12.1 命题、定义、定理与证明-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

第12章 全等三角形 12.1命题、定义、定理与证明 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.*有下列命题：①在同一平面内，a、b、c是三条不同的直线，若a与b相交，b与c相交，则a与c 相交；②已知a、b、c是三条不同的直线，若a⊥b,a⊥c,则bc;③若一个角的两边与另一个角 的两边分别平行，则这两个角一定相等.其中，假命题有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.有下列语句：①两点确定一条直线；②含有未知数的等式叫方程；③点到直线的距离是该点到 这条直线的垂线段的长度；④连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.其中，不属于定义 的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.有下列语句：①在直线AB上取一点E;②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；③内错角 相等；④同角的补角相等.其中，属于定理的是 .(填序号) 4.教材61练习T3变式)把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，写出命题的条件和结论，并 判断该命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例， (1)两直线平行，同旁内角互补. (2)被减数一定大于差. (3)不相交的两条射线一定平行. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.下列命题中，是真命题的为 () A.若a十b>0,则a>0,b>0 B.若a=b,则a2=b2 C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等D.不相交的两条直线是平行线 6.如图，线段AC、BD相交于点O,连结AD、BC,并延长AD至点E,∠BCA的平分线与∠BDE 的平分线相交于点M.有以下命题：①若∠A=2∠BCM,则AEBC;②若∠M=2∠BDM,则 AEMC;③若∠A=∠B,则∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO, 则∠M一∠B=90°.其中，真命题的个数是 ( M-C A.1 B.2 C.3 D.4 (第6题) 7能说明“如果r为实数，那么代数式生-(+1)+士3》十山的值一定为正数是假命 2 题的一个反例是 40 第12章全等三角形 8.★对“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线平行”进行证明（先画图，写 出已知、求证，再证明) 9.如图，有下列条件：①AB⊥BC,CD⊥BC;②BECF;③∠1=∠2.请你选择其中 两个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并用推理的方法说明它是真 命题 (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，E、F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连结DE、BF,点H在CD的延长线 上，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P.已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C. (1)试判断DE与BF是否平行，并加以证明. (2)求证：∠C=2∠P (第10题) “答案与解析”见P15 41易错警示 因式分解要注意选择方法 对于较复杂的因式分解题，首先要考虑的方法不是 公式法，而是提公因式法，如第(1)小题，如果先考虑公 式法，就不好分解因式：第(2)小题，若先运用公式法分 解因式，则容易出现分解不彻底的错误」 17.(1),长方形活动场地的长为(3a+2b)m,宽为(2a十 b)m,.∴.长方形活动场地的面积为(3a十2b)(2a十b)= (6a2+7ab+2b)m.长方形舞台的长为(a+2b)m,宽 为(a十b)m,∴.长方形舞台的面积为(a+2b)(a十b)= (a2+3ab+2b)m2.∴.塑胶跑道（涂色部分）的面积为 6a2+7ab+2b2-(a2+3ab+2b2)=(5a2+4ab)m. (2)·a=5,b=4,∴.塑胶跑道的面积=5×52十4×5×4 205(m).铺设塑胶跑道的价格为每平方米100元， “.铺设塑胶跑道共需205×100=20500（元）. 18.1)A=(x-3)(2x+1)-2(x2+号-1)=2x2 5x-3-2x2-x+2=-6x-1:B=(2x3+5.x2)÷x2 2y=2x+5-2y.(2)由(1)得A=-6.x-1,B=2x+ 5-2y.A+B=6,∴.(-6x-1)+(2x-2y+5)=6,化 简得，2十y=-1x+之=-2(+2(x-2) x(-1)-(-y2+6y)÷2y=x2-4-x2+x+-3 x+3-7=--7=-7分 1 19.（1)设n-2022=a,2026-n=b..a+b=n 2022+2026-n=4.(n-2022)2+(2026-1)2=4, .a2+b2=4.∴.2ab=(a+b)2-(a2+b2)=16-4= 12..∴.ab=6..∴.(n-2022)（2026-n)的值为6. (2)正方形ABCD的边长为x,AE=1,CF=3, ∴.DE=MF=x-1,ME=DF=x-3.设x-1=a,x 3=b,∴.a一b=x一1-(x一3)=2.长方形EMFD的 第12章 12.1命题、定义、定理与证明 1.D在同一平面内，a、b、c是三条不同的直线，若a与b 相交，b与c相交，则a与c可能平行，可能相交，故①是假 命题.“若a⊥b,a⊥c,则bc”的前提条件是“在同一平面 内”，故②是假命题.若一个角的两边与另一个角的两边分 别平行，则这两个角相等或互补，故③是假命题.综上所 述，假命题有3个。 方法归纳 判断命题真假的方法 要判断一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例 面积是24，∴.EM·MF=24...(x一1)(x一3)=24 ∴.ab=24.∴.(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+4×24=4十 96=100..a十b>0,.a十b=10...涂色部分的面积= 正方形MFRN的面积一正方形GFDH的面积=MF2 DF2=(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b)(a-b)= 10×2=20. 20.(1)不是.由题意得，6=6×1=3×2，由6=a2- 6=(a+b)(a-b),可得a+b=6或a+6=3, 根据等 a-b=1 或a-b=2, 式的性质把上、下两式分别相加，可得2a=7或2a=5,解 得a=3.5或a=2.5,不是正整数，均不符合题意，故6不 是“平方差数”.(2)设该三位数十位上的数字为x,个位 上的数字为(x十3)，则其各个数位上的数字之和为1+十 x十(x十3)=2x十4=2(x十2).2x十4为“平方差数”， 由2(x+2)=a2-b2=(a+b)(a-b),可得 1a+b=2,或 a十b=x+2·根据等式的性质把上，下两 a-b=x+2a-b=2, 式相加，可得2a=x十4.a为正整数，.2a为偶数 :4为偶数，x是偶数.当x=0时，x十3=3.：当x= {a十b=2 0时，a-b=2 a=2与4b均为正整数矛盾此 解得 b=0, 种情况不合题意，舍去.当x=2时，x+3=5,∴.当x= 年得价 a十b=4, 2时， ，符合题意.∴该三位数是 {a-b=2, a十b=6'解得 125.当x=4时，x十3=7，小当x=4时，0-b=2, 0=4符合题意“该三位数是147.当x=6时x十3 b=2. a十b=8, 9,.当x=6时， 解得 a-b=2, a=5·符合题意.·该三 b=3, 位数是169.当x=8时，x+3=11>9,与原数是三位数矛 盾，∴.所有符合条件的三位数为125,147,169 全等三角形 2.A定义是清楚地规定某一名称或术语意义的句子，而 ①是直线的性质，不是定义 3.④①在直线AB上取一点E,不是命题，故不是定理， 不符合题意；②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 原命题是假命题，故不是定理，不符合题意；③“内错角相 等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理， 不符合题意；④同角的补角相等，是定理，符合题意， 4.(1)如果两直线平行，那么同旁内角互补.条件是两直 线平行，结论是同旁内角互补.该命题是真命题.(2)如 果两个数相减，那么被减数大于差.条件是两个数相减，结 论是被减数大于差.该命题是假命题.反例不唯一，如被减 15 数是3，减数是一1，它们的差为4，此时差大于被减数 (3)如果两条射线不相交，那么这两条射线一定平行.条件 是两条射线不相交，结论是这两条射线一定平行.该命题 是假命题.反例不唯一，如射线AB与射线CD不相交，但 是射线AB与射线CD不平行（如图）】 D C A B (第4题) 5.BA.若取a=5,b=一3，则a+b=2>0但b<0,故该 命题是假命题，不符合题意；B若α=b,则两边平方得 α2=b2,故该命题是真命题，符合题意：C.只有当两条直线 平行时，这两条直线被第三条直线所截的内错角才相等， 故该命题是假命题，不符合题意；D.不相交的两条直线可 能不在同一平面（如异面直线），不一定是平行线，故该命 题是假命题，不符合题意， 6.C:CM平分∠ACB,.∠ACB=2∠BCM. ∠A=2∠BCM,∴.∠A=∠ACB..AE∥BC,故①是 真命题.DM平分∠BDE,∴.∠BDE=2∠BDM. :∠M=2∠BDM,.∠M=∠BDE.由∠M=∠BDE 无法证明AE∥MC,故②是假命题.·∠A=∠B, ∠AOD=∠BOC,∴.∠ADB=∠ACB..·∠BDE十 ∠ADB=180°，.∠BDE+∠ACB=180°.CM平分 ∠ACB,DM平分∠BDE,∴.∠EDM+∠BCM= 号∠BDE+2∠ACB=号X180°=90，故③是直命题如 图，延长CM交BD于点E.∠ADO=∠BCO,∠BDE+ ∠ADO=180°，∴.∠BDE+∠BCO=180°.：CM平分 ∠ACB,DM平分∠BDE,.∠BDM+∠BCM= 号∠BDE+号∠B00=X180=90.:∠CMD ∠CFD+∠BDM,∠CFD=∠B+∠BCM,∴.∠CMD ∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°.∴.∠CMD-∠B= 90°，故④是真命题.∴.真命题的个数是3. A D E 0 MC B (第6题) 7.x=-多：-(x+1)+5+》+业 2 2 2-(x2+2x+1)+52+5x+1山= 2 x2+x-2x2-4x-2+5x2+15.x+11_42+12x+9 2 2x寸3》≥0当2x+3=0,即x=-号时，题中的代数 2 式的值不是正数“x=一是符合命题的条件，不符合命 题的结论“x=一子是唯-一个反例 8.已知：如图，EM∥FN,直线AC分别交EM、FN于点 A、C,AB、CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线.求证： ABCD.证明：'EM∥FN(已知)，∴.∠EAC=∠FCG (两直线平行，同位角相等).：'AB平分∠EAC,CD平分 ∠PCG(E知)，·∠EAB=∠BMC=是∠EAC ∠RCD=∠DOG=号∠FCG(角平分线的定义)， .∠BAC=∠DCG(等式的性质).∴.ABD(同位角相 等，两直线平行). G (第8题) 方法归纳 命题证明的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论，若命题与图形有关，则根据 题意，画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号. (2)根据条件和结论，结合图形，写出已知、求证 (3)观察图形，分析证明思路，找出证明方法， (4)写出证明的过程，并注明依据」 9.答案不唯一，如选①②作为条件，③作为结论.：'AB⊥ BC,CD⊥BC,∴.∠ABC=∠DCB=90°.BE∥CF, ∴.∠EBC=∠FCB.∴.∠ABC-∠EBC=∠DCB- ∠FCB.∴.∠1=∠2. 10.(1)DEBF.:∠3=∠4（已知），∴.BDCE(内错角 相等，两直线平行).∴.∠5=∠FAB(两直线平行，内错角 相等)..∠5=∠C(已知)，∴.∠C=∠FAB(等量代 换)..AB∥CD(同位角相等，两直线平行).∴.∠2= ∠BGD(两直线平行，内错角相等).，'∠1=∠2（已知）， ∴.∠1=∠BGD(等量代换).∴.DE∥BF(内错角相等，两 直线平行).(2)：AB∥CD(已证)，.∠P=∠PDH (两直线平行，内错角相等).DP平分∠BDH(已知)， ∴.∠BDP=∠PDH(角平分线的定义)..∠BDP=∠P (等量代换).：'∠5=∠P+∠BDP(三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和)，∴.∠5=2∠P(等量代 换).∠5=∠C(已知)，∴.∠C=2∠P(等量代换). 12.2三角形全等的判定 第1课时全等三角形的判定条件 1.55或60°.∠B=55°，∠C=65°，..∠A=180°-