12.4.2 线段垂直平分线同步练习-2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.4.2线段垂直平分线 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•高唐县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E是AC的中点，过点E作AC的垂线交BC于F，BD＝DF，连接AF，则有（　　） A．AB＝BF B．AF＝BF C．BF＝CF D．AB＝CF 2．（2024秋•汾阳市期末）如图，已知△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，AB的垂直平分线与AB、BC分别交于点E、D，AC的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则△ADF的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm 3．（2024秋•凉州区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AB＝9，AC＝10，BC＝8，则△BCD的周长是（　　） A．13.5 B．17 C．18 D．19 4．（2024秋•抚顺县期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　） A．小明说得对 B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B” C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB” D．两人说得都不对 5．（2024秋•沂南县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，下列结论：①∠FDE＝90°；②DF∥AC；③∠B＝∠CAE；④∠EAD＝∠EDA，其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6．（2024秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 7．（2025春•乐平市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 8．（2024秋•涡阳县期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•青山湖区校级期末）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD的周长为 　 　 ． 10．（2025春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，N．若BC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 11．（2024秋•娄底校级期末）如图，DE垂直平分AC，交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长是　 　 cm． 12．（2024秋•黑龙江期末）在△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为 　 　 ． 13．（2025春•盐田区期中）在△ABC中，∠ABC的角平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F，连接CF，若∠A＝70°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数是 　 　 °． 三．解答题（共2小题） 14．（2025春•宝山区校级期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝9cm，求DC长． 15．（2025春•奉贤区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 12.4.2线段垂直平分线 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•高唐县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E是AC的中点，过点E作AC的垂线交BC于F，BD＝DF，连接AF，则有（　　） A．AB＝BF B．AF＝BF C．BF＝CF D．AB＝CF 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意可得FE是AC的垂直平分线，AD是BF的垂直平分线，即可求解． 【解答】解：∵过点E作AC的垂线交BC于F，点E是AC的中点， ∴FE是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝DF， ∴AD是BF的垂直平分线， ∴FA＝BA， ∴FA＝BA＝FC， ∴选项A、选项B、选项C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点距离相等是解题的关键． 2．（2024秋•汾阳市期末）如图，已知△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，AB的垂直平分线与AB、BC分别交于点E、D，AC的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则△ADF的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】A 【分析】由垂直平分线的性质可知AD＝BD，AF＝CF，再根据△ADF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC，结合题意即可求解． 【解答】解：∵△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm， ∴BC＝16cm， ∵DE，FG分别垂直平分AB，AC， ∴AD＝BD，AF＝CF， ∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝16cm， 故选：A． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键． 3．（2024秋•凉州区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AB＝9，AC＝10，BC＝8，则△BCD的周长是（　　） A．13.5 B．17 C．18 D．19 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝BD，推出CD+BD＝10，即可求出答案． 【解答】解：∵DE是BA的垂直平分线， ∴AD＝DB， ∵AC＝10， ∴AD+CD＝10， ∴CD+BD＝10， ∵BC＝8， ∴△BCD的周长是CD+BD+BC＝10+8＝18， 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，正确记忆线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题关键． 4．（2024秋•抚顺县期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　） A．小明说得对 B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B” C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB” D．两人说得都不对 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】根据选项结合已知得出△PAO≌△PBO，从而得到AO＝BO，即可求出最终结果； 【解答】解：可添条件为PO⊥AB才能说：直线l是AB的垂直平分线， 证明如下： 在Rt△PAO和Rt△PBO中， PA＝PB，PO＝PO， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）， ∴AO＝BO， ∴直线l是AB的垂直平分线， 故选：C． 【点评】本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 5．（2024秋•沂南县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，下列结论：①∠FDE＝90°；②DF∥AC；③∠B＝∠CAE；④∠EAD＝∠EDA，其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的判定与性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝ED，FA＝FD，根据等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠EDA，判断④；根据角平分线的性质、平行线的判定定理判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据题意判断①． 【解答】解：∵EF是AD的垂直平分线， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴∠EAD＝∠EDA，④结论正确； ∵FA＝FD， ∴∠FDA＝∠FAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∴∠FDA＝∠CAD， ∴DF∥AC，②结论正确； ∵∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE， ∴∠B＝∠CAE，③结论正确； ∵FD与BE不一定互相垂直， ∴∠FDE＝90°不成立，①结论不正确； 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 6．（2024秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线的性质得DB＝DA，EA＝EC，则∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到结论． 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝160°， ∴∠BAD+∠CAE＝80°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°． 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用． 7．（2025春•乐平市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．104° B．106° C．117° D．136° 【考点】线段垂直平分线的性质． 【答案】C 【分析】由∠ABC＝54°，可得∠BMN+∠BNM＝126°，根据线段垂直平分线的性质可得：MA＝MP，NP＝NC，推出∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，再结合三角形的外角性质可得∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM＝63°，最后根据∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC），即可求解． 【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°， ∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上， ∴MA＝MP，NP＝NC， ∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC， ∴∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM126°＝63°， ∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°． 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 8．（2024秋•涡阳县期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案． 【解答】解：作射线AM， 由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC， ∴AM平分∠BAC， 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•青山湖区校级期末）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD的周长为 　21　 ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是BC边的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC， ∵AB＝8，AC＝13， ∴△ABD的周长＝8+13＝21， 故答案为：21． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 10．（2025春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，N．若BC＝10，则△ADE的周长为　10　 ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得DA＝DB，EA＝EC，通过等量代换即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，MD垂直平分AB，NE垂直平分AC，垂足分别是M，N， ∴根据线段的垂直平分线的性质，DA＝DB，EA＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝BD+CE+DE＝BC＝10， 所以△ADE的周长为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的应用． 11．（2024秋•娄底校级期末）如图，DE垂直平分AC，交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长是　24　 cm． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】24． 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知AD＝DC，进而得出AB+BC＝16cm，进一步可得出答案． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴DC＝AD， ∵△ABD的周长为16cm， ∴AB+BC＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝16cm， ∵AC＝8cm， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝24（cm）． 故答案为：24． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 12．（2024秋•黑龙江期末）在△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为 　40°　 ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】40°． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算即可． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝110°﹣70°＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 13．（2025春•盐田区期中）在△ABC中，∠ABC的角平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F，连接CF，若∠A＝70°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数是 　35　 °． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】35． 【分析】根据角平分线得到∠FBC＝∠ABD＝25°，∠ABC＝2∠ABD＝50°根据垂直平分线得到CF＝BF，从而得到∠FCB＝∠FBC＝25°，结合∠A＝70°得到∠ACB，即可得到答案； 【解答】解：由题意可得：∠FBC＝∠ABD＝25°，∠ABC＝2∠ABD＝50°， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴CF＝BF， ∴∠FCB＝∠FBC＝25°， ∵∠A＝70°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠FCB＝180°﹣70°﹣50°＝60°， ∴∠ACF＝60°﹣25°＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，正确进行计算是解题就关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2025春•宝山区校级期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝9cm，求DC长． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）DC＝5.5cm． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝20，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为20cm， ∴AB+BC+AC＝20cm， ∵AC＝9cm， ∴AB+BC＝11cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴ ＝5.5cm． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．（2025春•奉贤区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）13cm． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝42cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为42cm， ∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $