12.1命题、定义、定理与证明（基础篇）练习2025-2026学年华东师大版 数学八年级上册

12.1命题、定义、定理与证明 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 命题 定义：可以判断真假的陈述句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分。 公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。 定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。 型 习 练 题 判断是否是命题 1．下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 2．下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 3．下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 4．下列句子是命题的是（    ） A．画 B．小于直角的角是锐角吗？ C．连接 D．三角形的内角和为 5．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 写出命题的题设与结论 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 7．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 8．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 9．命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 10．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 判断命题真假 11．下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．邻补角一定互补 D．相等的角是对顶角 12．下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两个锐角之和为钝角 C．邻补角一定互补 D．有且只有一条直线与已知直线垂直 13．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．同位角相等 D．对顶角相等 14．下列命题为真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 15．下列命题中假命题是（    ） A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数 C．对顶角相等 D．在同一平面内，若，则 举例说明真假命题 16．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 18．下列选项中a的值，可以作为命题“对于任何实数a，”是假命题的（　　） A． B． C． D． 19．对于命题“若，则”能说明它的逆命题属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 20．用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 写出一个命题的已知、求证及证明过程 21．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 22．证明：等角的补角相等． 23．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 24．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 25．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 已知证明过程填写理论依据 26．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 27．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 28．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1命题、定义、定理与证明 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 命题 定义：可以判断真假的陈述句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分。 公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。 定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。 型 习 练 题 判断是否是命题 1．下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 2．下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 【答案】A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 3．下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句； A、C、D均为几何真命题，是陈述句； B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假； ∴ B不是命题． 故选：B 4．下列句子是命题的是（    ） A．画 B．小于直角的角是锐角吗？ C．连接 D．三角形的内角和为 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的概念，命题是能判断真假的陈述句．根据命题的定义即可作出判断即可． 【详解】解：∵命题需为陈述句且可判断真假， A项“画”为指令，非陈述句； B项“小于直角的角是锐角吗？”为疑问句，非陈述句； C项“连接”为指令，非陈述句； D项“三角形的内角和为”为陈述句，且在初中几何中为真命题． ∴只有D是命题． 故选：D． 5．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】A、是命题，故不合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 写出命题的题设与结论 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 7．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 8．命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，命题由条件和结论组成，通常形式为“如果条件，那么结论”，题目中的命题“两个锐角相等”可还原为“如果两个角是锐角，那么它们相等”，因此条件为“两个角是锐角”． 【详解】解：命题“两个锐角相等”的条件是两个角是锐角． 故选：C． 9．命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题的结果，改写成“如果┈那么┈”的形式的方法即可求解． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果┈那么┈”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ∴命题的题设为“对顶角”， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的结构组成，命题的改写方法，掌握以上知识是解题的关键． 10．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（    ） A．这个命题是真命题 B．条件是“一个三角形有两个角相等” C．结论是“这两个角所对的边也相等” D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 【答案】D 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”， 则选项A、B、C正确，不符合题意， 不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键． 判断命题真假 11．下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．邻补角一定互补 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题是关于命题真假判断的题目， 正确的命题叫真命题， 根据初中数学知识，逐一判断各选项命题的真假．同位角相等需两直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直在同一平面中成立；邻补角一定互补是定义；相等的角不一定是对顶角。 【详解】解：A．∵同位角相等必须在两直线平行时成立，否则不一定相等， ∴ A是假命题； B．∵ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，不在同一平面中不成立， ∴B是假命题； C．∵ 邻补角一定互补，这是邻补角的定义， ∴ C是真命题； D．∵ 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但非对顶角， ∴ D是假命题． 故选：C． 12．下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两个锐角之和为钝角 C．邻补角一定互补 D．有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，角的和差关系，邻补角的定义，垂线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，所以原命题为假命题，不符合题意； B、两个锐角之和可能为锐角，直角或钝角，所以原命题为假命题，不符合题意； C、邻补角一定互补，所以原命题为真命题，符合题意； D、过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题为假命题，不符合题意； 故选C 13．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．同位角相等 D．对顶角相等 【答案】D 【详解】本题考查判断命题的真假，根据等式的性质，不等式的性质，平行线的性质，对顶角的性质，进行判断即可． 【分析】解：A、若，则，原命题为假命题，不符合题意； B、若，则，原命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题为假命题，不符合题意； D、对顶角相等，是真命题，符合题意； 故选D． 14．下列命题为真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理．根据对顶角的性质、平方运算，实数的运算法则和无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，该选项符合题意； B、若，则，原命题是假命题，该选项不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，如和，它们的和就不是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； 故选：A． 15．下列命题中假命题是（    ） A．平移不改变图形的形状和大小 B．负数的平方根是负数 C．对顶角相等 D．在同一平面内，若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查真假命题、平移、平方根、对顶角及平行线的性质，正确理解这些概念是解题的关键；根据平方根、平移、对顶角和平行线的性质判断各命题的真假即可． 【详解】解：∵负数没有平方根，∴ “负数的平方根是负数”是假命题；故B选项是假命题； A选项：平移不改变图形的形状和大小，是真命题； C选项：对顶角相等，是真命题； D选项：在同一平面内，若，则，是真命题； 故选B． 举例说明真假命题 16．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假识别，假命题的定义，熟悉掌握命题的构造是解题的关键． 把和的值分别代入式子中寻找满足，不满足的值即可． 【详解】A：把，代入可得：，成立；此时不符合，故A是反例； B：把，代入可得：，不成立，故B不是反例； C：把，代入可得：，成立；此时符合，故C不是反例； D：把，代入可得：，不成立，故D不是反例； 故选：A． 17．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例；逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：对于A、B、C，得到的都是，不符合题意； 对于选项D： ∵，， ， ，， ， ， 故命题“若，则”不成立． 故选：D． 18．下列选项中a的值，可以作为命题“对于任何实数a，”是假命题的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查举反例判断假命题，将各选项中的数值分别代入，判断是否成立即可． 【详解】解：A．，即时，成立，不合题意； B．，即时，成立，不合题意； C．，即时，不成立，符合题意； D．，即时，成立，不合题意； 故选：C． 19．对于命题“若，则”能说明它的逆命题属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意；   B．，则，，是反例，故B符合题意．   C．，则，，不是反例，故C不符合题意；   D．，则 ，，不是反例，故D不符合题意．   故选：B． 20．用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，以及等式的性质，代值验证是解决本题的关键． 将选项中a，b，c的值代入验证是真假命题即可． 【详解】解：A选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义； B选项，当时，不满足，该例子不符合反例的定义； C选项，当时，满足，但，该例子符合反例的定义； D选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义． 故选：C． 写出一个命题的已知、求证及证明过程 21．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键． 先写出已知，求证，再证明即可． 【详解】解：已知：是两个连续的自然数． 求证：是偶数． 证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数． 当n是偶数时，是偶数． 综上所述，是偶数． 即两个连续自然数的积是偶数． 22．证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 23．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 24．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 25．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查写逆命题，并证明命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据命题写出已知，求证，进行证明即可． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题是真命题． 已知：在中，， 求证：是直角三角形， 证明：如图所示，在中，（三角形三个内角的和等于）． （等式的性质）． 已知， （等量代换）， 是直角三角形． 已知证明过程填写理论依据 26．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 27．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 28．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 学科网（北京）股份有限公司 $