专题05 等腰三角形的性质和判定（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05等腰三角形的性质和判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三线合一（高频） 题型2等边对等角（高频） 题型3大（小）边对大（小）角定理（重） 题型4等边三角形的性质（重） 题型5根据等角对等边求边长（高频） 题型6根据等角对等边证明等腰三角形（重） 题型7等边三角形的判定和性质（重） 题型8等腰三角形的判定和性质（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三线合一 1.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱时，只需找到BC的中点D, 就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是() D A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂直平分线的性质 D.等腰三角形的“三线合一” 2.如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，下列结论不正确的是() 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BACD.AB=2BC 3.如图，在△ABC中，AB=AC,DB=DC,AD的延长线交BC于点E.求证： ∠BAE=∠CAE,BE=CE D 4.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3Cm, 则BF= cm 5.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,点F在ED上，AC=AD,∠BAF=∠EAD, ∠ACB=∠ADB」 (1)求证：AB=AF: (2)若AC⊥BD,求证：∠BAF=2∠DAF ◆题型2等边对等角 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，点D在点E左侧，BD=CE,连接AD,AE,试说 明：AD=AE 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，四边形ABCD中，AD‖BC,AB=CD,AD=BC,CE⊥AD于E,点F为边AB中点， AD=CD,∠CEF=40°，则∠AFE= A ED F B 8.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=，∠3=，求x的值. B 9.在△ABC中，已知AB=AC,∠B=80°.求∠C和∠A的度数. 10.如图，点E在BC上，AE‖DC,AB=AE.求证：∠B=∠C, D B E ◆题型3大（小）边对大（小）角定理 l1.如图，已知：在△ABC中，AC<AB,AD是BC边上的中线.求证：∠BAD<∠CAD A B 0 12.如图，在△ABC中，AB>BC>AC,则∠A∠B∠C的大小关系为 (用“>” 号连接) 3/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B4 13.在△ABC中，己知BC<AB<AC,2∠B=5∠A,则∠B的取值范围是 14.在△ABC中，若∠B<∠C,则边AB与AC的数量关系为() A.AB>AC B.AB=AC C.AB<AC D.无法确定 15.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、,若∠B>∠A>∠C,则ab、c的大小 关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c ◆题型4等边三角形的性质 l6.如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE,CD.求证：AE=CD, 17.如图，已知等边三角形ABC,延长BA至点D,延长AC至点E,使AD=CE,连接CD,BE.求证： ∠ACD=∠CBE E D B A 18.如图△ABC和△EDC都为等边三角形，点B、C、D不在同一直线上，AD与BE是否相等？请说明 理由. 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.如图，己知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD=25°，△ABD经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转了() A.36° B.42° C.60° D.70° 20.如图，△ABC是等边三角形，点D是边AC上一点，BD=CE,∠1=，试判断BC与AE的位置关 系，并说明你的理由. ◆题型5根据等角对等边求边长 21.如图，在△ABC中，点D在边AC上，连接BD,∠A=∠ABD,若BD=9,CD=7,则AC的长为 () B A.13 B.14 c.15 D.16 22.如图，E为△ABC的边AC上一点，且CE=CB,CD平分∠ACB,与BE相交于点D, ∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为 B D E 23.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P,EP交AB于点F,若 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=5,AE=2,则BF的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 24.如图，在△ABC中，BI,CI分别平分∠ABC,∠ACF交于点I,过点I作DIBC交AB于点D,交 AC于点E.若BD=8cm,DE=3cm,则CE等于 D B 25.如图，在正△ABC中，点M、N分别在AB、BC边上，且AM=BN,AN与CM相交于H.若 ∠ACM=20°，则∠ANC= ,连接BH,若BH⊥CM,且AH=4,则HC的长为 ◆题型6根据等角对等边证明等腰三角形 26.如图，AB‖CD,∠1=.求证：AB=AC. 27.在△ABC中，∠ABC≠∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过O点作DE,使DE‖BC, 6/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)BD+CE=DE成立吗？ 28.在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过O点作DE,使DE‖BC. (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段DE与线段BD,CE之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 29.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M.求证：△ABC是 等腰三角形. D M 30.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线交BC于点M, B M (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明. (2)求证：△ABC是等腰三角形. ◆题型7等边三角形的判定和性质 31.如图，△ABC是一个等边三角形，D为边BC的中点，把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB, 求∠ABE,∠DAE,∠BED的度数 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 32.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=120°，∠BOC=0,△OCD也是等边三角形. B (1)求证：△BOC△ADC: (2)当c=120时，试判断△AOD的形状，并说明理由： (3)探究：当C为多少度时，△AOD是直角三角形？ 33.