12.4.3 角平分线同步练习-2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.4.3角平分线 一．选择题（共8小题） 1．（2025•深圳开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，则点D到边AB的距离为（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2024秋•凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，△ABD的面积为30，则AB的值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．15 3．（2025春•章丘区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 4．（2024秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F，下面说法：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠CAD＝2∠CBE；④S△BCEBC•AE．其中正确的说法有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2024秋•思明区校级期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 7．（2025春•古蔺县校级期末）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 8．（2024秋•谷城县期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝4，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•蒸湘区校级期末）如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝8，BD＝5，AB＝10，则△ABD的面积为 　 　 ． 10．（2025春•沈阳月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若AB＝8，△ABD的面积是12，则CD的长为 　 　 ． 11．（2025•乌鲁木齐一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　 　 ． 12．（2025春•菏泽期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　 　 ． ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠ABD＝∠DAC；③∠AFG＝∠AGF． 13．（2024秋•忻州期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•南岗区校级开学）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC． 15．（2025•广平县校级开学）如图，已知在△ABC中，AD是高，CE是角平分线，F是边AC中点，∠ECB＝25°，∠BAD＝35°． （1）求∠AEC和∠BAC的度数； （2）①若△ABC的面积为10，则△BCF的面积为　 　 ； ②若△BCF比△BAF的周长大3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 12.4.3角平分线 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•深圳开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，则点D到边AB的距离为（　　） A．3 B．2 C． D． 【考点】角平分线的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】由平行线的性质和等边对等角得到∠DBC＝∠ABD，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等）， ∵AB＝AD＝3， ∴∠ADB＝∠ABD（等边对等角）， ∴∠DBC＝∠ABD（等量代换）， ∵∠C＝90°，CD＝2， ∴点D到边AB的距离＝CD＝2． 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2024秋•凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，△ABD的面积为30，则AB的值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．15 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理得到DE＝CD＝5，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝5， ∵△ABD的面积为30， ∴， 即AB＝30， 解得AB＝12，则AB的值为12， 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 3．（2025春•章丘区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADCAB•DEAC•DF4×2AC×2＝7， 解得AC＝3． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 4．（2024秋•大冶市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F，下面说法：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠CAD＝2∠CBE；④S△BCEBC•AE．其中正确的说法有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和直角三角形的性质即可判断． 【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高， ∴∠ABC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠ABD+∠BAD＝90° ∴∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠BAD， ∴∠CAD＝2∠CBE． 故①③符合题意． ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高， ∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠AEB＝∠AFE， ∴AE＝AF． 故②符合题意． 如图，过点E作EP⊥BC于P， ∵∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线， ∴AE＝EP， S△BCEBC•EPBC•AE， 故④符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 5．（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4即可． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， 由条件可知：PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4， 即点P到BC的距离是4． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 6．（2024秋•思明区校级期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 【考点】角平分线的性质． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答． 【解答】解：如图： ∵AD平分∠BAC，点H在AD上， ∴点H到AB、AC的距离相等， ∵BE是AC边上的中线， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积， ∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积， ∴△ABH的面积＝△CBH的面积， ∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点， 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键． 7．（2025春•古蔺县校级期末）如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】先根据角平分线的判定定理得到OC平分∠AOB，再利用三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由题意得：∠OEC＝∠OFC＝90°，CE＝CF， ∴OC平分∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOC＝25°， ∴∠OCF＝90°﹣∠BOC＝65°， 故选：B． 【点评】本题考查角平分线性质定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 8．（2024秋•谷城县期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝4，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】角平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】过点P作PE⊥OB于E，证明PD∥OA，得到∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE，根据角平分线的性质求出CP． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵OP是∠AOB的平分线， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵OD＝DP， ∴∠OPD＝∠BOP， ∴∠AOP＝∠OPD， ∴PD∥OA， ∴∠PDE＝∠AOB＝30°， ∴PEPD＝2， ∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴CP＝PE＝2， 故选：B． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•蒸湘区校级期末）如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝8，BD＝5，AB＝10，则△ABD的面积为 　15　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】15． 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，根据角平分线的性质得出CD＝DE＝BC﹣BD＝3，即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，如图所示， ∵∠BAD＝∠CAD，∠C＝90°， ∴CD＝DE ∵BC＝8，BD＝5， ∴DE＝CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 10．（2025春•沈阳月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若AB＝8，△ABD的面积是12，则CD的长为 　3　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】3． 【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出CD＝DH，由三角形的面积公式求出DH＝3，即可得到CD的长． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥AC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴CD＝DH， ∵△ABD的面积AB•DH8×DH＝12， ∴DH＝3， ∴CD＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出CD＝DH． 11．（2025•乌鲁木齐一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　1　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝1， ∵AC＝2， ∴S△ACDAC•DF 2×1 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．（2025春•菏泽期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　①②③　 ． ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠ABD＝∠DAC；③∠AFG＝∠AGF． 【考点】角平分线的性质． 【专题】推理能力． 【答案】①②③． 【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可． 【解答】解：∵BE是中线， ∴△ABE的面积等于△BCE的面积（等底同高的两个三角形的面积相等）； 故①正确； ∵∠BAC＝90°，AD是高， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠DAC+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠DAC， 故②正确； ∵∠BAC＝90°，AD是高， ∴∠AFG+∠ACF＝90°，∠DGC+∠DCF＝90°， ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠DCF， ∴∠AFG＝∠DGC， ∵∠DGC＝∠AGF， ∴∠AFG＝∠AGF， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 13．（2024秋•忻州期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　4：3　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的面积公式和角平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴， 则AB：AC＝4：3， 故答案为：4：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•南岗区校级开学）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴设，∠， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β， ∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β， ∴； （2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H， ∵BE平分∠ABC， ∴OF＝OG， ∵CD平分∠ACB， ∴OG＝OH， ∴OF＝OH（等量代换）． ∴OA平分∠BAC． 【分析】（1）根据角平分线和三角形内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2α﹣2β，∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β，即可得到结论； （2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，根据角平分线的性质得到OF＝OG，OG＝OH，则OF＝OH．根据角平分线的判定即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴设，∠， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β， ∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β， ∴； （2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H， ∵BE平分∠ABC， ∴OF＝OG， ∵CD平分∠ACB， ∴OG＝OH， ∴OF＝OH（等量代换）． ∴OA平分∠BAC． 【点评】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是关键． 15．（2025•广平县校级开学）如图，已知在△ABC中，AD是高，CE是角平分线，F是边AC中点，∠ECB＝25°，∠BAD＝35°． （1）求∠AEC和∠BAC的度数； （2）①若△ABC的面积为10，则△BCF的面积为　10　 ； ②若△BCF比△BAF的周长大3，AB＝7，能否求出BC的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）∠AEC＝80°；∠BAC＝75°； （2）①5； ②能；BC＝10； ∵AF＝FC，△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10， 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据外角性质求出结果即可；根据角平分线的定义求出∠ACB＝2∠ECB＝50°，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）①根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，再根据△ABC的面积为10求出结果即可； ②根据三角形周长公式进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，CE是角平分线，F是边AC中点，∠ECB＝25°， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝35°， ∴∠ABD＝90°﹣35°＝55°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝55°+25°＝80°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ECB＝25°， ∴∠ACB＝2∠ECB＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠ACB＝75°． （2）①∵AF＝FC， ∵△ABC的面积为10， ∴； ②能，BC＝10，理由如下： ∵AF＝FC，△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10， 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $