12.2 第1课时 全等三角形的判定条件&第2课时 边角边-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 12.2三角形全等的判定 第1课时全等三角形的判定条件 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.★分类讨论思想如图，若△ABC与△DEF全等，则x= D 5cm B55 5cm (第1题) 2.如图，△AOB绕点A按顺时针方向旋转后得到△ADC,连结BC.若∠O=90°，∠ABC ∠ACB,BCOA,∠OAD=80°，写出图中的全等三角形，并求出∠ABO的度数 (第2题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.如图，△ABC≌△ADE,∠BAC=105°，连结BD,若∠EAC=90°，AB=2,则涂色部分的面积为 () A.2 B.3 C.4 D.5 B人0 R (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，将△ABC沿AB方向平移后得到△DEF,DF交BC于点O.若∠A=80°，∠E=60°，则 ∠C的度数为 5.分类讨论思想如图，AB=10,∠A=∠B=70°，AC=BD=6.点P在线段AB上以每秒1个单位长度的 速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒.若运 动过程中存在△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为每秒 个单位长度 6.如图，△ABC≌△DEB,点E在AB上，DE与AC相交于点F. (1)当DE=8,BC=5时，线段AE的长为 (2)若∠D=35°，∠C=60°，求： ①∠DBC的度数. ②∠AFD的度数. (第6题) 42 “答案与解析”见PI6 第12章全等三角形 第2课时边角边 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.如图，下列全等的两个三角形是 () A.①② B.②③ C.③④ D.①④ H A 3 2 D、C D →E 30 50>M 30 130 A2.5cm B A2.5cm B A2.5cm B A2.5cmB E ⊙ 0 ② ③ ④ A2.5cmB (第1题) (第2题) 2.小明在学完本课时后，自已进行小结.如图，他的画图过程说明 ( A.两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 3.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,B、D、E三点在一条直线上.若 D ∠3=55°，∠2=30°，则∠1的度数为 (第3题) 4,如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，过点A作AD⊥BC,垂足为D,延长DA至点E,使 AE=AC,在边AC上截取AF=AB,连结EF.求证：EF=CB. D (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图①所示为小明设计的一款凳子，其侧面示意图如图②所示，点B、D、C、E在同一条直线上， 且BD=EC,AC=FD,ACFD.若∠A=30°，∠ACE=75°，则∠E的度数为 () A.30° B.459 C.55 D.65 ① (第5题) (第6题) 6.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6,△ABC的面积为24，BD平分∠ABC,若E、F分别是 BD、BC上的动点，则CE十EF的最小值为 () A.8 B.6 C.4 D.2 43 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 7.境生活卖际在某地新修建的花园小区中，有如图所示的“Z”字形绿色长廊ABCD,其中 ABCD,在AB、BC、CD三条绿色长廊上各修建一座凉亭E、M、F,且BE=CF,M是BC的中 点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，但要想知道凉亭M与F之间的距离，应怎么 办呢？写出你的方法，并说明理由. (第7题) 8.