如图①，在等边△ABC中，D为边AB上一点，E为BC上一点，且AD=BE,连接AE与CD相交于 点F D D D F E B B B E C E 图① G 图② 图③ (I)AE与CD的数量关系为 AE与CD构成的锐角夹角∠CFE的度数是 (2)【探究发现】 在(1)的基础上，延长AE至点G,使FG=FC,连接BG,CG,如图②所示，求证：GA平分∠BGC. (3)【拓展延伸】 AF 如图③，在等边△ABC中，D为边AB上一点，E为BC上一点，且AD=BE,CE=3BE,求F: 34.如图，两个全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF的一边重叠地放在直线！上，AC,DE交于点P. 8/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E (1)判断△PCE的形状，并说明理由. (2)连接AF,BD,求证：AF=BD 35.解答以下问题 (1)【问题初探】在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在BC上，∠ABC=∠AEF=9O°，AB=BC,AE=EF,连接CF,求∠FCE的度数. 智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在AB上截取AD=CE,连接ED,通过证明 △ADE2△ECF,就可以解答这个问题.请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； A E 图1 (2)【类比分析】如图2，点E在BC上，∠ABC=∠AEF=120°，AB=BC,AE=EF,连接CF, 请直接写出∠FCE的度数. F B E 图2 (3)【学以致用】△ABC是等边三角形，周长为6，面积为3，点D在BC边上，AD=DE, ∠ADE=60°，连接CE,求△DEC周长的最小值 B D 图3 ◆题型8等腰三角形的判定和性质 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36.已知，△ABC中，∠BAC=a,∠B=∠C,点D,E分别在BC,AC边上，∠BAD=∠CDE. B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若a=40°，且AD恰好平分∠BAC,则∠ADE的度数为°. 类比思考： (2)如图2，若o=50°，且点D是BC边上的任意一点，小颖发现∠ADE的度数为定值.求∠ADE的度数： 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点D,E分别在BC,AC边上”改为“点D,E分别在BC、AC的延长线 上”，其余条件不变.直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）. 37.如图，A,B分别是线段OD,OC上的点，OC=OD,OA=OB,连接AC,BD,相交于点E 】 D (I)求证：△OAC≌△OBD (2)连接CD,△EDC是等腰三角形吗？证明你的结论 38.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线MN过点A且MN‖BC,点D是直线MN上一 点，不与点A重合 M D M M E B B B 图1 图2 图3 (I)若点E是图1中线段AC上一点，且DE=DA,请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由： 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在(1)的条件下，连接CD,过点D作DP⊥CD交线段AB于点P,请判断线段CD与DP的数 量关系，并说明理由： (3)如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接CD,过点D作DP⊥CD交线段BA的延长线于点 P,请判断线段CD与DP的数量关系，并说明理由. 39.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是AC边上一动点，连接BD. F D 图1 图2 (I)如图1，延长BC至点F且CF=CD,连接AF,DF,求证：∠AFD=∠ABD: (2)如图2，当点D在AC的延长线上时，将BD绕点B顺时针旋转到BE,使得BD=BE,连接AE交BC于 点G,若∠ABD+∠CDE=180°，猜想AD,CG的数量关系，并证明. 40.【问题背景】 如图1，在△ABC中，已知AB=AC,∠BAC=90°，AH是△ABC的高，AH=4cm,BC=8cm,过 点C的直线MN⊥BC.动点D从点C开始沿射线CB方向以3Cm/s的速度运动，动点E也同时从点C开 始在直线MN上以2Cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE,设运动时间为tt>0秒， M 图1 图2 备用图 【思考尝试】 (1)请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD= cm,CE= cm.当t为多少时，△ABD的面积为12cm2? 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段BC上，且AD⊥AE时，△ABD是否与△ACE全等？说明理由：此时 CD+CE的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且AD⊥AE时，CD与CE有什么数量关系？请说明 理由. 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，在Rt△ABC中，AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点 E重合，展开后，折痕AD交BO于点F,连结DE、EF.下列结论：①图中有4对全等三角形：②若将 △DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；③BD=BF;④S四边形DFOE=S△AOF,上述结论中正确的个数 是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE, 已知AD=6,则PB+PE最小值为() A.3 B.6 C.9 D.12 3.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°， 则∠PAB=() A.60° B.70° C.75° D.80° 4.已知如图等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点，点 O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO;③ AB=AO+AP:④△OPC是等边三角形.其中正确的是() 12/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 回 A.①③④ B.①②③ C.②④ D.①④ 5.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与 CD相交于点，H是BC边的巾点，连接DH交BETG,下列结论：OBF=AC,②AE=号BP,@ ∠A=67.5°：④∠DGF=∠DFG.其中正确的有() ◇ G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, C、D、E三点共线，连接BD、BE.给出四个结论：①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°；③ BD⊥CE:④BE=AE+AC其中正确的结论个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在△ABC中，∠C=50°，点D是BC边上一点，点E是AC的中点，连接AD、DE,若 BC=BD+AD,则∠CDE的度数为() B A.35° B.40° C.45° D.50° 二、填空题 8.如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E,过点B作BF⊥AE,垂足为点F,并交AD 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点G.若AF=BF,则下列结论中： ①∠ABF=45°：②△AFG≌△BFE: ③AG+CE=AC;④BC=BG+2GF. 错误的是」 (写出所有错误结论的序号) B D 9.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F,若EF=AF,BE=8,CF=5,则EF的 长度为 A E D 10.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE,CE,BD平分∠ABE, CE‖AB,若CE=3,BE=7,则AB的长为 11.如图，已知∠ADB=2∠DBC,∠ABC=45°，AC⊥BD,AD=3,AC=6,则四边形ABCD的 面积为 三、解答题 12.如图，已知在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，点E为AB边上一点，CE与AD交于点F, 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG⊥BC,BG交CE的延长线于点G. E F (1)如果CE平分∠ACB,∠ABC=40°，求∠AFC的度数： (②)如果点E是边AB中点，连接AG,求证：AG=CF 13.△ABC是等边三角形，点D为射线AB上一点，连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转120°至CE, ∠DCE=120°，CD=CE E G B B 图1 图2 备用图 (1)【初步探究】如图1，过点E作EF‖AB交边AC于点F,求证：BD=CF: (2)【迁移应用】如图2，若AB=4,点D为边AB中点，连接BE交边AC于点G,求CG的长： (3)【拓展延伸】当点D在AB的延长线上时，连接BE与射线CA交于点G,若 AB AG =kk1,求CG的 BD 值（用含k的代数式表示）. 14.根据题意解答下列问题： (I)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在△ABC中，AB=AC,点D在△ABC 外，连接AD、BD、CD,且∠BDC=∠BAC,过点A作AE⊥BD于点E,请直接写出BE、CD、DE 之间的数量关系 小马同学的解题思路如下：如图1，在BD上截取BF=CD,连接AF,通过证明△ABF≌△ACD,进而 得到BE、CD、DE之间的数量关系为： 15/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答.如图2，△ABC 为等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，其中AB=BD,∠ABD=9O°，BE是AD边上的中线，连接 CD交BE于点F,请探究CF、DF、BF之间的数量关系，并说明理由； B 2 (3)【学以致用】如图3，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在AB边上，过点B作BE⊥CD交 CD的延长线于点E,延长EB至点F,连接CF,使∠BCF=∠ABE,连接AF交CD于点G,若BE=8, CE=22,求△EGF的面积. B 图3 15.生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们在学习了简单的轴对称图 形知识后，借助纸片开展折叠探究. (1)如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D是BC上的动点，连接AD,将△ABD沿AD 折叠，得到△AED,且点E在直线BC的下方，再将AC翻折，使AC与AE重合，折痕为AF,连接EF, 则∠DEF为 度； 16/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 D E 图1 (2)在(1)的条件下，若△DEF是等腰三角形，则∠CAF的度数为多少？请说明理由： (3)图2中的四边形ABCD是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知∠C=90°，∠BAD=45°，连接BD, AE为△ABD的高，若AE=,BE3,且SAD SABCD-6 7,请直接写出ED的长 D C 图2 17/17西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05等腰三角形的性质和判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三线合一（高频） 题型2等边对等角（高频） 题型3大（小）边对大（小）角定理（重） 题型4等边三角形的性质（重） 题型5根据等角对等边求边长（高频） 题型6根据等角对等边证明等腰三角形（重） 题型7等边三角形的判定和性质（重） 题型8等腰三角形的判定和性质（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三线合一 1.D 2.D 3.证明：在△ABD和△ACD中， .AB=AC,DB=DC,AD=AD. .△ABD△ACD(SSS, .∠BAE=∠CAE, ∴.BE=CE 4.6 5.(I)证明：.∠BAF=∠EAD, ∴.∠BAC+∠CAF=∠CAF+∠FAD. 即∠BAC=∠FAD, 在△ABC和△AFD中， 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=∠FAD AC=AD ∠ACB=∠ADF △ABC≌△AFDASA, ∴.AB=AF: (2)'AB=AF,AC⊥BD ∴.∠BAC=∠FAC .'∠BAC=∠FAD ∴.∠BAC=∠FAD=∠FAC .'∠BAF=∠BAC+∠FAC .∠BAF=2∠DAF ◆题型2等边对等角 6.解：因为AB=AC, 所以∠B=∠C. 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠B=∠C, BD=CE 所以△ABD≌△ACE|SAS, 所以AD=AE 7.30° 8.36 9. ∠C=80°，∠A=20° 10.证明：，AE‖DC .∠C=∠AEB, .AB=AE, .∠B=∠AEB, ∴.∠B=∠C. ◆题型3大（小）边对大（小）角定理 11.证明：把△ABD绕点D顺时针旋转180°到△ECD的位置，如图， 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D ∴.∠E=∠BAD,CE=AB,而AB>AC, ..CE>AC, .∠CAD>∠E, 所以∠BAD<∠CAD 12.∠C>∠A>∠B 13. 75°<∠B<100 14.A 15.D ◆题型4等边三角形的性质 I6.证明：，△ABC和△EBD都是等边三角形， .AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°， ∴.∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD, 即∠ABE=∠CBD, 在△ABE和△CBD中， d, ∴.△ABE≌△CBD|SAS, ∴.AE=CD 17.证明：，△ABC是等边三角形， ∴.AC=BC,∠CAB=∠ACB=60°. .∠CAD=180°-∠CAB=120°，∠BCE=180°-∠ACB=120°， ∴.∠CAD=∠BCE=120°. 在△ACD和△CBE中， 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=CE ∠CAD=∠BCE AC=CB ∴.△ACD≌△CBE SAS ∴.∠ACD=∠CBE 18.相等，理由如下： ,△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠ACB=60°， ,△EDC是等边三角形， .CD=CE,∠DCE=60°， ∴.∠DCE=∠ACB, “.∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE,即∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， 乙， ∴，△ACD≌△BCESAS, ..AD=BE 19.C 20. BC‖AE理由如下： .△ABC是等边三角形， ∴.∠BAD=∠BCA=60°，AB=AC, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠1= BD=CE △ABD≌△ACE SAS .∠BAD=∠CAE=60°， ∴.∠CAE=∠BCA, .BC AE ◆题型5根据等角对等边求边长 21.D 22.1 4/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.C 24.5 25. 80°/80度 ◆题型6根据等角对等边证明等腰三角形 26.证明：：ABCD, ∠B=∠2， 人1=， .∠B=∠1， ..AB=AC. 27.(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, .∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO, .DE BC, .∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB. .∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO, ..DB=DO,EC=EO, ..DE=DO+EO=BD+CE 28.(1)图中共有5个等腰三角形 (2)DE=BD+CE,理由如下： BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO, DE‖BC, ∴.∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB, .∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO, ..DB=DO,EC=EO, :.DE=DO+EO=BD+CE」 29.证明：，BD与CE是△ABC的高， .∠BEC=∠BDC=90°， 在△OBE和△OCD中， 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90° OE=OD ∴.△OBE≌△OCDAAS, ..BE=CD 在Rt△BCE和Rt△CBD中， BE=CD BC=BC, .Rt△BCE≌Rt△CBD HL, ∴.∠ABC=∠ACB ..AB=AC, ∴.△ABC是等腰三角形 30.(I)Rt△OBE≌Rt△OCD,Rt△BCE≌Rt△CBD,Rt△OAE≌Rt△OAD, Rt△ABM≌Rt△ACM,Rt△OBM≌Rt△OCM, 证明：BD与CE是△ABC的高， ∠BEC=∠BDC=90°， 在Rt△OBE和Rt△OCD中， ∠BOE=∠COD ∠BEC=∠BDC=90°， OE=OD .Rt△OBE≌Rt△DCD(AAS, ..BE=CD, 在Rt△BCE和Rt△CBD中， BE=CD BC=BC .Rt△BCE≌Rt△CBD|HL, ∴.∠ABC=∠ACB, ..AB=AC, 在Rt△OAE和Rt△OAD中， OE=OD OA=OA ∴.Rt△OAE≌Rt△OAD HL, .∠BAM=∠CAM. 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，AB=AC, ∴.AM⊥BC,BM=CM, ∴.∠AMB=∠AMC=90°， 在Rt△ABM和Rt△ACM中， AB=AC AM=AM :.Rt△ABM≌Rt△ACM|HL, 在Rt△OBM和Rt△OCM中， BM=CM ∠AMB=∠AMC=90° OM=OM ∴.Rt△OBM≌Rt△OCM SAS. (2)证明：由(1)可知，Rt△BCE≌Rt△CBD, ∴.∠ABC=∠ACB, ..AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形， ◆题型7等边三角形的判定和性质 31.∠ABE=60°，∠DAE=60°，∠BED=30° 32.(1)证明：：等边△ABC, ∴.BC=AC,∠ACB=60°， ,等边△OCD, ∴.CO=CD,∠OCD=60° ∴.∠BCO+∠ACO=∠ACD+∠ACO, ∴.∠BCO=∠ACD BC=AC .∠BCO=∠ACD CO=CD ∴.△BOC≌△ADCSAS. (2)解：△AOD是等边三角形.理由如下： .∠A0B=∠B0C=Q=120° ∴.∠A0C=360°-∠B0C-∠A0B=120°， .等边△OCD 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠COD=∠DCO=60」 ∴.∠AOD=∠AOC-∠COD=60°， △BOC≌△ADC, .∴.∠ADC=∠B0C=120°， ∴.∠DAO=360°-∠AOC-∠ADC-∠DCO=60°， ∴.∠AOD=∠DAO=∠ODA=60°， 故△AOD是等边三角形. (3)150°或90 33.(1)AE=CD,60°： (2)证明：由(1)可知，∠CFE=60°， .∠AFC=120°， .FG=FC, ∴△CFG是等边三角形， ∴.CF=CG,∠FCG=∠CGF=60°， ,△ABC是等边三角形， ∴.AC=CB,∠ACB=60°， ∴.∠ACB=∠FCG, ∴.∠ACB-∠FCB=∠FCG-∠FCB,即∠ACF=∠BCG, ∴.△ACF≌△BCG SAS, ∴.∠AFC=∠BGC=120°， .∴.∠BGF=∠BGC-∠CGF=120°-60°=60°， .∠BGF=∠CGF, ∴.GA平分∠BGC; 哈 34.(1)解：△PCE是等边三角形. 理由如下： ,△ABC和△DEF都是等边三角形， ∴.∠ACB=∠DEF=60°， ∴.△PCE是等边三角形 (2)证明：，△ABC,△DEF是两个全等的等边三角形， 8/18 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=DF,∠ABF=∠DFB=60°， 在△AFB和△DBF中， AB=DF, ∠ABF=∠DFB, FB=BF, ∴.△AFB≌△DBF SAS, ∴.AF=BD 35.(1)解：如图1，在AB上截取AD=CE,连接ED, D B E 图1 又AB=BC ∴.AB-AD=BC-CE，,即BD=EB, :∠BDE=∠BED-(1800-∠ABC)45e, ∴.∠ADE=180°-∠BDE=135° :∠ABC=∠AEF=90°，点E在BC上， ∴.∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=90°-∠AEB=∠A, 又AE=EF, ∴.△ADE≌△ECF SAS ∴.∠FCE=∠ADE=135° (2)150° (3)2+只V3 ◆题型8等腰三角形的判定和性质 36.(1)70 (2)65° 890+2a 37.(1)证明：在△OAC和△OBD中， 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC=OD ∠AOC=∠BOD OA=OB ∴.△OAC≌△OBD|SAS. (2)解：△EDC是等腰三角形.理由如下， 如图，连接CD, O D OC=OD. .∠OCD=∠ODC, 由(1)知，△OAC≌△OBD, ∴.∠OCA=∠ODB ∴.∠OCD-∠OCA=∠ODC-∠ODB,即∠ECD=∠EDC, ∴.EC=ED, ∴.△EDC是等腰三角形 38.(1)解：DE⊥DA,理由如下： .∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45°， .MN‖BC, ∴.∠DAE=∠C=45°， .DA=DE ∴.∠DEA=∠DAE=45°， ∴∠ADE=90°，即DE⊥DA: (2)解：DC=DP,理由如下： .DP⊥DC, .∴.∠CDP=90°」 ∴.∠CDE+∠EDP=90°， DE⊥DA, 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠PDA+∠EDP=90°， ∴.∠CDE=∠PDA, ,∠DEA=∠DAE=45°， ∴.∠CED=135°，∠DAP=135°， .∴.∠CED=∠PAD, 在△DEC和△DAP中， ∠CDE=∠PDA DE=DA ∠CED=∠PAD △DEC≌△DAP|ASA, .DC=DP: (3)解：DC=DP,理由如下： 如下图，延长AC至F,连接DP,使DF=DA, MD C 图3 同(1)得∠DFA=∠DAF=45°， ∴.∠ADF=90°， .DP⊥DC, 同理可证∠FDC=∠ADP, .∠BAC=90°，∠DAF=45°， ∴.∠PAD=45°， .∠CFD=∠PAD, 在△DFC和△DAP中， ∠FDC=∠ADP DF=DA ∠CFD=∠PAD '.△DFC≌△DAP|ASA, ∴.DC=DP 39.(1)证明：：∠ACB=90°，AC=BC, 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACF=180°-∠ACB=90°，∠ABC=∠CAB=45, 在△ACF和△BCD中， AC=BC ∠ACF=∠BCD CF=CD ∴.△ACF≌△BCD SAS, ∴.∠CAF=∠CBD, .∠ACF=90°，CF=CD. ∴.∠CDF=∠CFD=45°， .∠AFD+∠DAF=∠CDF=45°，∠ABD+∠CBD=∠ABC=45°， ∴.∠AFD=∠ABD: (2)解：AD=2CG,理由如下： 如图，作EH⊥CB交CB的延长线于点H, B 图2 则∠EHB=90°， ,∠ACB=90°，AC=BC, .∠ABC=∠ACB=45°，∠BCD=180°-∠ACB=90° .∠ABD+∠CDE=180°，∠ABD=∠ABC+∠CBD=45°+∠CBD, ∴.45°+∠CBD+∠CDE=180°， ,'∠CDE=∠CDB+∠BDE, ∴.45°+∠CBD+∠CDB+∠BDE=180°， .∠CBD+∠CDB=180°-∠BCD=90°， ∴.∠BDE=45°， ..BD=BE, ∴.∠BED=∠BDE=45°， .∠DBE=180°-∠BED-∠BDE=90°， :.∠CBD+∠EBH=180°-∠DBE=90°， 12/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠CBD+∠CDB=90°， .∠CDB=∠EBH, :∠BCD=∠EHB=90°，BE=DB, ∴.△BCD≌△EHB(AAS, ..BH=CD,EH=BC, .AC=BC ..AC=EH ,∠ACB=∠EHG=90°，∠AGC=∠EGH, ∴.△ACG≌△EHGAAS, ∴.CG=GH, ..CH=2CG. .CH=BC+BH=AC+CD=AD. ..AD=2CG 2.14 40.(3t:2t,3或3 (2)①△ABD≌△ACE,CD+CE=8cm, 理由如下： .AD⊥AE, .∴.∠DAE=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, .AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45°， .MN⊥BC, .∠BCE=90°， ∴.∠ACE=∠BCE-∠ACB=45°， ∴.∠ABC=∠ACE ∴△ABD≌△ACEASA: ∴.BD=CE. ..CD+CE=CD+BD=BC=8cm; 13/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②CD-CE=8cm,理由如下， 如图，AD⊥AE, ∴.∠DAE=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠DAB=∠EAC, .AB=AC. :.∠ABC=∠ACB=45° .∠ABD=180°-45°=135°， .MN⊥BC, ∴.∠DCE=90° .∠ACE=90°+45°=135°， ∴.∠ABD=∠ACE .△ABD≌△ACE(ASA, ∴.BD=CE, '.CD-BD=BC=8cm, ∴.CD-CE=8cm M D B 备用图 综合攻坚知能拔高 1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.④ 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.3 10.10 11. 27 12.(1)110° (2)证明：如图，连接AG, 4 B D 由(1)得AD⊥BC, 又BG⊥BC, .'BG AD, ∴.∠GBE=∠FAE,∠BGE=∠AFE, .AB=AC,AD是边BC上的中线， ∴.AD是△ABC的角平分线， ∴.∠FAC=∠FAE, ∴.∠GBE=∠FAC,即∠GBA=∠FAC: ,点E是边AB中点， ∴.BE=AE 在△GBE和△FAE中， ∠GBE=∠FAE ∠BGE=∠AFE, BE=AE ∴.△GBE≌△FAEAAS, ∴.BG=AF 在△GBA和△FAC中， BG=AF ∠GBA=∠FAC AB=CA .△GBA≌△FACSAS, ∴.AG=CF 13.(1)证明：，△ABC是等边三角形， 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°， .∠CBD=180°-∠ABC=120°， .∠DCE=120°， .∠BCD+∠ABC+∠ECF=120°， ∴.∠BCD+∠ECF=60°， EF‖AB, .∠AFE=∠A=60°， ∴.∠E+∠ECF=60°，∠EFC=180°-∠AEF=120°， ∴.∠BCD=∠E,∠CBD=∠EFC, .CD=CE, ∴.△CBD≌△EFC(AAS, ..BD=CF; (2)1 哈品装 14.(①)BE=CD+DE: (2)解：CF=DF+BF,理由如下， 如图，在CF上截取CH=DF,连接BH, E D B ,△ABC为等边三角形， .AB=AC=BC,∠ABC=60°， ∴.∠CBD=∠ABC+∠ABD=60°+90°=150°， .AB=BD ..BC=BD, ∠BCD=BDC-方180-∠CBD15. .CH=DF. ∴.△BCH≌△BDF SAS, ..BH=BF, 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE是AD边上的中线，△ABD是等腰直角三角形， ∴BE平分∠ABD ∴.∠DBE=∠ABE=45, “.∠BFH=∠BDF+∠DBF=15°+45°=60°， ∴.△BHF为等边三角形， ∴BF=HF .CF=HF+CH=DF+BF; (3)77 15.(1)80 (2)∠CAF的度数为10°或25°或40°， 理由：由(1)可知，∠DEF=80°，∠C=40° 设∠CAF=a, ∴.∠AFD=∠C+∠CAF=40°+a, ∴.∠AFC=180°-∠AFD=140°-a, 折叠， ∴.∠AFE=∠AFC=140°-a, ∴.∠DFE=∠AFE-∠AFD=140°-a-40°+o=100°-2a, ①若DE=DF,则∠DEF=∠DFE=80°， ∴.100°-2a=80° B C E .a=10°，即∠CAF=10°： ②若DE=EF,则∠EDF=∠EFD, C:∠DEF=80° D 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠EDP=∠EFD=180°-∠DEE 2 50°， ∴.100°-20=50°， ∴.0=25°，即∠CAF=25°： ③若DF=EF,则∠DEF=∠EDF=80°， ∴.∠DFE=180°-∠DEF-∠EDF=20° B D E .100°-20=20°， ∴.a=40°，即∠CAF=40° 综上可知，∠CAF的度数为10°或25°或40°： (3)2.8 18/18 专题05 等腰三角形的性质和判定 常考题型·精准突破 题型1 三线合一（高频） 题型2 等边对等角（高频） 题型3 大（小）边对大（小）角定理（重） 题型4 等边三角形的性质（重） 题型5 根据等角对等边求边长（高频） 题型6 根据等角对等边证明等腰三角形（重） 题型7 等边三角形的判定和性质（重） 题型8 等腰三角形的判定和性质（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三线合一 1．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂直平分线的性质 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 3．如图，在中，的延长线交于点E．求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 结合已知和所给图形，证明，得，根据三线合一得． 【详解】证明：略． 4．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 5．如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2)∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用证明，从而证得； （2）根据等腰三角形三线合一得到，结合可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型2等边对等角 6．如图，在中，，点，在上，点在点左侧，，连接，，试说明：． 【答案】解：因为， 所以．     