11.3 第2课时 两数和(差)的平方&专题特训二 运用乘法公式的六种方法-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（华东师大版·新教材）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时 两数和（差）的平方 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.利用乘法公式计算(2x十3)2的结果是 () A.4x2+9 B.4x2-12x+9 C.4x2+12x+9 D.4x2+6x+9 2.若式子x2+m.x十400是一个两数和（差）的平方式，则m的值为 ( A.20 B.-40 C.±40 D.±20 3.计算1012+99的结果为 A.2002 B.2×2002 C.2×1002+1 D.2×1002+2 4.方程(3x-2)2-(5-3x)2=6.x一1的解为 5.计算： ①(m+知月 (2)(2a+3)2+(3a-2)2. (3)(x+3)(x-3)(x2-9). (4)(1-3a)2-2(1-3a)+(1+3a)2. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.已知a、b、c为常数，若(x一1)2+bx十c=x2-ax十16，则a+b+c的值为 () A.18 B.17 C.16 D.15 7.如图，由4个完全相同的小长方形与一个小正方形密铺成一个大正方形图案，该 图案的面积为100，其中小正方形的面积为16，小长方形的长为b,宽为a,b>a,6 有下列关系式：①a2+2ab+b2=100;②a2-2ab+b2=16;③a+b2=56; ④a2-b2=40.其中，正确的有 () A.1个 C.3个 D.4个 (第7题)》 B.2个 8.小明将(2023x+2024)2展开后得到a1x2+b1x十c1,小亮将(2024x一2023)2展开后得到 a2x2十b2x十c2.若两人计算过程无误，则c1一c2的值为 24 第11章整式的乘除 9.阅读理解题)【阅读理解】 已知x满足(70-x)(x-50)=30,求(70-x)2+(x-50)2的值. 解：设70-x=a,x-50=b. ∴.ab=30,a+b=(70-x)+(x-50)=20. .a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340. ∴.(70-x)2+(x-50)2=340. 【解决问题】 (1)若x满足(40-x)(x一30)=一20，则(40一x)2+(x一30)2的值为 (2)若x满足(2x-3)c-1)-号，则(3-2x)+4x-1)的值为 (3)如图，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,长方形EFGD的面积是200，四边形 VGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求涂色部分的面积. M D H G N (第9题) 微专题·两数和（差）的平方公式的变形 1.已知(2x+y)2=9,xy=1,则(2x一y)2的值为 A.3 B.2 C.1 2已知实数a,6满足a+h=2b-子，则。-6的值为 B- 5 A.1 C.±1 D. 比2 3.(1)已知a十b=5,ab=3,求a2十b2的值 (2)已知(x十y)2=25,(x-y)2=9,求xy的值 “答案与解析”见P8 25 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训二 运用乘法公式的六种方法 类型一直接运用公式 1.计算：(x十3y)(x-3y)-(x-y)2. 类型二交换位置运用公式 2.计算：(2x-y)(y+2x)-y(x-y)-(2x)2. 类型三连续运用平方差公式 3.计算：(9x2+1)(1-3x)(-3x-1). 类型四添括号后整体运用公式 4.*计算：(a+2b+2)(a-2b+2)-4(a-2)2. 类型五综合运用公式 5.计算：(1)(x-1)2(x+1)2(x2+1)2. 2a-2》+a+2川（a2-2》 类型六变形后运用公式 6计算：101-10号×992 7.已知x十y=6,xy=7,求(3x十y)2+(x十3y)2的值. 8.已知a十b=2,a2+b2=3.求： (1)ab的值. (2)a4十b的值. 26 >“答案与解析”见P9微专题·整式乘法中的“不含与无关”问题 1.A(x+2)(x2+m.x+n)=x3+mx2+n.x+2x2+ 2nx+2m=x3+(m+2)x2+(2m+n)x+2m.乘积 中不含x2项和x项，∴. m+2=0m=-2, (2m+n=0. (n=4. 2.C(2x+2)(3x+m)-2x(3x+6)=6x2+2mx+ 6x+2m-6z2-12x=2m-6x+2m=(2m-6)x+ 2m.代数式的值与x的取值无关，∴.2m一6=0，解得 m=3. 3.佳佳的解法不正确.正确的解题过程如下：(x3十 m.x+n)(x2-3x+4)=x5-3x1+(m+4)x3+(n 3m)x2十(4m一3n)x+4n..展开式中不含x3项和 m+4=0, x2项， n-3m=0 解得m=一4， n=-12. .(m+n)(m2 m+n2)=(-4-12)×[(-4)2-(-4)×(-12)+ (-12)2]=-16×(16-48+144)=-16×112= -1792. 11.3乘法公式 第1课时两数和乘以这两数的差 1.D(x+y-1)(x-y-1)= [(x-1)+y][(x-1)-y. 2.变小原来的土地面积为a2平方米，第二年的土地面 积为(a+7)(a-7)=(a2-49)平方米.(a2-49)-a2= 一49<0，∴.土地面积会变小 3.x2-1(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-1. 4.(1)原式=4n2-9m2.(2)原式=9x2y2-25a2b2. 3)原式-(40+号)×(40-)=40-（号）°-1600 -1599是.(4)原式=(2025+1DX(2025-1) 1 20252=2025-12-20252=-1. 5.D:(2-x+y)(2+x-y)=-10,设s=x-y, .(2-x+y)(2+x-y)=(2-s)(2+s)=4-s2 -10.∴.s2=14,即(x-y)2=14. 6.A.实数m、n满足(m2十2n2十5)(m2十2m2一5)= 0,∴.(m2+2n2)2-52=0..(m2+2n2)2=52..|m2+ 2n2|=5.又.m2+2n2≥0，∴.m2+2n2=5. 易错警示 运用平方差公式时的注意点 (1)公式中的字母a、b可以表示具体的数，也可以表示 单项式或多项式，公式中的a与b不是单个数字或字母 时，运用公式计算时要加括号. (2)运用平方差公式的关键是确定公式(a十b)(a一b) a2一b2中的a和b,完全相同的项是a,只有符号相反的 项是b,确定a和b后套用公式即可 7.一1设n=1002026,则1002025=n-1,1002027= n+1.原式=(n-1)(n+1)-n2=n2-1-n2=-1. 8.64原式=[(x+y)(x-y)]3=(x2-y2)3.x2- y2=4,∴.原式=43=64. 9.去括号，得36x2一63x一36x2+25+38=0.移项、合并 同类项，得63x=63.系数化为1，得x=1. 10.(2a+3b)(2a-3b)-(a+b)(3a-4b)=(4a2- 9b2)-(3a2-ab-4b2)=4a2-9b2-3a2+ab+4b2=a2- 5b2+ab.当a=-1,b=1时，原式=(-1)2-5×12+ (-1)×1=1-5-1=-5. 11.原式=15a2+5a-(4a2-49)=15a2+5a-4a2+49= 11a2+5a+49..11a2+5a-6=0,∴.11a2+5a=6. ∴.原式=11a2+5a+49=6+49=55. 12.(1)14.(5+4)2-52=92-52=81-25=56,56÷ 4=14.(2)比奇数2n+1大4的数为2n十5，∴.(2n+ 5)2-(21+1)2=(2n+5+21+1)(21+5-21-1)= 4(4n+6)..4n+6为整数，.4(4n十6)能被4整除. (3)能.理由：设这个数为n,则比n大4的数为n十4. (n+4)2-n2=(n+4+n)(n+4-n)=8m+16=8(n+ 2).:8(n十2)能被8整除，∴.比任意一个整数大4的数与 此整数的平方差能被8整除。 13.①D3",-：(3+1)(3+1D(3+1)(3+1D(30+ 2· 1D=28-1D3+1)(3+1)(3+1D(3+1)(8+1)= 支g-1g+1D8+1)g+1D8+1D=号g- (3+1D(3+1D0(3+1)=2(3-1)(3°+10(36+ 1)-(80-1(g+1》-2.(2)当mn时原 (m-n）(n+n）（m+n2)(m+n)(m8 m+n)=7当n=0时，原式=2m· 2m2·2m·2n8·2m16=32m31 第2课时两数和（差）的平方 1.C(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)=4x2+6x+6x+9= 4x2+12x+9. 2.C:式子x2十mx十400是一个两数和（差）的平方式， .m=土2×√400=±2×20=土40..m的值为士40. 3.D设a=100,b=1,则101=a+b,99=a-b. 1012+992=(a+b)2+(a-b)2=(a2+2ab+b2)+ (a2-2ab+b2)=2a2+2b2=2(a2+b2),∴.代入得2× (1002+12)=2×1002+2. 4x=月 (3x-2)2-(5-3x)2=6x-1,去括号，得 9x2-12x十4-25+30z-9x2=6x一1.移项、合并同类 项，得12x=20.系数化为1，得x=3 5 5.D原式=(3-3m）-(3)°-2×名u× 多m+(分m)'=可-号mn+m.(2)原式 4a2+12a+9+9a2-12a+4=13a2+13.(3)原式= (x2-9)(x2-9)=x4-18x2+81.(4)原式=1-6a+ 9a2-(2-6a)+(1+6a+9a2)=1-6a+9a2-2+6a+ 1+6a+9a2=18a2+6a. 6.B(x-1)2+bx+c=x2-ax+16,.x2-2x+ 1+bx+c=x2-ax+16..x2+(b-2)x+c+1=x2 ax+16.∴.b-2=-a,c+1=16..∴.a+b=2,c=15. ∴.a+b+c=2+15=17 7.B由题意，得大正方形图案的边长为a十b,小正方形 的边长为b一a.大正方形图案的面积为100，小正方形 的面积为16，.∴.(a十b)2=100,(b一a)2=16,即a2+ 2ab十b2=100,a2-2ab+b2=16.故①②正确.：4个长 为b、宽为a的小长方形的面积为100-16=84，即4ab= 84,..ab=21.又.a2+2ab+b2=100,..a2+b2=100 2×21=58.故③不正确.0<a<b,∴.a2<b2,即a2- b<0.故④不正确.综上所述，正确的为①②，有2个. 8.4047(2023x+2024)2=20232·x2+2·2023x· 2024+20242,即c1=2024,(2024x-2023)2=2024· x2-2·2024x·2023+20232,即c2=2023,.c1- c2=20242-20232=(2024+2023)×(2024-2023)= 4047×1=4047. 9.(1)140.设40-x=a,x-30=b.∴.ab=-20,a+ b=(40一x)+(x-30)=10..∴.a2+b2=(a+b)2-2ab= 102-2×(-20)=140..(40-x)2+(x-30)2=140. (2)10.设2x-3=m,x-1=.m=号，-m+21 (3-2x)+2(x-1)=1.∴.(-m)2+(2n)=(-m+ 2m)2+4mm=12+4×4=10.∴(3-2x)2+4(x-1)2= 9 10.(3)由题意，得ED=x-14,DG=x-30.∴.长方形 EFGD的面积为(x-14)(x-30)=200.设x-14=p, x一30=q,则MF=NF=饣十q.∴.g=200,p一g=(x 14)-(x-30)=16..涂色部分的面积为(p十q)2=(p g)2+4g=162+4×200=1056. 微专题·两数和（差）的平方公式的变形 1.C(2x+y)2=9,xy=1,.(2x-y)2=(2x+ y)2-8.xy=9-8=1. 2C 2atb-2b (atby-a+ b2=4.∴.(a-b)2=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab=4 4x子-1a-b=士1 3.(1)a+b=5,ab=3,∴.a2+b2=(a+b)2-2ab= 52-2X3=25-6=19.(2):(x+y)2=x2+2xy+ y2=25,(x-y)2=x2-2xy+y2=9,.(x+y)2 (x-y)2=(x2+2xy+y2)-(x2-2y+y2)=25- 9.∴.4xy=16.∴.xy=4. 专题特训二运用乘法公式的六种方法 1.原式=x2-9y2-(x2-2xy+y2)=x2-9y2-x2+ 2xy-y2=2.xy-10y. 2.原式=(2a-y)(2x+y)-(xy-y2)-4x2=4x2- y2-xy十y2-4x2=-xy. 3.原式=(-3x+1)(-3x-1)·(9.x2+1)=[(-3x)2- 1](9x2+1)=(9.x2-1)(9x2+1)=(9x2)2-12= 81x1-1. 4.原式=[(a+2)+2b][(a+2)-2b]-4(a-2)2=(a+ 2)2-(2b)2-4(a2-4a+4)=a2+4a+4-4b2-4a2+ 16a-16=-3a2+20a-4b2-12. 方法归纳 平方差公式的“七种变化” (1)位置变化：(b+a)(-b十a)=(a+b)(a一b)= a2-b2. (2)符号变化：(-a-b)(a-b)=(-b)2-a2=b2-a2. (3)系数变化：(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2= 9a2-4b. (4)指数变化：(a2+b3)(a2-b3)=(a)2-(b3)2= a-b5. (5)增项变化：(a+2b-c)(a-2b+c)=a2-(2b- c)2=a2-4b2+4bc-c2. (6)增因式变化：(a+b)(a一b)·(-a-b)(-a十b)= (a2-b2)·[(-a)2-b2]=(a2-b2)2. (7)连用公式变化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2 b2)(a2+b2)=a-b. 5.