★考阿探究题如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,F为AD上一点，且满足BC=AF十 2DF,DF=DC.试探究BF和AC的关系，并说明理由. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 9.如图，AB=AC,∠BAC=90°，D为平面内一动点，BD=AC,E为BD上 D 一点，BE=2DE,AB上有两点F、G,且BF=FG=GA.下列能表示AE十 CD的最小值的线段是 A.CA B.CG (第9题) C.CF D.CB 10.*如图，在△ABC和△AED中，AB=AE,AB⊥AE于点A,AD=AC,AD⊥AC于点A,M为 BC的中点.若AM=3,求DE的长 R M (第10题) 44 >“答案与解析”见P17数是3，减数是一1，它们的差为4，此时差大于被减数 (3)如果两条射线不相交，那么这两条射线一定平行.条件 是两条射线不相交，结论是这两条射线一定平行.该命题 是假命题.反例不唯一，如射线AB与射线CD不相交，但 是射线AB与射线CD不平行（如图）】 D C A B (第4题) 5.BA.若取a=5,b=一3，则a+b=2>0但b<0,故该 命题是假命题，不符合题意；B若α=b,则两边平方得 α2=b2,故该命题是真命题，符合题意：C.只有当两条直线 平行时，这两条直线被第三条直线所截的内错角才相等， 故该命题是假命题，不符合题意；D.不相交的两条直线可 能不在同一平面（如异面直线），不一定是平行线，故该命 题是假命题，不符合题意， 6.C:CM平分∠ACB,.∠ACB=2∠BCM. ∠A=2∠BCM,∴.∠A=∠ACB..AE∥BC,故①是 真命题.DM平分∠BDE,∴.∠BDE=2∠BDM. :∠M=2∠BDM,.∠M=∠BDE.由∠M=∠BDE 无法证明AE∥MC,故②是假命题.·∠A=∠B, ∠AOD=∠BOC,∴.∠ADB=∠ACB..·∠BDE十 ∠ADB=180°，.∠BDE+∠ACB=180°.CM平分 ∠ACB,DM平分∠BDE,∴.∠EDM+∠BCM= 号∠BDE+2∠ACB=号X180°=90，故③是直命题如 图，延长CM交BD于点E.∠ADO=∠BCO,∠BDE+ ∠ADO=180°，∴.∠BDE+∠BCO=180°.：CM平分 ∠ACB,DM平分∠BDE,.∠BDM+∠BCM= 号∠BDE+号∠B00=X180=90.:∠CMD ∠CFD+∠BDM,∠CFD=∠B+∠BCM,∴.∠CMD ∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°.∴.∠CMD-∠B= 90°，故④是真命题.∴.真命题的个数是3. A D E 0 MC B (第6题) 7.x=-多：-(x+1)+5+》+业 2 2 2-(x2+2x+1)+52+5x+1山= 2 x2+x-2x2-4x-2+5x2+15.x+11_42+12x+9 2 2x寸3》≥0当2x+3=0,即x=-号时，题中的代数 2 式的值不是正数“x=一是符合命题的条件，不符合命 题的结论“x=一子是唯-一个反例 8.已知：如图，EM∥FN,直线AC分别交EM、FN于点 A、C,AB、CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线.求证： ABCD.证明：'EM∥FN(已知)，∴.∠EAC=∠FCG (两直线平行，同位角相等).：'AB平分∠EAC,CD平分 ∠PCG(E知)，·∠EAB=∠BMC=是∠EAC ∠RCD=∠DOG=号∠FCG(角平分线的定义)， .∠BAC=∠DCG(等式的性质).∴.ABD(同位角相 等，两直线平行). G (第8题) 方法归纳 命题证明的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论，若命题与图形有关，则根据 题意，画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号. (2)根据条件和结论，结合图形，写出已知、求证 (3)观察图形，分析证明思路，找出证明方法， (4)写出证明的过程，并注明依据」 9.答案不唯一，如选①②作为条件，③作为结论.：'AB⊥ BC,CD⊥BC,∴.∠ABC=∠DCB=90°.BE∥CF, ∴.∠EBC=∠FCB.∴.∠ABC-∠EBC=∠DCB- ∠FCB.∴.∠1=∠2. 10.(1)DEBF.:∠3=∠4（已知），∴.BDCE(内错角 相等，两直线平行).