在和中， ， 所以， 所以 【分析】根据证明，即可解决问题． 【详解】略 7．如图，四边形中，，，，于，点为边中点，，，则_________ 【答案】 【分析】延长、交于点，连接，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，继而得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求. 【详解】解：延长、交于点，连接， ∵四边形中，，，， ∴，，， ， ∵点为边中点， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴. 8．如图，五边形的内角都相等，且，，求x的值． 【答案】36 【分析】首先根据正多边形的性质求出，，，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵五边形的内角都相等， ∴五边形是正五边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即x的值为36． 9．在中，已知．求和的度数． 【答案】 ， 【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质求，再利用三角形内角和求． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 三角形三个内角的和为， ∴． 10．如图，点在上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出． 【详解】证明：略 ◆题型3大（小）边对大（小）角定理 11．如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【答案】证明：把绕点顺时针旋转到的位置，如图， ∴，而， ∴， ∴， 所以． 【分析】把绕点顺时针旋转到的位置，则，进而得到，，然后可得． 【详解】略 12．如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．在中，已知，，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 15．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． ◆题型4等边三角形的性质 16．如图，和都是等边三角形，连接．求证：． 【答案】证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】和都是等边三角形，得，得，证明即可解决． 【详解】略． 17．如图，已知等边三角形，延长至点，延长至点，使，连接，．求证：． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ． ∴． ∴． 【分析】由等边三角形的性质可得，，再证明出，从而可得，即可得证． 【详解】略． 18．如图和都为等边三角形，点、、不在同一直线上，与是否相等？请说明理由． 【答案】相等，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先由等边三角形性质得、，且，再通过两角同加，推证夹角，继而证明，最后由全等三角形对应边相等得出． 【详解】略 19．如图，已知是等边三角形，D为边上的点，，经旋转后到达的位置，那么旋转了（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用等边三角形的性质求出，然后利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵经旋转后到达的位置，旋转到， ∴旋转了． 20．如图，是等边三角形，点是边上一点，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】 理由如下： 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】证明，可得，即可求证． 【详解】略 ◆题型5根据等角对等边求边长 21．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 22．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 23．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 25．如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 【答案】 /度 8 【分析】先根据等边三角形的性质证明，再结合三角形的外角性质求解的度数；在线段上取点，使得，连接，证明，然后导角证明即可． 【详解】解：①如图， ∵是正三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②在线段上取点，使得，连接， ∵，， ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴． ◆题型6根据等角对等边证明等腰三角形 26．如图，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边即可得出． 【详解】略 27．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)成立吗？ 【答案】(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 28．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 29．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 30．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)，，，，， 证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，进而证明和，则，，因此．由等腰三角形的性质可得，，，从而证明和． （2）证明步骤见（1）． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型7等边三角形的判定和性质 31．如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】根据等边三角形的三线合一定理可知是的中线、边上的高、的角平分线，根据三角形的高、角平分线的性质、旋转的性质即可求出角的度数． 【详解】解：是一个等边三角形， ，， 点为边的中点， ，平分， ，， 由旋转可知， ， ， 又， 是等边三角形， ， ． 32．如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是直角三角形？ 【答案】(1)证明：∵等边， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ∵ ∴． (2)解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵等边， ∴， ， ， ， ， , 故是等边三角形． (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合原理，证明全等即可； （2）根据周角，等边三角形的判定和性质，四边形内角和，解答即可； （3）根据是直角三角形，结合三角形全等的性质，分三种情况求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：∵等边， ∴， 是直角三角形， 当时，根据题意，得， ， ， 故； 当时， ， 故； 当时，根据题意，得， ， ， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ， ， 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当或时；是直角三角形． 33．