12.2 第3课时 角边角-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

小值，最小值为CM=8. D E MG (第6题) 7.测出ME的长度就是凉亭M与F之间的距离.理由：如 图，连结ME、MF.ABCD,∴.∠B=∠C.M是BC 的中点，∴.BM=CM在△BME和△CMF中， (BE=CF, :{∠B=∠C,∴.△BME≌△CMF(SAS).∴.ME= BM-CM, MF.∴.测出ME的长度就是凉亭M与F之间的距离. AE B D (第7题) 8.BF=AC,且BF⊥AC.理由：如图，延长BF交AC于点 E.AD⊥BC,∴.∠BDF=∠ADC=90°.BC=AF+ 2DF=AF+DF+DF=AD+DF,BC=BD+DC, ∴.AD十DF=BD十DC.DF=DC,.AD=BD.在 AD-BD, △ADC和△BDF中，∠ADC=∠BDF,..△ADC≌ DC=DF, △BDF(SAS).∴.∠BFD=∠C,BF=AC.,'∠BDF= 90°，∴.∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90°. .∠BEC=90°..BF⊥AC D (第8题) 方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常见的题型，解决这类问 题的一般方法是证明这两条直线的夹角为90°，即说明 组成这个夹角的两个角的和是90°或这个夹角所在的三 角形的另外两个角的和是90°即可. 9.B如图，连结DG.:BE=2DE,BE=号BD. BF-FG-GA.AB.AB-AC,BD- AC,∴.AB=BD..BE=BG.在△ABE和△DBG中， (BE=BG, ∠B=∠B,..△ABE≌△DBG(SAS)..AE=DG. AB=DB, :'D为动点，当点D不在CG上时，由三角形的三边关系 知DG+CD>CG;当点D在CG上时，DG+CD=CG, .DG+CD≥CG..AE+CDCG..能表示AE+CD 的最小值的线段是CG 0 B F (第9题) 10.如图，延长AM至点N,使NM=AM,连结BN.'M 为BC的中点，∴.CM=BM.在△AMC和△NMB中， AM-NM, ∠AMC=∠NMB,∴.△AMC≌△NMB(SAS). CM-BM. ∴.AC=NB,∠C=∠NBM.又：AD=AC,∴.AD= NB..AB⊥AE,AD⊥AC,.∠EAB=∠DAC=90°. ∴.∠EAD+∠BAC=180°.∴.∠ABN=∠ABC+ ∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在 AE-BA, △EAD和△ABN中，∠EAD=∠ABN,∴.△EAD≌ AD=BN, △ABN(SAS).∴.DE=NA=2AM=6. E、 M N (第10题) 方法归纳 运用“倍长中线”解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中线段或角的位置相对 比较分散，而三角形又给出了中线，那么可以将这条中 线延长一倍，构造全等三角形，使得分散的条件在图形 中能够相对集中，再运用其中的线段、角之间隐含的数 量关系解决问题 第3课时角边角 1.D:'∠BAD=∠CAE,∴.∠BAD-∠CAD= ∠CAE-∠CAD,即∠BAC=∠DAE.故选项B、C错 ∠BAC=∠DAE 误.在△ABC和△ADE中，3AB=AD, .△ABC≌ ∠B=∠D, △ADE(ASA).∴·AC=AE,BC=DE.故选项A错误，选 项D正确， 2.4如图，过点G作GM⊥CF,交CF于点M.在△ABC ∠A=∠D, 和△DEF中，AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF ∠ACB=∠DFE, (ASA).∴.S△A=S△Dr=25cm2..S△rG=SAA S▣范形A=25-21=4(cm2),.”S△P0G=2CF,GM, CF=2cm,∴.GM=4cm,即点G到CF的距离为4cm. AD 63 FMC (第2题) 3 思路导引 AD∥BC E为AC的中点 ∠DAE=∠FCE AE-CE ∠ADE-∠CFE “AAS” △ADE≌△CFE AD-CF DE=FE BF:CF=2:3 求BF求BC (1):AD∥BC,∴.∠DAE=∠FCE,∠ADE= ∠CFE.又，E为AC的中点，∴.AE=CE.在△ADE和 ∠EAD=∠ECF, △CFE中， ∠ADE=∠CFE,∴.△ADE≌△CFE AE-CE. (AAS).∴.DE=EF.(2):△ADE≌△CFE,∴.AD= CF=12..BF:CF=2:3,.BF=8...BC=BF+ CF=8+12=20. 4.C如图，延长AP交BC于点D.BP平分∠ABC, .∠ABP=∠DBP.AP⊥BP,.∠APB=∠DPB= ∠ABP=∠DBP, 9O°.在△ABP和△DBP中，BP=BP, ∠APB=∠DPB, .△ABP≌△DBP(ASA).∴.AP=DP.∴.S△AP= SADP.△APC和△DPC等底等高，∴.S△AC= 1 SamC.·SAP=SADBP+SAnPc=2SaAe.·SAAx= 8amS=×8=4(m (第4题) 6 5.5 如图，在DC上截取CG=CF,连结AG. :∠ACB=90°，∴.∠DCF=∠ACG=90°.在△ACG和 (AC=DC, △DCF中， ∠ACG=∠DCF,.△ACG≌△DCF CG=CF. (SAS).∴.∠AGC=∠CFD.设AC=5.x,则CG=CF= 3x,DC=5x..AF=AC+CF=5x+3x=8x,GD= DC-CG=5.x-3x=2x.AB⊥AE,..∠EAB= ∠EAF+∠CAB=90°.∠ACB=90°，∴.∠CAB+ ∠B=90°.∴.∠EAF=∠B.∴.∠E=∠CFD-∠EAF= ∠AGC-∠B=∠GAB.在△GAB和△FEA中， I∠B=∠EAF, AB=AE,∴.△GAB≌△FEA(ASA)..AF=BG= ∠GAB=∠E, 8BD=G-6D=8x-2a=6小600-号 A B (第5题) 6.(I):EFBC,∴.∠CBD=∠E,∠BCD=∠EFD.又 BD=DE,∴.△BCD≌△EFD(AAS.∴.CD=DF. (2)EF∥BC,∠E=20°，∴.∠CBD=∠E=20°. ∴.∠ABC=∠GBE+∠CBD=20°+20°=40°.：在 △ABC中，∠ACB=75°，·.∠A=180°-∠ACB- ∠ABC=180°-75°-40°=65°. 7.AM=2AN.理由：如图，连结PA.:'PN∥AC,EF∥ BC,∴.∠CAP=∠NPA,∠CPA=∠NAP.在△APC和 ∠CPA=∠NAP, △PAN中，3PA=AP, .∴.△APC≌△PAN ∠CAP=∠NPA, (ASA).∴PC=AN.同理，可得△APB≌△PAM, .'BP=MA..BP=2PC,.'.AM=2AN. FNA ME B P C (第7题) 9 方法归纳 证明角或线段相等的方法 (1)观察要证明的线段或角（或通过等量代换得到的线 段或角)在哪两个可能全等的三角形中，当待证角或线 段不在这两个全等三角形中时，常常添加辅助线构造全 等三角形 (2)分析需要证明全等的两个三角形，确定已知条件（包 含图形中的隐含条件)是什么，还缺什么条件 (3)设法证明所缺条件」 (4)写出证明过程. 8.(1)AB=AF+BD.BE⊥CD,.∠BEC= ∠FEC=90°.∴.∠F+∠FCE=90°.：∠BAC=90°， ∴.∠FAB=90°..∠F+∠FBA=90°.∴.∠FBA= ∠FAB=∠DAC=90°， ∠FCE.在△AFB和△ADC中，3AB=AC, ∠FBA=∠DCA, ∴.△AFB≌△ADC(ASA)..AF=AD..∴.AB=AD+ BD=AF十BD.(2)(1)中的结论不成立.如图①，当点 D在AB的延长线上时，同(1)，可得AD=AF,∴.AB= AD-BD=AF一BD.如图②，当点D在AB的反向延长 线上时，同(1)，可得AF=AD,.AB=BD-AD= BD-AF. DE ① ② (第8题) 易错警示 没有画出符合题意的图形 解决这类探究题时，要了解条件中“动点”的真正含 义，需要画出符合题意的图形，不要受问题原有图形的 影响直接加以解答，否则结果往往是错误的.因此，解题 时我们要认真审题，在原有思路的基础上让图形中的动 点真正动起来，寻求正确的结论 第4课时边边边 (AB-AD, 1.C如图.