12.4 第1课时 互逆命题和互逆定理&第2课时 线段垂直平分线-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

第12章全等三角形 12.4逆命题和逆定理 第1课时互逆命题和互逆定理 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列命题的逆命题是真命题的是 () A.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等B.全等三角形的三条对应边相等 C.等边三角形是锐角三角形 D.成轴对称的两个三角形全等 2.命题“当k=2时，二次三项式x2十kxy十y2是完全平方式”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）. 3.写出下列命题的逆命题，并判断其真假.如果是假命题，请举出反例. (1)如果a+b=0,那么a2=b2. (2)等腰三角形是锐角三角形 (3)如果x=a,那么(x-a)(x-b)=0. 4.在同一个三角形中，角的大小与边的大小满足定理“在三角形中，大角所对的边较 大”.该定理有逆定理吗？如果有，请写出逆定理，并加以证明；如果没有，请写出它的 逆命题，并举出一个反例说明它是假命题， 5.写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边BC、AB、CA的延长线上. (1)若BE=AF=CD,求证：△DEF是等边三角形 (2)写出(1)的逆命题，并判断其是否成立.若成立，请说明理由；若不成立，请举反例说明. B E (第6题) “答案与解析”见P27 59 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时 线段垂直平分线 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于号AC的长为半径作弧，两弧相交于MN 两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=6cm,△ABD的周长为26cm,则△ABC 的周长为 () A.32 cm B.38 cm C.44 cm D.50 cm M 1/D E D B (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线EF分别交边BC、AB于点E、F,过点A作AD⊥BC, 垂足为D,且D为线段CE的中点，连结AE.若AC=8,CD=3,则BC的长为 () A.8 B.10 C.12 D.14 3.如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，则∠PAB的度数为 4.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，且AE⊥BC,AF⊥CD. (1)求证：AB=AD (2)请你探究∠EAF、∠BAE、∠DAF之间有什么数量关系.并证明你的结论： E (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.在△ABC中，AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA十PC=BC.下列作法 中，正确的是 ) P A 60 第12章全等三角形 6.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N,且点M、N分别在 PA、PC的垂直平分线上.若∠ABC=90°，则∠APC的度数为 （) A.120° B.125 C.130° D.135 A B ED (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连结AD,且CD=5,AD=13,直线EF是边AC的垂直平 分线.若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB边上的一点. (1)利用尺规在AB的上方确定点M,使DM⊥AB,且DM=AC. (2)在(1)中，利用尺规过点M作直线ME,使MEBC,且ME交AB于点E. (3)判断(2)中的△ABC与△MED是否全等，并说明理由， A D (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线L1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,连 结AD、AE,l1与l2相交于点O,连结OB、OC.若△ADE的周长为6cm,△OBC的周长为14cm (1)求线段BC的长， (2)连结OA,求线段OA的长 (3)若∠BAC=100°，求∠DAE的度数 (第9题) “答案与解析”见P28 61∴.