如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； (2)【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． (3)【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 【答案】(1)，； (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 平分； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）（1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； （2）略． （3）解：如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又 ， ， ， ， 又 ，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 34．如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)连接，，求证：． 【答案】(1)解：是等边三角形． 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． (2)证明：∵，是两个全等的等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】（1）由和都是等边三角形，可得，即可得结论； （2）由和都是等边三角形，可得，，可证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 35．解答以下问题 (1)【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在上， ，连接，求的度数．智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在上截取，连接，通过证明，就可以解答这个问题．请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； (2)【类比分析】 如图2，点E在上， ，连接，请直接写出的度数． (3)【学以致用】是等边三角形，周长为6，面积为，点D在边上，，，连接，求周长的最小值． 【答案】(1)解：如图1，在上截取，连接， 又 ∵ ∴ ，即， ∴， ∴ ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． (2) (3) 【分析】（1）在上截取，连接，根据线段的和差关系得出，再由等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）在上取一点G，使，连接，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （3）根据题意得出的边长为2，的高为，在上截取，连接，同（1）可得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则，周长，要使周长最小，则需要取最小值，当时，最小，此时，进而可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上取一点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． （3）解：∵是等边三角形，周长为6 ∴的边长为2，， ∵面积为， ∴的高， 在上截取，连接， 与（1）同理可证， ∴， 与（1）同理可证，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴周长， ∵是定值，要使周长最小，则需要取最小值， ∴当时，最小，此时， ∴周长的最小值为． ◆题型8等腰三角形的判定和性质 36．已知，中，，，点，分别在，边上， ． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： (3)如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角之间的数量关系，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的性质，可得，再根据外角的性质和角之间的数量关系，可得； （3）根据等腰三角形的性质，可得，再根据角之间的数量关系和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解： ， 是等腰三角形， 平分，， ，，即， ， ， ； （2）解： ，， ， ，， ， 则的度数为； （3）解： ，， ， ， ， 则的度数为． 37．如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． (1)求证：． (2)连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴． (2)解：是等腰三角形．理由如下， 如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据“”直接证明即可； （2）先由得到，再由得到，根据角的和差关系即可得到，从而得到，即可得出是等腰三角形． 【详解】（1）证明：略 （2）解：是等腰三角形．证明略 38．如图1，在中，，直线过点A且，点D是直线上一点，不与点A重合． (1)若点E是图1中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作交线段于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接，过点D作交线段的延长线于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ，即； (2)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (3)解：，理由如下： 如下图，延长至F，连接，使， 同（1）得， ， ， 同理可证， ， ， ， 在和中， ， 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，根据平行线的性质得，再证，即可求解； （2）根据同角的余角相等可得，进而可证明，由此可得结论； （3）作辅助线，延长至F，连接，使，进而证明，由此即可证结论． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 39．已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； (2)解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先求出，，再证明，得出，再求出，最后结合，，即可得证； （2）作交的延长线于点，则，先证明，得出，，再证明，得出，从而即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 40．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)；；或 (2)①，， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ． 【分析】（1）根据运动速度和已知条件表示出和，分两种情况：当点D在线段上时，当点D在CB延长线上时，根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程即可； （2）①根据“”证明三角形全等即可；根据全等三角形的性质得出，再根据线段间的数量关系进行求解即可； ②证明，得出，根据线段间数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 当点D在线段上时，， ， ， ， 解得：； 当点D在延长线上时，， ， ∴， 解得：； 综上，当t为或时，的面积为； （2）解：①略 ②略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 2．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 3．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，求出，，的度数，证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 4．