11.4 专题特训三 与整式乘除有关的计算-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训三 与整式乘除有关的计算 类型一整式的混合运算 1.计算： (1)a(a-5b)+3ab3÷(-a2b)2. (2)[(-2xy)3(2x2y)2-xy2(-4xy2)2]÷16x2y3. 类型二运用性质、公式简便运算 2.下列关于962的计算方法正确的是 () A.962=(100-4)2=1002-42=9984 B.962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9216 C.962=(90+6)2=902+62=8136 D.962=(95-1)×(95+1)=952-12=9024 3.求(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(22+1)+1的结果的个位数字. 4.阅读下面的材料： 计算：3.1468×7.1468-0.14682. 解：设0.1468=a,则3.1468=a+3,7.1468=a+7.原式=(a+3)(a+7)-a2=a2+10a+ 21-a2=10a+21. 把a=0.1468代入，原式=10×0.1468+21=22.468.∴.3.1468×7.1468-0.14682=22.468. 仿照上面的方法，计算：67897×67898-67896×67899. 类型三乘法公式变形问题 5.已知a-b=7,ab=-10.求： (1)a2+b2的值. (2)(a+b)2+2(a-b)2的值. 类型四整体代入求值问题 6.整体思想已知m2+3m一1=0，求代数式(m+1)2十m(m+4)一2的值. 30 第11章整式的乘除 7已知实数a,6满足a+6=2ab=号，求(2a-a)÷(-a)-(a十b)a-b的值 类型五多余型问题 8.黄老师给学生出了一道题：当x=2025,y=2026时，求[2x(x2y一xy2)十xy(2xy一 x2)]÷x2y的值.题目出完后，李明说：“老师给的条件y=2026是多余的.”小颖说： “不给这个条件，就不能求出结果，所以不是多余的.”你认为他们谁的说法有道理？ 请说明理由. 类型六看错型问题 9.小琪、小米两人在计算一道整式乘法题(3m+a)(2m一b)时，小琪由于把第二个多项式中的 “2m”看成了“3m”,得到的结果为9m2一3m一6，小米由于把第一个多项式中的“十a”看成了 “+2a”,得到的结果为6m2-m一12.求： (1)a、b的值. (2)此题的正确结果. 类型七图形类问题 10.如图，长方形ABCD的周长是12cm,分别以AB、AD为边向外作正方形 H A D ABEF和正方形ADGH.若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm,则F 长方形ABCD的面积是 cm2. 11.某市有一块如图所示的梯形空地ABCD,梯形空地的上底BC长为(4x十y)B (第10题) 米，下底AD长为(5.x+2y)米，高BE为(x+2y)米。 (1)求这块梯形空地的面积. (2)现计划对这块梯形空地进行改造，修建一个长方形广场，若长方形广场的面积为(6x2十 12xy+9x)平方米，它的宽为3x米，则长方形广场的长比梯形空地的下底小多少米？ (第11题) ●“答案与解析”见P11 318.54原式=8xy-4y+3xy=8ry-4x2y+ 3xy2.由xy2=2,得x3y=(xy2)3=8,x2y=(xy2)2= 4.∴.原式=8×8-4×4+3×2=64-16十6=54. 9.120n=(4a2b-2a3)÷(-2a)2=(4a2b-2a3)÷ 4a2=b-za.a=2,b=4.…m-a2+ab2+6 2+2X4+子×=4+32+4=40，m=6-2a=4 1 ×2=3.m=40X3=120. 10b+骨。原窗框的面积为6+令×受 =ab十 4 8,“新的长方形的面积保持不变，新的窗框的高度 πa 应为(w+g)÷a=b+ga. 11.11a⊕b=(a2b+ab+ab2)÷ab=a+1+b, ,∴.2⊕(3⊕4)=2⊕(3+1+4)=2⊕8=2+1+8=11. 12.[(a+2b)2+(a-2b)(2b+a)-2a(2a-b)]÷2a= (a2+4ab+4b2+a2-4b2-4a2+2ab)÷2a=(-2a2+ 6ab)÷2a=-a十3b.a、b满足|a-1|+(b+3)2=0, ∴.a-1=0,b+3=0,解得a=1,b=-3.∴.当a=1, b=一3时，原式=一1十3×（一3）=一1一9=一10. 13.工件的体积为(a2+2a)(6a+1)一a(a2-2a+2)= 6a3+a2+12a2+2a-a3+2a2-2a=5a3+15a2,底面积 为2a·3a-a2=5a2,∴.该工件的长x=(5a3+15a2)÷ 5a2=a+3. 14.设小明所想的数为a(a≠0).由题意，得[(a十2)2一 4]÷a=(a2+4a)÷a=a+4.∴.小明算出的结果减去 4就是小明所想的数. 15.(1)x+3;1.计算(3z2+10x+4)÷(3x+1)时，列出 如图①所示的竖式，可知商式是x十3，余式是1. (2)x3一2x2一5.x一2能被x十1整除.理由：列出如图②所 示的竖式，可知x3一2x2一5x一2能被x+1整除. (3)(x+2)(x-1)=x2+x-2,若多项式2x+3x3+ ax2+7x+b能被(x十2)(x一1)整除，列竖式如图③所 示..a十3=9，b=-2(a+3),解得a=6,b=-18. (合)=()=(-3)=日 x2-3x-2 x+3 x+1)x3-2x2-5.x-2 3x+1)3x2+10x+4 x3+x2 3x2+x -3.x2-5.x 9x+4 -3x2-3x 9x+3 -2x-2 -2x-2 ① 0 ② 2x2 十x +(a+3) x2+x-22x4+3x3+ax2 +7x +6 2x1+2x3-4x2 x3+(a+4)x2+7x +x2-2x (a+3)x2+9x +6 (a+3)x2+(a+3)x-2(a+3) 0 ③ (第15题) 专题特训三与整式乘除有关的计算 1.(1)原式=a2-5ab+3a5b3÷ab2=a2-5ab+3ab= a2-2ab.(2)原式=[(-8x3y3)·4xy2-xy2· 16x2y]÷16.x2y3=（-32x7y5-16x3y5)÷16x2y3= -2x5y2-xy3. 2.B962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9216,故 选项A错误，选项B正确.962=(90十6)2=902十2×90× 6+62=9216,故选项C错误.962=(95+1)×(95+1)= 95+2×95×1十1=9216，故选项D错误 3.原式=(2一1)×(2+1)×(22+1)×(2+1)×…× (22+1)+1=(22-1)×(22+1)×(21+1)×…×(22+ 1)+1=21-1+1=21.2=2,22=4,23=8,24=16, 2=32,…,∴.2的正整数次幂的个位数宇按2,4,8,6这 4个数字为一个循环组依次循环.：64=16×4，.21的 个位数字和2的个位数字相同.∴.原式的结果的个位数 字是6. 4.设67897=a,则67898=a+1,67896=a-1,67899= a+2.原式=a(a+1)-(a-1)(a+2)=(a2+a)-(a2+ a-2)=a2+a-a2-a+2=2..67897×67898- 67896×67899=2. 5.(1)a-b=7,∴.(a-b)2=49.∴a2-2ab+b2= 49.ab=-10,∴.a2-2×(-10)+b2=49.∴.a2+b2= 29.(2)由(1)，得a2-2ab+b2=49.(a十b)2=a2+ 2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab=49+4×(-10)=9, .∴.(a+b)2+2(a-b)2=9+2×49=9+98=107. 6.(m+1)2+m(m+4)-2=m2+2m+1+m2+4m-2= 2m2+6m-1.m2+3m-1=0,.m2+3m=1. .2(m2+3m)=2,即2m2+6m=2..原式=2-1=1. 7.原式=(2a-a2)÷a2-(a2-b)=2a2-1-a2+b2= a2+62-1=a+6)-2ab-1当a+b=2ab=号时，原 1 式=2-2×2-1=4-1-1=2 8.李明的说法有道理.理由：[2x(x2y一xy2)+xy(2xy x2)]÷x2y=(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷x2y= xy÷x2y=x.:化简后的结果不含y,.原代数式的值 与y的值无关..李明的说法有道理。 9.(1)由题意，知小琪的计算过程为(3m十a)(3m一b)= 9m2-3bn+3am-ab=9m2+(-3b+3a)m-ab=9m2 3m一6，，∴.一3b+3a=一3①.小米的计算过程为(3m+ 2a)(2m-b)=6m2-3bm+4am-2ab=6m2+（-3b+ 4a)m-2ab=6m2-m-12,.∴.-3b+4a=-1②.②-①， 得a=2.把a=2代入①，得-3b+6=-3,∴.b=3. (2)a=2,b=3,∴.(3m+a)(2m-b)=(3m+2)· (2m-3)=6m2-9m+4m-6=6m2-5m-6. 10.8设AB=xcm,BC=ycm.∴.2(x+y)=12,x2十 y2=20.x+y=6.(x+y)2=x2+2xy+y2,.62 20十2xy..xy=8.∴.长方形ABCD的面积是8cm. 1.(1)这块梯形空地的面积为BC+AD)·BE 2 4+y+ut+》:a+2=(侵+号w+)平 2 方米.(2)：长方形广场的面积为(6.x2+12xy十9x)平 方米，宽为3x米，.长方形广场的长为(6x2+12y十 9x)÷3x=(2x十4y十3)米..长方形广场的长比梯形空 地的下底小5x+2y一(2x+4y+3)=(3x一2y一3)米. 11.5因式分解 第1课时提公因式法 1.C用提公因式法分解因式，应提的公因式为3(x一y). 2.D将分解后的多项式展开，与原多项式比较即可， 4xy·(x-y2+ab)=4xy·x+4xy·(-y2)+4xy· ab=4x2y-4xy3+4abxy,:'.4x2y-N=4x2y-4xy3+ 4abxy..'-N=-4xy3+4abxy..'N=4xy3-Aabxy. 3.B:长为a、宽为b的长方形的周长为10，∴.a十b= 10÷2=5..a2b+ab2=30,∴.ab(a+b)=30..∴.5ab= 30.∴ab=6,即它的面积为6. 4.5x2y(x-2y）5x3y-10x2y2=5x2y(x-2y). 5.3或-3(x十2)(2x-1)-(x十2)可以分解因式成 2(x+m)(x+n),.(x+2)(2x-1)-(x+2)=(x+ 2)(2x-2)=2(x+2)(x-1)=2(x+m)(x十n).∴.m 2,n=一1或m=一1，n=2,则m一n=2一（一1）=3或 m-n=-1-2=一3. 易错警示 忽略字母的值有两种可能 本题易忽略、n的值可能有两种不同的情况，从而 导致漏解 6.(1)原式=5x2y2(y一5x).(2)原式=一2x(x 9xy十2y2).(3)原式=(2m-n)(2m+31-n)=(2m- n)(2m+2m)=2(m十n)(2m-n).(4)原式=(x 2y)(x+3y-x+2y)=5y(x-2y). 7.B①因式分解的对象是多项式，该变形不是因式分 解；②右边(x十y)(x一y)一1是整式的差，不是几个整式 的积的形式，故该变形不是因式分解；③该变形是因式分 解；④该变形是因式分解.故是因式分解的有2个 8.A.2a2b-4ab2=2ab(a-2b)=-20,a-2b=5, .2ab=-4.∴.ab=-2. 9.AA.mn (m-n)-m(n-m)=(n-m)(-mn- m)=一m(n一m)(n十1)，故选项正确.B.6(p十g)2一 2(p+g)=(p+q)[6(饣+g)一2]=2(p+g)(3p+3g 1)≠2(p+q)(3p+q一1)，故选项错误.C.3(y-x)2+ 2(x-y)=(y-x)[3(y-x)-2]=(y-x)(3y-3x 2)≠(y-x)(3y-3x+2),故选项错误.D.3x(x+y)一 (x+y)2=(x十y)(3x一x-y)=(x+y)(2x一y)≠(x+ y)(2x十y),故选项错误. 10.n≥4多项式ab-ab"c的公因式为ab,∴.单项 式a3b,ab”c中a、b的最小指数分别为1,4.∴.整数n的 取值范围是n≥4. 11.(a+b-1)2原式=(a+b)(a+b-1)-(a+b 1)=(a+b-1)(a+b-1)=(a+b-1)2. 12.(1)原式=一2x3y(4x-3y+1).(2)原式=(2a一 3b)(x+3+3x-1-5x-7)=(2a-3b)(-x-5)= -(2a-36)x+5.(3)原式=a(2a-x)r(2a 1 2a+x)= 4ax(2a-x)2. 易错警示 分解因式时漏项或弄错符号 (1)当多项式的第一项的系数是负数时，一般先提出负 号，提出负号后，括号内的各项都要变号， (2)分解因式时不要漏项 13.(1)原式=m(m+n)(m-n-m-n)=-2mm(m十 1 ，1 n).当m十n=1,mn=2时，原式=一2X2X1=一1. (2)原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)3=(x-3y)2[7y+ 2(x-3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+ y）. 2x+y=6.原式=1×6=6， x-3y=1, 14.(1)提公因式法；2.(2)2025：(1+x)226.(3)1+ x+x(x+1)十x(x+1)2+·+x(x+1)"=(1+x)[1十 x十x(x+1)+…+x(x+1)"-1]=(1+x)2[1+x+…+ x(x十1)”2]=…=(1+x)"(1十x)=(1+x)+1. 第2课时公式法 1.D将42一y2用平方差公式分解因式可得，4x2一 y2=(2x+y)(2x-y),又4x2-y2=(2x+y)·A, .(2x+y)(2x-y)=(2x+y)·A..A=2x-y. 2.C:4x2一(k+1)x十9能用两数和（差）的平方公式 分解因式，∴.k+1=土12，解得k=一13或11. 3.Bx1+1+2x2=(x2+1)2,则A不符合题意；x+1+ 17=x1+18无法分解因式，则B符合题意；x+1一2x2= (x2-1)2=(x+1)(x-1)2,则C不符合题意：x+1-