12.2 第5课时 斜边直角边-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

第12章全等三角形 第5课时斜边直角边 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合，∠B= ∠DEF=90°，AB=DE.若添加一个条件后可用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DEF,则添加的条 件是 () A.BC=EF B.∠BCA=∠F C.BA/EF D.AC=DF B D C(E) (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PE=PF,则下列结论不一定正确的是 ( A.AD平分∠BAC B.AE-AF C.Rt△APE≌△Rt△APF D.AP-PE+PF 3.教材85练习3变式)如图，两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等.若DF=6m,DE=8m,AD=4m,则BF m. 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,E是AD上一点，且DE=DC,连结BE并延长交AC于点F, BE=AC. (1)求证：BD=AD (2)猜想BF与AC的位置关系，并证明. (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，在四边形ABCD中，AD=CD,BD平分∠ABC,过点D作DH⊥BC于点H.若BC=9, AB=5,则HC的长为 () 7 A.3 B.2 C.2 D.4 D H (第5题) (第6题) 6.如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线L向上平移线段AB的长得到直线，直线m 分别交AD、CD于点E、F.若求△DEF的周长，则只需知道 () A.AB的长 B.EF的长 C.DE的长 D.DF的长 49 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 7.易错题如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=8,BC=4,AP⊥AC于点A,现有两点D、 E分别在AC、AP上运动，运动过程中总有DE=AB.当AD的长为 时，B △ADE和△ABC全等. 8.类比思想如图①，点A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF,过点E、F分别作ED⊥（第7题） AC,FB⊥AC,AB=CD,连结BD,与AC交于点G. (1)求证：G是EF的中点 (2)若将△DEC沿AC移动到如图②所示的位置，其余条件不变，则(1)中结论是否 仍然成立？请说明理由. (② (第8题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 9.考向探究题在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E. (1)如图①，当∠B是直角时，根据 定理，可证得△ABC≌△DEF. (2)如图②，∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF (3)当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等.请你用尺规在图③中作出△DEF,使 △DEF和△ABC不全等（保留作图痕迹，不写作法）. (4)当∠B、∠E都是锐角时，∠B还要满足 ,就可以使△ABC≌△DEF. ① ② ③ (第9题) 50 >“答案与解析”见P21△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可以 画出△ABG、△ABM、△ABH三个三角形和原三角形全 等；以AC为公共边不可以画出三角形与原三角形全等.综 上所述，在5×5的正方形网格中，与△ABC有一条公共边 且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的 三角形)共有6个. M (第5题) (AB-AD. 6.D如图.在△ABC和△ADE中，AC=AE, BC=DE, ∴.△ABC≌△ADE(SSS),故A不符合题意.△ABC≌ △ADE,∴.∠BAC=∠DAE,∠B=∠D..∠BAF= ∠BAF=∠DAG, ∠DAG.在△ABF和△ADG中， AB=AD, ∠B=∠D, .△ABF≌△ADG(ASA).∴.BF=DG.∴.BC-BF= DE-DG.∴.FC=GE,故B、C不符合题意.无法证明 AG=GE,故D符合题意. (第6题) ∠0=∠0， 7.D在△AOD和△BOC中，3OA=OB,∴.△AOD≌ ∠A=∠B, △BOC(ASA),故①正确.△AOD≌△BOC,∴.OD= OC.'.OB一OD=OA一OC,即BD=AC.在△ACE和 ∠AEC=∠BED, △BDE中， ∠A=∠B, ∴.△ACE≌△BDE AC-BD, (AAS),故②正确.：△ACE2△BDE,.AE=BE.如 OA=OB, 图，连结OE..在△AOE和△BOE中，AE=BE, OE=OE, ∴.△AOE≌△BOE(SSS)..∴.∠AOE=∠BOE.∴.点E 在∠AOB的平分线上，故③正确.∴.正确的是①②③. B D E 0 (第7题) 2 8.115°∠E=125°，∴.∠EDA+∠EAD=180°- ∠E=180°-125°=55°.在△ABC和△DEA中， (AB=DE, AC=DA,.∴.△ABC2△DEA(SSS)..∴.∠B=∠E= BC=EA, 125°，∠BAC=∠EDA.∴.