已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（     ） A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】①连接，利用等边对等角，即可证得：，；则，据此即可求解； ②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③首先证明，则，； ④证明且，即可证得是等边三角形； 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故④正确 ∴正确的结论有：①③④． 5．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，然后可得，，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵是边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共个． 6．已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】证明，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即得到，即可判断②；由②可得，即可判断③；根据三角形的三边关系可判断④，综上即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， 即，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共个． 7．如图，在中，，点是边上一点，点是的中点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，因为点是的中点，可得，已知，则题目可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 8．如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中： ①；②； ③；④． 错误的是__________．（写出所有错误结论的序号） 【答案】④ 【分析】根据，，得出，可判断①；根据证明，可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据平分，得出，证出，即可得，可判断③；得出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵是的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； ∵， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴，④错误． 综上所述，错误的是④． 9．如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 【答案】3 【分析】延长，使，连接，证明，根据全等三角形的性质，等边对等角，结合等角对等边，以及线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，延长，使，连接， 是的中线， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， . 10．如图，在中，点D为的中点，点E是下方一点，连接平分，，若，，则的长为__________． 【答案】10 【分析】连接并延长，交于点F，延长到点G，使，连接，证明，得出，再证明，得出，进而得出，即可求出结论． 【详解】解：连接并延长，交于点F， ， ， ∵点D为的中点， ， 在和中， ， ， ， 延长到点G，使，连接， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 11．如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 27 【分析】作于点，交于点，作于点，分别证明，，求出的长，进而求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】解：作于点，交于点，作于点，如图， 则，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积. 三、解答题 12．如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， 由（1）得， 又 ， ， ，， ，是边上的中线， 是的角平分线， ， ，即； 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）由等边对等角得，由三线合一得，再由三角形外角的性质求解； （2）先证，由平行线的性质得，，由三线合一得是的角平分线，等量代换得出；证明，推出，再证 ，即可证明． 【详解】（1）解： 中，，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． （2）略 13．是等边三角形，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，， ． (1)【初步探究】如图1，过点E作交边于点F，求证：； (2)【迁移应用】如图2，若，点D为边中点，连接交边于点G，求的长； (3)【拓展延伸】当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若 ，求 的值(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)1 (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质及旋转的性质证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，先证明，再证明，得是的中点，即可求解； （3）设，则；过点E作交射线于点F，分两种情况：当点F在线段上时；当点F在线段的延长线上时； 先证明，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 过点E作交的延长线于点F，如图， 则， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的中点， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， 过点E作交射线于点F， 当点F在线段上时，如图3； 同理可证明，则，， 同理可证明，则， ∵， ∴，， ∴； 当点F在线段的延长线上时，如图4； 同理得，则， 同理得，则， ∴， ， ∴； 综上，的值为或． 14．根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 15．生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们在学习了简单的轴对称图形知识后，借助纸片开展折叠探究． (1)如图1，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，再将翻折，使与重合，折痕为，连接，则为_________度； (2)在（1）的条件下，若是等腰三角形，则的度数为多少？请说明理由； (3)图2中的四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知，，连接，为的高，若，，且，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)的度数为或或， 理由：由（1）可知，， 设， ， ， 折叠， ， ， ①若，则， ， ，即； ②若，则， ， ， ， ，即； ③若，则， ， ， ，即， 综上可知，的度数为或或； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据折叠得出，即可得解； （2）设，则，再分三种情况讨论，根据等边对等角分别求解即可； （3）根据题意画出折叠前的正方形，进而得出正方形边长，设，则，，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 折叠， ，， ； （2）略 （3）解：根据题意，四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形， 设， 折叠， ，，， 正方形， ， ，， ，， ， ， 解得：，即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $