11.5 第2课时 公式法&综合与实践2 面积与代数恒等式-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时 公式法 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.分解因式：4x2-y2=(2x十y)·A,则代数式A是 ( A.x+y B.x-y C.2x+y D.2x-y 2.若4x2一(k十1)x十9能用两数和（差）的平方公式分解因式，则k的值为 A.±6 B.±12 C.-13或11 D.13或-11 3.已知多项式x4+1十m,若该多项式不能分解因式，则整式m可以为 A.2x2 B.17 C.-2x2 D.-17 4分解因式：一一一 5.已知m、n同时满足2m十n=3与2m一n=1,则4m2-一n2的值为 6.把下列多项式分解因式： -+ (2)x2(x-2)-16(x-2).(3)-x3y+10x2y-25xy. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 7.小聪在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且 能利用平方差公式分解因式，抄在作业本上的式子为36x口一49y(“▣”表示漏抄的指数)，则这 个指数所有可能的结果有 () A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 8.已知正方形的面积是(16一8x+x2)cm(x>4),则该正方形的周长是 ( A.(4-x)cm B.(x-4)cm C.(16-4x)cm D.(4x-16)cm 9.多项式m.x2一m和多项式mx2一2m.x十m的公因式为 () A.x-1 B.x+1 C.m(x+1) D.m(x-1) 10.如图，长为a、宽为b的长方形周长为14(a>b),面积为10，则a3b+ab3+2ab2的值为( A.70 B.140 C.2560 D.490 a 11.已知4a=7-b,则代数式16a2+8ab+b2的值为 (第10题) 12.若n为任意整数，且(n十17)2一n2的值总可以被k(k为正整数，且k≠1)整除，则k的值为 13.若x十y+3=0,则x(x+4y)-y(2x-y)的值为 34 第11章整式的乘除 14.*把下列各式分解因式： (1)3a2(x+y)3-27a4(x+y). (2)(x2+9y2)2-36x2y2. (3)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). (4)-m(a2+2)2+6m(a2+2)-9m. 15.整体思想仔细分析例题，领会其中的思想方法： 分解因式：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：将“x+y”看成整体，令x+y=P,则原式=P2+2P+1=(P+1)2,再将“P”还原，得原 式=(x+y+1)2. 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下面 的问题： (1)分解因式：(x-y)2-2(x-y)+1= (2)分解因式(a2-4a)2+8(a2-4a)+16. 微专题·十字相乘法分解因式 1.考向阅读理解题阅读材料： 如何将x2十(p十q)x十pg型的式子分解因式呢？我们知道(x十p)(x十q)=x2十（p十 q)x十g,∴.根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得x2十（p十q)x十g=(x十p)(x十q). 例如：(x+1)(x+2)=x2+3x+2,∴.x2+3x十2=(x+1)(x+2). 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的 左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求 代数和，使其等于一次项的系数，如图所示.这样，我们可以得到x2十3x十2=(x十1)(x十2). 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将x2+5.x+6分解因式的结果为 (2)用十字相乘法将x2-3x一4分解因式的结果为 (3)若x2十px一15利用十字相乘法可分解为(x十a)(x+5)(a、p均为整数)，求a和p的值， 12 1×2+1×1=3 (第1题) ●“答案与解析”见P12 35 拔尖特训：数学（华师版）八年级上 综合与实践2 面积与代数恒等式 1.如图，在一个周长为50的长方形中，摆放两个面积和为130的正方形，得到三个小长方形，其中 重叠部分为长方形ABCD,另外两个小长方形的面积分别为S1、S2(S1>S2).若AB=3,AD 4,则S1一S2的值为 () 5 A.1 B.2 C.2 D.3 a b a S2 (第1题) (第2题) 2.已知长方形ABCD可以按如图所示的方式分成九部分，在α、b变化的过程中，有下列说法： ①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；②长方形ABCD的长、宽之比 可能为2：1；③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；④当长方形ABCD的周长为 60时，它的面积可能为100.其中，正确的有 () A.①② B.①③ C.②③④ D.①③④ 3.向探究题数学活动课上，老师准备了若干张如图①所示的三种卡片，A种卡片是边长为α 的正方形，B种卡片是长、宽分别为a、b(a>b)的长方形，C种卡片是边长为b的正方形. A BB A BB B CC ① ② ⊙ ④ (第3题) (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图②所示的长方形，请借 助图形分解因式：2a2+5ab+2b2= (2)如图③，线段EF将长方形ABCD分成左右两个长方形，BE=2a,EC=3b. ①小普同学拿了5张图①中的卡片，按图④所示的方式，不重叠地放在长方形ABCD内，长方 形中有两个部分（涂色部分）未被覆盖，设左上角的涂色部分面积为S1,右下角的涂色部分面积 为S2.当AB>a时，S1一S2的值始终保持不变，a与b应满足怎样的数量关系？ ②小普同学拿了15张图①中的卡片（其中有7张B种卡片）.在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况 下，小普同学用全部卡片恰好铺满图③中的长方形ABCD,求此时长方形ABCD的边AB(用含 a、b的代数式表示)，并画出一种长方形ABCD内的卡片放置图. 36 “答案与解析”见PI39.(1)由题意，知小琪的计算过程为(3m十a)(3m一b)= 9m2-3bn+3am-ab=9m2+(-3b+3a)m-ab=9m2 3m一6，，∴.一3b+3a=一3①.小米的计算过程为(3m+ 2a)(2m-b)=6m2-3bm+4am-2ab=6m2+（-3b+ 4a)m-2ab=6m2-m-12,.∴.-3b+4a=-1②.②-①， 得a=2.把a=2代入①，得-3b+6=-3,∴.b=3. (2)a=2,b=3,∴.(3m+a)(2m-b)=(3m+2)· (2m-3)=6m2-9m+4m-6=6m2-5m-6. 10.8设AB=xcm,BC=ycm.∴.2(x+y)=12,x2十 y2=20.x+y=6.(x+y)2=x2+2xy+y2,.62 20十2xy..xy=8.∴.长方形ABCD的面积是8cm. 1.(1)这块梯形空地的面积为BC+AD)·BE 2 4+y+ut+》:a+2=(侵+号w+)平 2 方米.(2)：长方形广场的面积为(6.x2+12xy十9x)平 方米，宽为3x米，.长方形广场的长为(6x2+12y十 9x)÷3x=(2x十4y十3)米..长方形广场的长比梯形空 地的下底小5x+2y一(2x+4y+3)=(3x一2y一3)米. 11.5因式分解 第1课时提公因式法 1.C用提公因式法分解因式，应提的公因式为3(x一y). 2.D将分解后的多项式展开，与原多项式比较即可， 4xy·(x-y2+ab)=4xy·x+4xy·(-y2)+4xy· ab=4x2y-4xy3+4abxy,:'.4x2y-N=4x2y-4xy3+ 4abxy..'-N=-4xy3+4abxy..'N=4xy3-Aabxy. 3.B:长为a、宽为b的长方形的周长为10，∴.a十b= 10÷2=5..a2b+ab2=30,∴.ab(a+b)=30..∴.5ab= 30.∴ab=6,即它的面积为6. 4.5x2y(x-2y）5x3y-10x2y2=5x2y(x-2y). 5.3或-3(x十2)(2x-1)-(x十2)可以分解因式成 2(x+m)(x+n),.(x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+ 2)(2x-2)=2(x+2)(x-1)=2(x+m)(x十n).∴.m 2,n=一1或m=一1，n=2,则m一n=2一（一1）=3或 m-n=-1-2=一3. 易错警示 忽略字母的值有两种可能 本题易忽略、n的值可能有两种不同的情况，从而 导致漏解 6.(1)原式=5x2y2(y一5x).(2)原式=一2x(x 9xy十2y2).(3)原式=(2m-n)(2m+31-n)=(2m- n)(2m+2m)=2(m十n)(2m-n).(4)原式=(x 2y)(x+3y-x+2y)=5y(x-2y). 7.B①因式分解的对象是多项式，该变形不是因式分 解；②右边(x十y)(x一y)一1是整式的差，不是几个整式 的积的形式，故该变形不是因式分解；③该变形是因式分 解；④该变形是因式分解.故是因式分解的有2个 8.A.2a2b-4ab2=2ab(a-2b)=-20,a-2b=5, .2ab=-4.∴.ab=-2. 9.AA.mn (m-n)-m(n-m)=(n-m)(-mn- m)=一m(n一m)(n十1)，故选项正确.B.6(p十g)2一 2(p+g)=(p+q)[6(饣+g)一2]=2(p+g)(3p+3g 1)≠2(p+q)(3p+q一1)，故选项错误.C.3(y-x)2+ 2(x-y)=(y-x)[3(y-x)-2]=(y-x)(3y-3x 2)≠(y-x)(3y-3x+2),故选项错误.D.3x(x+y)一 (x+y)2=(x十y)(3x一x-y)=(x+y)(2x一y)≠(x+ y)(2x十y),故选项错误. 10.n≥4多项式ab-ab"c的公因式为ab,∴.单项 式a3b,ab”c中a、b的最小指数分别为1,4.∴.整数n的 取值范围是n≥4. 11.(a+b-1)2原式=(a+b)(a+b-1)-(a+b 1)=(a+b-1)(a+b-1)=(a+b-1)2. 12.(1)原式=一2x3y(4x-3y+1).(2)原式=(2a一 3b)(x+3+3x-1-5x-7)=(2a-3b)(-x-5)= -(2a-36)x+5.(3)原式=a(2a-x)r(2a 1 2a+x)= 4ax(2a-x)2. 易错警示 分解因式时漏项或弄错符号 (1)当多项式的第一项的系数是负数时，一般先提出负 号，提出负号后，括号内的各项都要变号， (2)分解因式时不要漏项 13.(1)原式=m(m+n)(m-n-m-n)=-2mm(m十 1 ，1 n).当m十n=1,mn=2时，原式=一2X2X1=一1. (2)原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)3=(x-3y)2[7y+ 2(x-3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+ y）. 2x+y=6.原式=1×6=6， x-3y=1, 14.(1)提公因式法；2.(2)2025：(1+x)226.(3)1+ x+x(x+1)十x(x+1)2+·+x(x+1)"=(1+x)[1十 x十x(x+1)+…+x(x+1)"-1]=(1+x)2[1+x+…+ x(x十1)”2]=…=(1+x)"(1十x)=(1+x)+1. 第2课时公式法 1.D将42一y2用平方差公式分解因式可得，4x2一 y2=(2x+y)(2x-y),又4x2-y2=(2x+y)·A, .(2x+y)(2x-y)=(2x+y)·A..A=2x-y. 2.C:4x2一(k+1)x十9能用两数和（差）的平方公式 分解因式，∴.k+1=土12，解得k=一13或11. 3.Bx1+1+2x2=(x2+1)2,则A不符合题意；x+1+ 17=x1+18无法分解因式，则B符合题意；x+1一2x2= (x2-1)2=(x+1)(x-1)2,则C不符合题意：x+1- 17=x1一16=(x2十4)(x+2)(x一2)，则D不符合题意 4-(+)》°原式=-(e+x+)=-(+2)月， 5.34m2-n2=(2m十n)(2m-n)=3. 6.)原式=（号-八 (2)原式=(x-2)(x2 16)=(x-2)(x+4)(x-4).(3)原式=-xy(x2- 10x+25)=-xy(x-5)2. 7.D要使36x口-49y2能用平方差公式分解因式，需 36x口为平方形式.36=62，∴.36x口需写成(6x)2的形 式，即x的指数口=2k,为正偶数.又，该指数为不大于 10的正整数，.符合条件的正偶数为2,4,6,8,10，共有 5种可能的结果 8.D16-8x十x2=(4-x)2.x>4,.(4-x)2的算 术平方根为x一4.∴.该正方形的边长为(x一4)cm.∴.该 正方形的周长是4(x一4)=(4x一16)cm. 9.Dmx2-m=m(x+1)(x-1),mx2-2m.x+m m(x2一2x+1)=m(x-1)(x-1),则公因式为m(x-1). 10.D根据题意，得2a+2b=14,ab=10,∴.a十b=7. .ab+ab:+2a2b2=ab (a2+b2+2ab)=ab (a+b)2= 10×72=490. 11.49由条件可知4a+b=7,∴.16a2+8ab+b2=(4a+ b)2=72=49. 12.17(n+17)2-n2=(n+17+n)(n+17-n)= 17(21+17),且n为任意整数，.(n+17)2一n2的值总可 以被17整除..k的值为17. 13.9原式=x2+4xy-2xy+y2=x2+2xy+y2=(x+ y)2.x十y+3=0,.x+y=-3..原式= (-3)2=9. 14.(1)原式=3a(x+y)[(x+y)2-9a2]=3a2(x+ y)(x+y+3a)(x+y-3a).(2)原式=(x2+9y2+ 6xy)(x2+9y2-6xy)=(x+3y)2(x-3y)2.(3)原 式=(y2-1)(x2+2x+1)=(y+1)(y-1)(x+1)2. (4)原式=-m[(a2+2)2-6(a2+2)+9]=-m(a2+2- 3)2=-m(a2-1)2=-m(a+1)2(a-1)2. 方法归纳 因式分解的一般步骤 (1)提，指多项式中若含有公因式，则一般先用提公因式 法分解 (2)套，指提取公因式后，若含有符合两数和（差）的平方 公式或平方差公式特征的多项式，则均可套用公式进行 因式分解 (3)查，一查括号，即因式分解的结果只能出现小括号， 若过程中出现中括号、大括号，则需要转化成小括号的 形式，同时化简括号内的多项式：二查各项是否分解彻 底，即要分解到不能再分解为止 15.(1)(x-y-1)2令x-y=m,则(x-y)2-2(x y)+1=m2-2m+1=(m-1)2.将m=x-y代人，得原 式=(x-y-1)2.(2)令a2-4a=n,则(a2-4a)2+ 8(a2-4a)+16=n2+8n+16=(n+4)2.将n=a2-4a代 人，得原式=(a2-4a十4)2=(a-2) 微专题·十字相乘法分解因式 1.(1)(x+2)(x+3).(2)(x-4)(x+1).(3)由 题意得，x2+x-15=(x十a)(x+5),∴.x2+x 15=x2十(a+5)x+5a.a、p均为整数，.5a= 一15，a+5=p,∴.a=一3，p=2. 综合与实践2面积与代数恒等式 1.B如图，设正方形AJGK的边长为a,正方形EICL的 边长为b,则有a2+b2=130.·AB=3,AD=4,∴.IF= a-3,JF=6-4,LH=a-4,HK=b-3..'.EF=6+a- 3,GF=a+b-4.:'长方形EFGH的周长为50，∴.EF+ GF=50×号=25，即6十a-3+a+6-4=25,整理，得 a+b=16.:S,=LH·HK=(a-4)(b-3),S2=IF· JF=(a-3)(b-4),∴.S1-S2=(a-4)(b-3)-(a 3)(b-4)=a-b.a2+b2=130,a+b=16,.2ab= (a+b)2-(a2+b2)=162-130=126.∴.(a-b)2=a2+ b2-2ab=130-126=4.:S1>S2,.S,-S2=a-b> 0..S1-S2=a-b=2..S1-S2的值为2. H (第1题) 2.B如图，①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之 和等于长方形ABCD的周长，故说法①正确.②长方形的 长为a十2b,宽为2a十b,若该长方形的长、宽之比为2：1， 则a十2b=2(2a十b),解得a=0,这与题意不符，故说法 ②不正确.③当长方形ABCD为正方形时，2a十b=a十 2b,∴.a=b.∴.九部分都为正方形，故说法③正确.④当长 方形ABCD的周长为60时，即2(2a十b十a+2b)=60,整 理，得a十b=10,.四边形GHWD的面积为100.∴.当长 方形ABCD的周长为60时，它的面积不可能为100，故说 法④不正确.综上所述，正确的有①③. GN D (第2题) 3.(1)(2a+b)(a+2b).题图②中九个部分的面积和为 2a2+5ab+2b,整体上看是长为2a十b、宽为a+2b的长 方形，因此面积为(2a+b)(a+2b),∴.2a2+5ab+2b2= (2a十b)(a十2b).(2)①设AB=x.由题图④可知， S1=2ax-2a2,S2=3bx-2ab-b2,S1-S2=2ax-2a2- 3ba+2ab+b2=(2a-3b)x-2a2+2ab+b2.当AB的 长度变化时，S,一S,的值始终保持不变，即含x的项的系 数为0，∴.2a-3b=0.②设AB=ma+nb.AB·BC= (ma+nb)(2a+3b)=2ma2+(3m+2n)ab+3b2..用了 (3m+2m=7, B种卡片7张，A、C种卡片共8张，. 解得 2m+3n=8, m=1, ∴.AB=a十2b.作图如图所示（卡片放置顺序不 n=2. 唯一 F bB B CC C bB B CCC aA A BBB B aa Eb b bC (第3题) 第11章拔尖自主测评 1.A3=2,3=5,3=3,.3+0+1=3X30X3= 2×5×3=30. 2.B:N·(-2xy2)=-3a.x2y,∴.N=-3a.x2y÷ （-2y2)=3 ax2-'y-2=3 "2ary2. 3.C①(a1)1=a1x1=a6,而原式写为a+1=a8,错误， 不符合题意.②[(b2)2=(b)2=b8,且指数相乘过程正 确，正确，符合题意③(x3)2=x6,∴.原式=一（一x)= x,正确，符合题意.④一(y2)3=一y≠y,错误，不符合 题意.∴.正确的有②和③，共2个 4.C6am+1b"+1·（一4a2m-1b"-1)=一24a3mb2m..单项 式6am+1b"+1与一4a2m-1b”-1的积与7a3b是同类项， ∴.-24a3mb2与7a3b是同类项.∴.3m=3,2m=6,解得 m=1,n=3.∴.mn=1X3=3. 5.C(3x+2y)(2x+y)=6x2+7xy+2y2,故需用6张 甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别 为3x十2y、2x十y的长方形.甲、乙、丙三种长方形或正 方形纸片各6张，∴.乙种纸片缺1张. 6.D(x±9y)2=x2±18.xy+81y2,∴.k=±18. 7.B8x(m2-n2)-8y(m2-n2)=8(x-y)(m2-n2)= 8(x一y)(m十n)(m一n).根据密码手册：8对应“我”， x一y对应“施”，m十n对应“爱”，m一n对应“恩”，∴.组合 后明文可能是我爱恩施： 8.B.(a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2-c2=(a-b c)(a一b十c),又a、b、c是三角形三边长，.b十c>a a+c>b.:a-b-c=a-(b+c)<0;a-b+c=(a+ c)-b>0..(a-b-c)(a-b+c)<0..(a2-2ab+ b2)一c20,即原代数式的值小于零 9.x2(x3)2÷x1=x6÷x1=x2. 101（-8)X0.5m=(-8)×(号)"=(-8)m× (g)-(-8x8)=(-10=1 100 11.128ab"÷28a"62= 28a*6=ab",又 28a6" 28ab"÷28a"b2=ab2,∴.a1-"bm-2=ab2..4-n=1, m-2=2,解得n=3,m=4.∴.m一n=4-3=1. 12.-2019x2-2x-1=0,.x2=2x+1..x3= x·x2=x(2x+1)=2x2+x=2(2x+1)+x=4x+2+ x=5x+2..∴.2x3-7x2+4x-2016=2(5x+2)一7(2x+ 1)+4x-2016=10x+4一14x-7+4x-2016=(10x- 14x+4x)+(4-7-2016)=-2019. 13.>S,=(a+b)2=a2+2ab+b,S2=(a-b)(a+ 2b)=a2+ab-2b2,S1-S2=(a2+2ab+b2)-(a2+ab- 2b2)=a2+2ab+b2-a2-ab+2b2=ab+3b2.:ab+ 3b2>0,∴.S1-S2>0..S1>S2 14.21由于m一n>1,且m、n为正整数，设d=m一n> 1,则d≥2.当d=2时，m2-n2=(m十n)(m-n)=4(n+ 1)(n≥1)，得到：8,12,16,20,24,28,32…当d=3时， “智慧优数”为3(2+3)(n≥1)，得到：15,21,27,33,39， 45…当d=4时，“智慧优数”为8(n+2)(n≥1)，得到： 24,32,40,48,56,64…当d=5时，“智慧优数”为5(21+ 5)(n≥1)，得到：35,45,55,65,75,85…当d=6时，“智 慧优数”为12(n+3)(n≥1)，得到：48,60,72,84,96， 108…将这些“智慧优数”按从小到大的顺序排列：8,12， 15,16,20,21,24,27,28,32…故第6个“智慧优数” 是21. 15.(1)(-2x2y)3+(-x3)2(-y)2y=-8xy3+ xy3=-7xy3.(2)(2a-5b)·(3a2-2ab+b2)= 2a·(3a2-2ab+b2)-5b·(3a2-2ab+b2)=6a3- 4ab+2ab2-(15a2b-10ab2+5b3)=6a3-4a2b+2ab2 15a2b+10ab2-5b3=6a3-19a2b+12ab2-5b3. (3)(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1)=xy-2x+ 2y2-4y+2y2+2y-4xy-4x=4y2-3xy-2y-6x. 16.(1)原式=a(x-8.x2y2+16y)=a(x2-4y2)2= a[(x+2y)(x-2y)]=a(x+2y)2(x-2y)2.(2)原 式=m2(m-81n)=m2(m2-9n2)(m2+9m2)=m2(m+ 3m)(m-3n)(m2+9n2.(3)原式=x[16a2b2-(a2+ 4b)2]=x[4ab+(a2+4b2)][4ab-(a2+4b2]= -x(a2+4ab+4b2)·(a2-4ab+4b2)=-x(a+ 2b)2(a-2b)2.