在△ABC和△ADC中，AC=AC, BC=DC, ∴.△ABC≌△ADC(SSS).∴.∠B=∠D=30°，∠BAC= ∠DAC=2∠BAD=2X46=23.·∠ACD=180°- ∠D-∠DAC=180°-30°-23°=127°. D (第1题) (AB=BD, 2.C如图.在△ABC和△BDE中，3AC=BE, BC=DE, ∴.△ABC≌△BDE(SSS)..∠ABC=∠BDE=55. .∠BFD=180°-∠ABC-∠BDE=180°-55°- 55°=70°. D C (第2题) 3.62°如图，连结DE、EF.通过尺规作图可知，OD= OD=OF, OF,DE=EF.在△DOE和△FOE中，3OE=OE, DE=FE, .∴.△DOE2△FOE(SSS).∴.∠AOD=∠AOB=31 ∴.∠BOD=∠AOB+∠AOD=62°. D B (第3题) AB=CD, 4.在△ABC和△CDA中，BC=DA,∴.△ABC≌ AC=CA, △CDA(SSS)..∴.∠CAD=∠ACB.在△AOE和△COF ∠OAE=∠OCF, 中，3∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF(AAS). AE=CF, .∴.OA=OC. 5.B如图，以BC为公共边可以画出△BDC、△BEC、第12章全等三角形 第3课时角边角 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.如图，∠BAD=∠CAE,AB=AD,∠B=∠D,则下列结论正确的是 () A.AC=DE B.∠ABC=∠DAEC.∠BAC=∠ADED.BC=DE C (第1题) (第2题) 2.如图，AC=DF且交于点G,∠A=∠D,∠ACB=∠DFE,其中△DEF的面积为25cm,四边 形ABFG的面积为21cm.若CF=2cm,则，点G到CF的距离为 cm. 3.如图，在四边形ABCD中，ADBC,E为AC的中点，连结DE并延长，交BC于点F. (1)求证：DE=EF. (2)若AD=12,BF:CF=2:3,求BC的长. (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.如图，△ABC的面积为8cm,AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,则△PBC的面积是() A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 (第4题) (第5题) 5.方程思想如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=DC,AB⊥AE,且AE=AB,连结DE交AC的 延长线+点若S则即 45 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 6.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，连结BD并延长到点E,过点E作EF∥BC交AC于点 F,交AB于点G (1)若BD=DE,求证：CD=DF. (2)若∠GBE=∠E,∠ACB=75°，∠E=20°，求∠A的度数. (第6题) 7.*如图，P是△ABC的边BC上的一个动点，过点A作EF∥BC,过点P分别作 PM∥AB,PN∥AC,PM、PN分别交EF于M、N两点.当BP=2PC时，线段AM 与AN之间有什么数量关系？请说明理由. F N (第7题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.易错题如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是直线AB上的一个动点（不与点A、B重 合)，BE⊥CD,交直线CD于点E,交直线AC于点F (1)若点D在边AB上，试探究线段BD、AB和AF之间的数量关系，并证明你的结论， (2)若点D在AB的延长线或反向延长线上，(1)中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正 确的结论. (第8题) 46 >“答案与解析”见PI8