∠ADE=∠ABC=80°.在△ADE和△CBA中， (AD=CB, ∠ADE=∠CBA,∴.△ADE≌△CBA(SAS). DE=BA, ∴.∠AED=∠BAC=20°.(2)·△ADE2△CBA, ∴.AE=CA,∠DAE=∠BCA=80°.∠BAC=20°， ∴.∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°.又 AE=CA,∴.△ACE是等边三角形. 5.B如图，连结AC交BD于点G.:AB=AD=12, ∠A=60°，∴.△ABD是等边三角形.∴.AB=AD=BD= 12,∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°.AB=AD=12, BC=DC,∴.AG⊥BD,BG=DG.∴.∠BAC=∠DAC= 60°÷2=30°.CE∥AB,∴.∠ACE=∠BAC=∠DAC= 30°..AE=CE=7..DE=AD-AE=12-7=5. :EF∥AB,.∠EFD=∠ABD=6O°，∠FED= ∠BAD=60°..△DEF是等边三角形.∴.EF=DE=5. GF (第5题) 6.①②③∠OCA=40°，OA=C,∴.∠OAC= ∠OCA=40°.∠BAC=60°，∴.∠OAB=60°-40°= 20°.∠OBA=20°，∴.∠OAB=∠OBA.∴.OB= OA.∴.△OAB是等腰三角形，故②正确.：∠BOA 180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°，故①正 确.：'∠BAC=60°，∠OBA=20°，∠OCA=40°， ∴.∠OBC+∠C0CB=180°-60°-20°-40°=60°.OA= OB,OA=OC,∴.OB=OC.∴.∠OBC=∠OCB=30°，故 ③正确.：∠ABC=∠AB0+∠OBC=20°+30°=50°， ∠ACB=∠OCB+∠ACO=30°+40°=70°，∠BAC=60°， .△ABC不是等边三角形，故④不正确. 7.(1):CN⊥AD,∴.∠AHN=∠AHC=90°.又.AD 平分∠BAC,∴.∠NAH=∠CAH.又AH=AH, ∴.△ANH≌△ACH(ASA).∴.AN=AC.∴.△ANC为 等腰三角形.(2)如图，连结ND.,AD平分∠BAC, ∴.∠NAD=∠CAD.由(1)得AN=AC,又.AD=AD, ∴.△AND≌△ACD(SAS.∴.ND=CD,∠AND= ∠ACD.又：∠ACB=2∠B,即∠ACD=2∠B, .∠AND=2∠B.:∠AND=∠B+∠NDB,∴.∠B ∠NDB.∴.BN=ND.∴.BN=CD. (第7题) 微专题·角平分线十平行→等腰 1.10:BG平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴.∠ABG ∠GBC,∠ACF=∠BCF..'ED∥BC,∴.∠EGB= ∠GBC,∠DFC=∠BCF..∠APG=∠EGB,∠DFC= ∠ACF.∴.EB=EG,DF=DC.FG=3,ED=7, .EB+DC=EG+DF=ED+FG=7+3=10. 2.5.5:∠ABC的平分线BF与△ABC的外角 ∠ACG的平分线相交于点F,∴.∠DBF=∠CBF, ∠FCE=∠FCG.:'DF∥BC,∴.∠DFB=∠CBF, ∠EFC=∠FCG.∴.∠DBF=∠DFB,∠FCE= ∠EFC.∴.BD=FD,EF=CE.∴.△BDF和△CEF为 等腰三角形..BD一CE=FD一EF=DE.∴.EF= DF-DE=BD-DE=8-2.5=5.5.∴.EC=5.5. 3.如图，延长MF,交BA的延长线于点E,延长FM到 点N,使MN=MF,连结BN.,'M是BC的中点， AB=8,CF=10,∴.BM=CM.在△BMN和△CMF MN-MF, 中，{∠BMN=∠CMF,∴.△BMN≌△CMF(SAS). BM-CM, ∴.BN=CF=10,∠N=∠CFM.'∠CFM=∠AFE, .∠N=∠AFE.:MF∥AD,∴.∠DAF=∠AFE, ∠BAD=∠E.:'AD是∠BAC的平分线，∴.∠DAF= ∠BAD.∴.∠AFE=∠E.∴.∠N=∠E,AE=AF .BE=BN=10..AE=BE-AB=10-8=2. ∴.AE=AF=2.∴.AC=AF+CF=2+10=12. -N (第3题) 12.4逆命题和逆定理 第1课时互逆命题和互逆定理 1.BA.逆命题为如果两个实数的绝对值相等，那么它们 相等.·绝对值相等的实数可能互为相反数（如5和一5）， ∴.是假命题B.逆命题为如果两个三角形的三条对应边 相等，那么这两个三角形全等.'根据全等三角形的SSS 判定定理，三边对应相等则三角形全等，∴是真命题 C逆命题为锐角三角形是等边三角形.：'锐角三角形不 一定三边相等，∴.是假命题.D.逆命题为如果两个三角形 全等，那么它们成轴对称.：全等三角形不一定成轴对称， ∴是假命题 2.假如果二次三项式x2十kxy十y2是完全平方式，那 么k=士2，故原命题的逆命题“如果二次三项式x2十 kxy十y2是完全平方式，那么k=2”是假命题. 3.(1)逆命题：如果a=b2,那么a十b=0.假命题.反例不 唯一，如a=1,b=1,a2=b2成立，但a十b=0不成立 (2)逆命题：锐角三角形是等腰三角形.假命题.反例不唯 一，如在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°，此时 △ABC是锐角三角形，但不是等腰三角形.(3)逆命题：如 果(x一a)(x一b)=0,那么x=a.假命题.反例：x=b≠a. 4.有逆定理：在三角形中，大边所对的角较大.已知：如 图，在△ABC中，AC>AB.求证：∠ABC>∠ACB.证明： AC>AB,.在AC上截取AE=AB,连结BE. ∴.∠ABE=∠AEB.∠ABC>∠ABE,∴.∠ABC> ∠AEB.I∠AEB>∠ACB,∴.∠ABC>∠ACB. A --E B C (第4题) 5.逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离 相等，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，在 △ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,且DE=DF.求证：△ABC是等腰三角形.证明： :D是BC的中点，BD=CD.DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD:R△BDE≌Rt△CDF(HL).·∠B= DE-DF, ∠C.∴.AB=AC.∴.△ABC是等腰三角形. EA B D (第5题) 6.(1):△ABC是等边三角形，.∠BAC=∠ABC= 60°，AB=AC=BC.∴.∠EAF=∠DBE=120°.：BE= CD,.BE+AB=CD+BC,即AE=BD.在△AEF和 AF-BE, △BDE中， {∠EAF=∠DBE,∴.△AEF≌△BDE AE-BD, (SAS).∴.EF=DE.同理，可得△AEF≌△CFD, ∴.EF=FD..EF=DE=FD.∴.△DEF是等边三角 形.(2)(1)的逆命题是“若△DEF是等边三角形，则 BE=AF=CD”,该命题成立.理由：△ABC、△DEF都 是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=∠EDF=60°，BC= AC,ED=DF.又：'∠ABC=∠BED+∠BDE,∠ACB= ∠CDF+∠CFD,∠EDF=∠CDF+∠BDE, '.∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD.在△BED和 ∠BED=∠CDF, △CDF中，{ED=DF, ∴.△BED≌△CDF ∠BDE=∠CFD, (ASA)..BD=CF.∴.BD-BC=CF-AC,即CD= AF.同理，可得BE=CD,.BE=AF=CD 第2课时线段垂直平分线 1.B由作图得，DE垂直平分线段AC,∴.DA=DC, AC=AE+EC 12 cm..AB+BD +AD =26 cm, ∴.AB+BD+DC=26cm.∴.△ABC的周长=AB+ BD+DC+AC=26+12=38(cm). 2.D:AD⊥BC,且D为线段CE的中点，.DE= CD=3,AD垂直平分CE.又，EF垂直平分AB, .'AC=AE,AE=BE..BE=AC=8..'DE=CD=3, .CE=CD+DE=6.∴.BC=BE十CE=14. 3.40°P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴.PA= PB=PC.∴.∠PCA=∠PAC=20°，∠PBC=∠PCB= 30,∠PAB=∠PBA.·∠PAB=7X(180-2×20- 2X30°)=40°. 4.(1)如图，连结AC.:'E是BC的中点，AE⊥BC, ∴.AB=AC.F是CD的中点，AF⊥CD,∴.AD= AC.'.AB=AD.(2)∠EAF=∠BAE+∠DAF.由 (1)知AB=AC,又：'AE⊥BC,∴.∠AEB=∠AEC= 90°.又：BE=CE,AE=AE,∴.Rt△ABE≌Rt△ACE (HI).∴.∠BAE=∠CAE.同理可得，∠CAF=∠DAF. ∴.∠EAF=∠EAC+∠FAC=∠BAE+∠DAF. B E C (第4题) 5.D PA+PC=BC,BP+PC=BC,.'PA=BP. ∴P为AB的垂直平分线与BC的交点. 6.D:∠ABC=90°，∴.∠BMN+∠BNM=90°.：点 M、N分别在PA、PC的垂直平分线上，.MA=MP, NP=NC.∴.∠MPA=∠MAP,∠NPC=∠NCP. :∠BMN=∠MPA+∠MAP,∠BNM=∠NPC+ ∠CP,·∠MPA=∠MAP-号∠BMN,∠NPC= ∠CP-∠BNM.·∠MPA+∠NPC=X90 45°..∠APC=180°-45°=135°. 7.18如图，连结MA.EF垂直平分线段AC, ∴.MA=MC.∴.DM+MC=AM+MD.∴.当点A、D、M 共线时，AM+MD的值最小，即DM+MC的值最小. AD=13,.DM+MC的最小值就是线段AD的长. ∴.△CDM周长的最小值为DM+MC+CD=13+5=18. /ED (第7题) 8.(1)如图，点M即为所求作.(2)如图，过点M作 ME⊥AC,交AB于点E,则EM即为所求作.：∠C= 90°，∴.BC⊥AC.由此作ME⊥AC,∴.ME∥BC. (3)△ABC≌△MED.理由：MD⊥AB,∴.∠MDE= ∠C=90.ME∥BC,.∠B=∠MED.在△ABC和 |∠B=∠MED, △MED中，∠C=∠EDM,∴.△ABC≌△MED(AAS). AC-MD. AD B (第8题) 9.(1)l1是AB边的垂直平分线，.DA=DB. :L2是AC边的垂直平分线，∴.EA=EC.∴.BC=BD十 DE+EC=DA+DE+EA.:△ADE的周长为6cm,即 DA+DE+EA=6cm,∴.BC=6cm.(2):'l,是AB 边的垂直平分线，∴.OA=OB.,l2是AC边的垂直平分 线，∴.OA=OC..△OBC的周长为14cm,即OB+OC+ BC=14 cm,BC=6 cm,.OA=OB=OC=4 cm. (3):∠BAC=100°，∴.∠ABC+∠ACB=80°.DA= DB,EA=EC,.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB. ∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=∠BAC- (∠ABC+∠ACB)=20° 第3课时角平分线 1.A如图，过点G作GH⊥AB于点H.:∠C=90°， .GC⊥AC.由作图可知，AG平分∠BAC.:GH⊥AB, GCLAC,∴.GH=GC=1. B (第1题) 2.7:5如图，过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足 分别为E、F.AD平分∠BAC,∴.DE=DF..AB=7, Ac=5.2 SoMm Sm (x7.DE) (号×5Dp)=7:5. (第2题) 3.34如图，过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点 F,连结OA.O为△ABC的两条角平分线的交点， ∴.BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.又OE⊥AC,OF⊥ AB,ODL BC,OD=4,.OE=OD=4,OF=OD=4. :.Sawx=Saw+Sax+Se=号AB·OF+ 2BC·0D+号AC·OE=3X1(AB+BC+AC). .△ABC的周长是17，，.AB+BC+AC=17. 1 .SAAx=2X4X17=34. B (第3题) 4.(1):∠ACB=∠DCE=90°，∴.∠ACB-∠ECA= ∠DCE-∠ECA.∴.∠CE=∠ACD.'BC=AC,EC=DC, ∴.△BCE≌△ACD(SAS)..∴.∠CEB=∠CDA=90°，即CEL BF,CD⊥AD..点C在∠BFD的平分线上，即FC平分 ∠BFD.(2)成立.理由：如图，过点C作直线AD、BE的垂 线，垂足分别为M、N.同(1)可证△BCE2△ACD,'.∠B= ∠A.'∠CNB=∠AMC=90°，BC=AC,∴.△BCN≌ △ACM(AAS).∴.CM=CN.CMLAD,CN⊥BE,∴.点C 在∠BFD的平分线上，即FC平分∠BFD. A B (第4题) 5.B如图，过点O作OM⊥AB于点M,延长MO交CD 于点N.ABCD,∴.MN⊥CD.AO是∠BAC的平 分线，OM⊥AB,OE⊥AC,∴.OM=OE=2..CO是 ∠ACD的平分线，ON⊥CD,OE⊥AC,.ON=OE= 2...MN=OM+ON=4,即AB与CD之间的距离是4. 0 E CN D (第5题) 6.10如图，过点P作PH⊥MN于点H,PC⊥OA于点 C,PD⊥OB于点D,连结PO.MP平分∠AMN,NP 平分∠MNB,∴.PC=PH,PD=PH.∴.PC=PD. :△PMN的面积=号MN·PH=6,MN=4,.PH= 3.∴.PC=PD=3.△PMN的面积是6，△OMN的面 积是9，∴.S△OM+S△PON=S△PMN+S△O=6+9= 15.2OM·PC+2ON·PD=15.(OM+ON)×