∴.∠5=∠FAB(两直线平行，内错角 相等)..∠5=∠C(已知)，∴.∠C=∠FAB(等量代 换)..AB∥CD(同位角相等，两直线平行).∴.∠2= ∠BGD(两直线平行，内错角相等).，'∠1=∠2（已知）， ∴.∠1=∠BGD(等量代换).∴.DE∥BF(内错角相等，两 直线平行).(2)：AB∥CD(已证)，.∠P=∠PDH (两直线平行，内错角相等).DP平分∠BDH(已知)， ∴.∠BDP=∠PDH(角平分线的定义)..∠BDP=∠P (等量代换).：'∠5=∠P+∠BDP(三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和)，∴.∠5=2∠P(等量代 换).∠5=∠C(已知)，∴.∠C=2∠P(等量代换). 12.2三角形全等的判定 第1课时全等三角形的判定条件 1.55或60°.∠B=55°，∠C=65°，..∠A=180°- ∠B-∠C=60°.当△ABC≌△EFD时，∠E=∠A=60°， 即x=60°；当△ABC≌△FED时，∠E=∠B=55°，即 x=55°. 方法归纳 全等三角形中求角的 度数的基本思路 当求全等三角形中有关角的度数时，利用全等三角 形先确定两个三角形中角的对应关系，由这种关系实现 已知角和未知角之间的转换，然后求出待求角的度数 2.△AOB≌△ADC..·△AOB≌△ADC,.∴.∠OAB= ∠DAC.∴.∠OAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD,即 ∠OAD=∠BAC.:∠OAD=80°，∴.∠BAC=80°.在 △ABC中，∠ABC=∠ACB,∠BAC=80°， ·.∠ABC=∠ACB=2×(180-80)=50.:BC/ OA,∴.∠OAB=∠ABC=50°.在△AOB中，：'∠O= 90°，∠0AB=50°，∴.∠AB0=90°-50°=40°. 3.A:△ABC≌△ADE,∴.∠BAC=∠DAE,AD= AB=2.∠BMD=∠EAC=90:.Sm=2AB· AD=号X2X2=2.:SAm=SAe涂色部分的面 积=S△Am=2. 4.40°由题意，知△ABC2△DEF,.∠ABC=∠E= 60°..∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-60°=40° 51或g 设点Q的运动速度为每秒x个单位长度.由题 意，得AP=t,BP=10-t,BQ=xt.①当△ACP≌△BPQ 时，AP=BQ,即t=xt,解得x=1;②当△APC≌△BPQ 时，AP=BP,即t=10-t,解得t=5.AC=BQ,即6= ,解得x-综上所述，x的值是1或，即点Q的运 动速度为每秒1或个单位长度。 6.(1)3.△ABC≌△DEB,∴.AB=DE=8,BE= BC=5.,.AE=AB-BE=8-5=3.(2)①.△ABC2 △DEB,.∴.∠A=∠D=35°，∠C=∠DBE=60° :∠A+∠ABC+∠C=180°，∴.∠ABC=180°-∠A ∠C=85..∠DBC=∠ABC-∠DBE=85-60°= 25°.②∠AEF是△DEB的外角，.∠AEF= ∠D+∠DBE=35°+60°=95°.：∠AFD是△AEF的外 角，∴.∠AFD=∠A+∠AEF=35°+95°=130. 第2课时边角边 1.A通过观察，50°角的两条夹边对应相等的只有①和 ②，其他的不符合全等的条件，在△ABC和△FGE中， AB=FG. ∠A=∠F,.△ABC≌△FGE(SAS). AC=EF, 2.A根据作图可知，两个三角形有两条边和其中一边的 对角相等，但这两个三角形不全等，∴.两个三角形的两条 边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 3.25°如图.：∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC,即∠1=∠CAE.在△ABD和△ACE AB=AC, 中，3∠1=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS). AD=AE, ∴.∠ABD=∠2.：∠3=∠ABD+∠1，∴.∠1=∠3 ∠2=55°-30°=25°. B C (第3题) 4.在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，.∠BAC=180° (∠B+∠C)=110.°：AD LBC,垂足为D,∴.∠ADC= 90°.在△ACD中，∠CAD=180°-（∠ADC+∠C)=70°， ∴.∠FAE=180°-∠CAD=110°.∴.∠FAE=∠BAC= AE=AC, 110°.在△FAE和△BAC中，{∠FAE=∠BAC, AF=AB, ∴.△FAE≌△BAC(SAS).∴.EF=CB. 5.B:∠A=30°，∠ACE=75°，.∠B=∠ACE- ∠A=45°.：BD=EC,∴.BD+DC=EC+DC,即BC= DE.'AC∥FD,.∠ACB=∠EDF.在△ABC和 (AC=FD, △FED中， ∠ACB=∠FDE,∴.△ABC≌△FED BC=ED, (SAS).∴.∠E=∠B=45 6.A如图，在线段AB上取一点G,使BF=BG,过点C 作CM⊥AB于点M.:AB=6,△ABC的面积为24， ·.SAx=2CM·AB=24=2CMX6,解得CM=8. :BD平分∠ABC∠FBE=∠GBE=∠ABC.在 (BF=BG, △FBE和△GBE中，∠FBE=∠GBE,∴.△FBE≌ BE=BE, △GBE(SAS).∴.EF=EG..∴.CE+EF=CE+EG≥ CG≥CM.∴.当点E、G都在线段CM上时，CE+EF有最 小值，最小值为CM=8. D E MG (第6题) 7.测出ME的长度就是凉亭M与F之间的距离.理由：如 图，连结ME、MF.ABCD,∴.∠B=∠C.M是BC 的中点，∴.BM=CM在△BME和△CMF中， (BE=CF, :{∠B=∠C,∴.△BME≌△CMF(SAS).∴.ME= BM-CM, MF.∴.测出ME的长度就是凉亭M与F之间的距离. AE B D (第7题) 8.BF=AC,且BF⊥AC.理由：如图，延长BF交AC于点 E.AD⊥BC,∴.∠BDF=∠ADC=90°.BC=AF+ 2DF=AF+DF+DF=AD+DF,BC=BD+DC, ∴.AD十DF=BD十DC.DF=DC,.AD=BD.在 AD-BD, △ADC和△BDF中，∠ADC=∠BDF,..△ADC≌ DC=DF, △BDF(SAS).∴.∠BFD=∠C,BF=AC.,'∠BDF= 90°，∴.∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90°. .∠BEC=90°..BF⊥AC D (第8题) 方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常见的题型，解决这类问 题的一般方法是证明这两条直线的夹角为90°，即说明 组成这个夹角的两个角的和是90°或这个夹角所在的三 角形的另外两个角的和是90°即可. 9.B如图，连结DG.:BE=2DE,BE=号BD. BF-FG-GA.AB.AB-AC,BD- AC,∴.AB=BD..BE=BG.在△ABE和△DBG中， (BE=BG, ∠B=∠B,..△ABE≌△DBG(SAS)..AE=DG. AB=DB, :'D为动点，当点D不在CG上时，由三角形的三边关系 知DG+CD>CG;当点D在CG上时，DG+CD=CG, .DG+CD≥CG..AE+CDCG..能表示AE+CD 的最小值的线段是CG 0 B F (第9题) 10.如图，延长AM至点N,使NM=AM,连结BN.'M 为BC的中点，∴.CM=BM.在△AMC和△NMB中， AM-NM, ∠AMC=∠NMB,∴.△AMC≌△NMB(SAS). CM-BM. ∴.AC=NB,∠C=∠NBM.又：AD=AC,∴.AD= NB..AB⊥AE,AD⊥AC,.∠EAB=∠DAC=90°. ∴.∠EAD+∠BAC=180°.∴.∠ABN=∠ABC+ ∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在 AE-BA, △EAD和△ABN中，∠EAD=∠ABN,∴.△EAD≌ AD=BN, △ABN(SAS).∴.DE=NA=2AM=6. E、 M N (第10题) 方法归纳 运用“倍长中线”解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中线段或角的位置相对 比较分散，而三角形又给出了中线，那么可以将这条中 线延长一倍，构造全等三角形，使得分散的条件在图形 中能够相对集中，再运用其中的线段、角之间隐含的数 量关系解决问题 第3课时角边角 1.D:'∠BAD=∠CAE,∴.∠BAD-∠CAD= ∠CAE-∠CAD,即∠BAC=∠DAE.故选项B、C错