(1)原式=[(x-1)(x+1)(x2+1)]=[(x2-1)· (x2+1)=(x-1)2=x8-2x1+1.(2)原式=（a2 a++a2+a+)(2x-2）=(2a+2)(2a2 2）=4a-1 6.原式=(100+1)2-(100+2）×(100-2）=1002+ 200+1-102+号=201 7.原式=9x2+6y+y2+x2+6ay+9y2=10x2+ 12xy+10y2=10(x2+y2)+12xy=10[(x+y)2 2xy]+12xy=10(x+y)2-20xy+12xy=10(x+y)2 8y.当x+y=6,xy=7时，原式=10×62-8×7=304. 8.(1)a+b=2,.(a+b)2=a2+b2+2ab=4.又 a2+b2=3,∴3+2ab=4,解得ab=2.(2)a2+ b2=3,ab=2a'+b=(a2+b2)2-2a262=(a2+ 69-2a6r=3-2x(3）‘=82 11.4整式的除法 第1课时单项式除以单项式 1.A-21xy2÷(-7x3y)=[(-21)÷(-7]×(x4÷ x3)X(y2:y)=3Xx13Xy21=3xy. 2.B根据题意，可得这个单项式为一2a3bc2÷2a2b= -ac. 3.A:4y2十my+9能写成一个二项式的平方， ∴.4y2+my+9=(2y±3)2=4y2±12y+9..m= 土12.(-8m)÷(-2m2)=-8m -2m2 =4m,将m=士12代 入，得4m=±48.∴.（一8m3)÷(-2m2)的值为士48. 4.7y228xy8÷(2x2y3)2=28xy8÷4xy=7y2. 5.C A C.32ab7c3-16abc2= (32) 16)·a3. b-4·c3-2=2ab3c,∴.这两张卡片是C和A,作为被除式 的卡片是C 6.(10原式=-2c.(2)原式=1xy÷21x2y=3xy 7.DA.18ab2÷6ab=3b≠3ab;B.12x3y5÷ (-6x3y5)=-2≠-2x3y;C.-32(a2b)3÷(-2ab)3= 4a3≠16a3;D.(5x2y3)3÷(-5.xy)2=125.x5y÷ 25x2y2=5xy. 8.D:a=1.6×10,b=4×103,∴.a2÷2b=(1.6× 10)2÷(2×4×103)=2.56×1018÷(8×103)=0.32× 105=3.2×104. 9.1834.a(xmy1)3÷(3x2y)2=axy12: 9xy-号x-yw=2xy,号=23m-4=5, 12-2m=4,解得a=18,m=3,n=4. 102m:由题意，得长方体容器的宽为x·()°。 mn2÷(2mmn2,6m2n2)=24nn÷12mn=2n2. 3 11.自然数x、之满足2×3-1=72，∴.2×3÷3= 72.∴.(2×3=72X3..6=216=6..x=3.x= g=8.M=(号yg÷5x2y:）÷ 1 【3633 5-5X3X 第2课时多项式除以单项式 1.A根据题意，得(-6a3+3x2y-3x2)÷(-3x2)= (-6x3)÷(-3x2)+3x2y÷(-3x2)-3x2÷(-3x2)= 2x-y+1.:-3x2·[2x+☐+1]=-6x3+3x2y 3x2,∴.2x十☐+1=2x-y+1..☐=(-y). 2B(28a3-28a2+7a)÷7a=4a2-4a+1.:a=3 4 4a2-4如+1=4x(学)°-4x是+1=子 3.A长方形的宽为(2a2一4ab+2a)÷2a=a一2b+1,则 周长为2(a-2b+1+2a)=2(3a-2b+1)=6a-4b+2. 4-专左边=a+2a,右边=a+3知+2，则a+ 4 2a=a2+3a+2,解得a=-5 5-2x2+月x-1yA+B=5-42+3, B=2x,∴.A=5x4-4x3+3x2-2..A÷B=(5.x1 4x2+3x2-2x)÷2x=号x2-2x2+号x-1 6.D原式=7x2y÷8x2y2-8xy2x÷8x2y2=8y TZ. (2)原武=（层a6-2a6）÷ga6=号a6 号a260-2a26÷寸a260=60b2-18 易错警示 因多项式除以单项式时漏除 某一项或忽略符号导致错误 将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时， 应注意逐项计算，不要漏项，并且要注意符号的变化，最 后的结果按某一字母升幂或降幂的顺序排列 7.C由题意，得[24a3b7-18ab+2a·(6a3b3)2]÷ 6a3b5=(24a3b7-18ab5+2a·36ab）÷6a3b5= (24a3b7-18a5b5+72a7b)÷6a3b5=24a3b7÷6a3b3- 18a5b5÷6a3b5+72a7b÷6a3b5=4b2-3a2+12ab.