-3 [实验猜想]针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两 边的距离相等. [推理证明]为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求 证”，请你利用全等的知识完成证明过程. (1)已知：点P是∠AOB的平分线OC上一点，过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.求 证：PD=PE [知识应用](2)如图2，∠BAC的平分线与△ABC的外角∠BCD的平分线相交于点0，过，点0作 OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,连接OB. ①证明OB平分∠CBE: ②若∠CAB=70°，则∠COB= B E 【答案】(1)证明：OC平分∠AOB, ∴.∠AOC=∠BOC, PD⊥OA,PE⊥OB .∴.∠ODP=∠OEP=90°， 在△OPD和△OPE中， d, .∴.△OPD≌△OPE, ∴.PD=PE: (2)①证明过点0作OF⊥CB于，点F, A B E .AO是∠ABC的平分线，OD⊥AC,OE⊥AB, ∴.OD=OE .CO是∠BCD的平分线，OD⊥AC,OF⊥BC, ..OD=OF, ..OF=OE, .'OF⊥BC,OE⊥AB ∴.BO平分∠CBE ②解.OB平分∠CBE,OC平分∠BCD, ∠CB0-3CBE,∠BC0-2BCD, 6C0B=180-∠CB0-∠BC0=180-<C8E-<BCD=180°-CBE+∠BCD =180°-2CAB+∠ACB+∠CAB+∠ABC=180-180+∠CAB=90-克<CAB =900-1×70=550 故答案为：55° 22.如图：已知在等腰△ABC中，AB=AC,点D为△ABC左侧一动点，点E在BD的延长线上， CD交AB于，点F,且∠BDC=∠BAC E B 备用图 (1)求证：∠ABD=∠ACD: (2)请你判断AD是否平分∠CDE,并证明你的结论： (3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，请你判断∠BAC的度数是否变 化？如果变化，请说明理由：如果不变，请求出∠BAC的度数. 【答案】(1)证明：'∠BDC=∠BAC,∠BFD=∠AFC,∠BDC+∠BFD+∠ABD=180°， ∠BAC+∠AFC+∠ACD=180°， .∴.∠ABD=∠ACD: (2)解AD平分∠CDE 证明如图，过点A作AM⊥CD于点M,作AN⊥BE于点N, E D F M B 则∠AMC=∠ANB=90° 在△AMC和△ANB中， 乙， ∴.△AMC≌△ANBA.A.S.. .∴.AM=AN, .∴.AD平分∠CDE: (3)解∠BAC的度数不变，∠BAC=60, 如图，在CD上截取CP=DB,连接AP. E D F B CD=DA+DB=PD+CP, .∴.AD=PD .'AB=AC,∠ABD=∠ACD,BD=CP ∴.△ABD≌△ACPS.A.S., .∴.AD=AP,∠BAD=∠CAP .∴.AD=AP=PD,即△ADP是等边三角形， .∠DAP=60°， .∴.∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°， .∴.∠BAC=60°，