∠BAE=∠CAD+∠BAC+ ∠EAD=∠CAD+∠EDA+∠EAD=60°+55°=115°. 9.(1)AD=FC.理由：AD∥BC,∴.∠D=∠ECF, ∠DAE=∠F.E为CD的中点，.ED=EC.在 「∠DAE=∠F, △DAE和△CFE中，∠D=∠ECF,.△DAE≌△CFE ED-EC, (AAS).∴.AD=FC.(2)BE⊥AF.理由：由(1)，知 △DAE≌△CFE,∴.AE=FE,AD=FC.:AB=BC+ AD,∴.AB=BC+FC,即AB=FB.在△ABE和△FBE AB=FB, 中，AE=FE,∴.△ABE≌△FBE(SSS).∴.∠AEB= BE=BE, ∠FEB.:∠AEB+∠FEB=18O°，∴.∠AEB= ∠FEB=90°.∴.BE⊥AF. 10.(1)AF=CE,∴.AF+EF=CE+EF,即AE= (AD=CB, CF.在△ADE和△CBF中，DE=BF,∴.△ADE≌ AE-CF. △CBF(SSS).∴.∠A=∠C..AD∥CB.(2)AD∥ CB.理由：AF=CE,.AF一EF=CE一EF,即AE= (AD=CB, CF.在△ADE和△CBF中，DE=BF,.△ADE≌ AE=CF, △CBF(SSS).∴.∠A=∠C.∴.ADCB.(3)AD和 CB不一定平行.理由：：'在△ADE和△CBF中，仅有 AD=CB,DE=BF不能判定它们全等，即不能得出∠A= ∠C,∴.AD和CB不一定平行. 第5课时斜边直角边 1.DAB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,能用SAS证明 Rt△ABC≌Rt△DEF,故A选项不符合题意.∠BCA= ∠F,∠B=∠DEF,AB=DE,能用AAS证明Rt△ABC≌ Rt△DEF,故B选项不符合题意.BA∥EF,∴.∠A= ∠ACF.由AB=DE,∠B=∠DEF不能证明Rt△ABC≌ Rt△DEF,故C选项不符合题意.在Rt△ABC和Rt△DEF 中，∠B=∠DEF=90°，AC=DF,AB=DE,符合两直角 三角形全等的判定定理HL,能证明Rt△ABC≌Rt△DEF (H),故D选项符合题意. 2.D,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PE=PF, ∴.∠PEA=∠PFA=90.在Rt△APE和Rt△APF中， (AP=AP, .Rt△APE≌Rt△APF(HL..∠PAE= PE=PF, ∠PAF,AE=AF.∴.AD平分∠BAC.∴.A、B、C三个选 项结论正确，不符合题意.根据现有条件无法证明AP= PE十PF,故D选项结论不一定正确，符合题意 3.18由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形.在 Rt△ABC和Rt△DEF中， BC=EF,:Rt△ABC≌ AC=DF. Rt△DEF(HL).∴.AB=DE=8m.∴.BF=AB+AD+ DF=8+4+6=18(m). 4.(1)AD⊥BC,.∠ADC=∠BDE=90°.在Rt△ADC 有R△mE中次-能 ∴.Rt△ADC≌Rt△BDE (HL).∴.BD=AD.(2)BF⊥AC.由(1)得，Rt△ADC≌ Rt△BDE,∴.∠CAD=∠EBD.∠CAD+∠C=90°， ∴.∠EBD+∠C=90°.∴.∠BFC=90°.∴.BF LAC 5.B如图，过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点 E.,DH⊥BC,∴.∠DEB=∠DHC=∠DHB=90. BD平分∠ABC,∴.∠DBE=∠DBH.在△DBE和 ∠DEB=∠DHB, △DBH中，∠DBE=∠DBH,∴.△DBE≌△DBH DB=DB. (AAS).∴.DE=DH,BE=BH.在Rt△ADE和Rt△CDH (AD=CD, 中， ∴.Rt△ADE≌Rt△CDH(HL)..AE= DE=DH, CH..BC=BH+CH=BE+CH,..BC=AB+AE+ CH=AB+2CH..BC=9,AB=5,.'.CH=2. E B C (第5题) 6.A如图，过点B作BH⊥m于点H,连结BE、BF ,直线l向上平移线段AB的长得到直线m,.BH= AB..∠A=∠BHE=90°，EB=EB,∴.Rt△AEB≌ Rt△HEB(HL).∴.AE=EH.同理，可得Rt△FCB≌ Rt△FHB(HI),∴.HF=CF.∴.△DEF的周长为DE+ EF+DF=DE+EH+HF+DF=DE+AE+DF+ CF=AD+CD=2AB.∴.求△DEF的周长，则只需知道 AB的长. B (第6题) 2 7.8或4.AC⊥BC,AP⊥AC,∴.∠ACB=∠EAD= 90°.DE=AB,∴.当AD=CA=8时，根据“HL”可判定 Rt△ADE≌Rt△CAB;当AD=CB=4时，根据“HL”可判 定Rt△ADE≌Rt△CBA.综上所述，当AD=8或4时， △ADE和△ABC全等. 易错警示 未注意对应边的不同致错 本题中，AD的对应边可以是CB,也可以是CA,此 题容易因为考虑问题不全面导致错误 8.(1) 思路导引 “HL” AB=CD Rt△ABF≌ AE-CF AF-CE Rt△CDE ∠AFB= “AAS” ∠CED=90° EG=FG △DEG≌△BFG BF-DE AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE :ED⊥AC,FB⊥AC,∴.∠DEG=∠BFG=90°.在 (AB=CD, Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴.Rt△ABF≌ AF=CE, Rt△CDE(HL).∴.BF=DE.在△BFG和△DEG中， ∠BGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG,∴.△BFG≌△DEG(AAS.∴.GF= BF=DE. GE,即G是EF的中点.(2)成立.理由：：'AE=CF, ∴.AE-EF=CF-EF,即AF=CE.同(1)，可得GF= GE,即G是EF的中点. 9.(1)ⅢL.(2)如图①，过点C作CG⊥AB,交AB的延 长线于点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H, 则∠G=∠H=90°.，∠ABC=∠DEF,∴.∠CBG= ∠CBG=∠FEH, ∠FEH.在△CBG和△FEH中，∠G=∠H, BC=EF. ∴.△CBG≌△FEH(AAS).∴.CG=FH.在Rt△ACG和 (AC=DF, Rt△DFH中，CG=FH, ∴.Rt△ACG≌Rt△DFH (HL).∴.∠A=∠D.在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, ∠ABC=∠DEF,∴.△ABC≌△DEF(AAS).(3)如 AC-DF, 图②，△DEF即为所求作.(4)∠B≥∠A.由图②可 知，∠A=∠CDA=∠B十∠BCD.∴.∠A>∠B,此时 △ABC和△DEF不全等.∴.当∠B、∠E都是锐角时， ∠B满足∠B≥∠A,就可以使△ABC≌△DEF. C( B G D E H D B(E ① ② (第9题) 专题特训四全等三角形的常考模型 1.D:AD=CF,∴.AD+CD=CF+CD,即AC= DF.又：'AB=DE,添加AC=DF,不能判定△ABC≌ △DEF,故A选项不符合题意；添加∠B=∠E,不能判定 △ABC≌△DEF,故B选项不符合题意；添加∠ACB= ∠DFE,不能判定△ABC≌△DEF,故C选项不符合题 意；添加∠A=∠FDE,根据“SAS”能判定△ABC≌ △DEF,故D选项符合题意. 2.①②③④⑤⑥在△ABP和△ACP中，：AB=AC, PB=PC,AP=AP,∴.△ABP≌△ACP(SSS). ∴.∠BAP=∠CAP.又：AB=AC,AE=AE, ∴.△ABE≌△ACE(SAS.易证△PBE≌△PCE, △PBD≌△PCD,△ABD≌△ACD,△EBD≌△ECD,可 得BE=CE,∠ADB=∠ADC=90°，∠BEA=∠CEA, ∠PBC=∠PCB,∴.AD⊥BC,EA平分∠BEC SaAm=Sa十Sam=号BC·AD十受BC· ED=号BC·(AD+ED)=号BC·AE.综上所述，正确 的结论是①②③④⑤⑥. 3.(1)BD=CE,BD⊥CE.如图①，延长BD,交CE于点 AE-AD. F.在△EAC和△DAB中 ∠EAC=∠DAB,∴.△EAC≌ AC=AB, △DAB(SAS).∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE. :∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，∴.∠ABD+ ∠AEC=90°..∠BFE=180°-90°=90°，即EC⊥ BD.∴.BD=CE,BD⊥CE.(2)BD=CE,BD⊥CE.理 由：如图②，延长BD,交CE于点F.∠BAC= ∠BAD+∠CAD=90°，∠DAE=∠CAD+∠EAC=90°， ∴.∠BAD=∠EAC.在△EAC和△DAB中， (AE=AD, ∠EAC=∠DAB,.△EAC≌△DAB(SAS.∴.BD= LAC=AB, CE,∠ABD=∠ACE.:'∠ABC+∠ACB=180°-90°= 90°，∴.∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+ ∠ACE=90°.∴.∠BFC=90°，即EC⊥BD.∴.BD=CE, BD⊥CE. (第3题) 4.(1)当∠a十∠BCA=180°时，EF=BE-AF.理由： :∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠a, ∠BCA=180°-∠a,.∴.∠CBE+∠BCE=∠BCA. :∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴.∠CBE=∠ACF.在 I∠BEC=∠CFA, △BCE和△CAF中，{∠CBE=∠ACF,∴.△BCE≌ CB=AC, △CAF(AAS).∴.BE=CF,CE=AF.∴.EF=CF- CE=BE-AF.(2)EF=BE+AF.理由：：∠BEC= ∠CFA=∠BCA,∠BEC+∠BCE+∠EBC=18O°， ∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∴.∠EBC=∠ACF.在 I∠BEC=∠CFA, △BEC和△CFA中，{∠CBE=∠ACF,∴.△BEC≌ CB=AC, △CFA(AAS).∴.BE=CF,CE=AF..EF=CE+ CF=AF+BE. 5.如图，延长AB至点E,使得BE=DN,连结CE :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°， ∴.∠CBE=∠D.在△CBE和△CDN中， CB=CD, ∠CBE=∠D,∴.△CBE≌△CDN(SAS)..CE=CN, BE=DN, ∠BCE=∠DCN.∠BCD=150°，∠MCN=75°， ,∴.∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB十∠DCN= ∠BCD-∠MCN=150°-75°=75°.∴.∠MCE= MC=MC, ∠MCN.在△ECM和△NCM中， ∠MCE=∠MCN, CE=CN, ∴.△ECM≌△NCM(SAS).∴.ME=MN.又.ME= BM+BE=BM+DN..'MN-BM=DN. M B D B-----C (第5题) 专题特训五构造全等三角形的常用方法 1.如图，延长AD,交BC于点H.:BD⊥AD,.易得