11.3.2 两数和（差）的平方（第4课时：两数和（差）的平方在几何图形中的应用）同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 同步练聚焦“两数和（差）的平方在几何图形中的应用”，以基础夯实为主线，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从公式几何意义理解到综合拼接应用的知识巩固，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|公式几何意义|单选1-2直接关联图形面积与公式，如第1题通过图形面积识别公式| |应用巩固|图形面积计算与公式应用|单选3-8、填空9-12结合长方形、正方形面积计算，如第4题正方形边长增加后的面积变化| |综合拓展|多卡片拼接与综合问题解决|解答14（3）（4）需设计拼接方案，如用4张M型、1张N型和4张P型卡片拼正方形，体现空间观念与推理意识|

11.3.2 两数和（差）的平方 （第4课时：两数和（差）的平方在几何图形中的应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 2．下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别用两种方式表示各选项的阴影面积，进而判断即可． 【详解】解：A．阴影面积可表示为或，即，符合题意； B．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； C．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； D．阴影面积可表示为或，即，不符合题意． 3．有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a和b（）的长方形纸片，6张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路是将各选项边长展开为完全平方，根据纸片数量限制判断是否符合条件，再比较符合条件的边长大小得到结果． 【详解】解：∵ 4张边长为的正方形最多可提供面积，即的系数最大为； 4张长宽的矩形最多可提供面积，即的系数最大为； 6张边长为的正方形最多可提供面积，即的系数最大为； 且要求每种纸片至少取一张，因此完全平方式中三个项的系数都至少为． 将各选项边长展开得： 选项A：，符合要求但边长较小； 选项B：，符合要求，边长为； 选项C：，各系数满足，，，符合要求，边长为； ∵ ，∴，可得； 选项D：，系数，超出现有数量，排除； ∴ 拼成的正方形边长最长为，故选C． 4．一个正方形的边长是，若边长增加3，则这个正方形的面积增加了（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意表示出边长增加后新正方形的边长，分别求出原正方形与新正方形的面积，相减即可得到增加的面积． 【详解】解：根据题意得：， ∴新正方形的面积增加了． 5．已知长方形的长为，宽为，且满足，若以长方形的长和宽为边分别作正方形，且两个正方形的面积和为37，即，则长方形的面积为（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【分析】求长方形的面积，即求的值，利用完全平方公式变形，结合已知条件即可计算出，得到结果． 【详解】解：依题意，长方形的面积为， ∵，且，， ∴， 整理得 ， 即， ， 即长方形的面积为． 6．如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．28 B．24 C．22 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．设，根据题意可得，再利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为22． 故选：C 7．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的边长是12，小正方形的边长是2，若用a，b分别表示长方形的长和宽，则下列关系式中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 两式相加得，故， ∴， ∴. 8．如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（     ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】设，用含的代数式将表示出来，再根据长方形的面积与完全平方公式的变形求解． 【详解】解：设， ∵，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵两个正方形的面积， ， ∴两个正方形的面积． 二、填空题 9．在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算．小星利用多项式的乘法法则进行计算：小帆利用完全平方公式进行计算：小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行计算：…请问这道数学作业的计算结果是_____________． 【答案】 【详解】解：根据图形可得：大正方形的面积为，也可以表示为， ∴． 10．如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】先将整式变形为，进而求出、的值，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 解得， 阴影部分的面积为． 11．如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题的关键是掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴大正方形的边长为，负值已舍， 故答案为：． 12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______． 【答案】14 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理，理解大正方形面积为是解题关键．根据图象可得，，得出，，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据图象可得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：14． 三、解答题 13．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）方法1：根据正方形的面积边长的平方进行计算，即可解答；方法2：根据正方形的面积两个正方形的面积两个长方形的面积进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：方法1：；方法2；． （2）解：根据（1）问可知：； （3）解：∵，，， ∴． 14．手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 【答案】（1）；（2）2；1；3； （3）如图所示； （4）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于（1），根据面积相等得出答案； 对于（2），拼出图形数出答案； 对于（3），根据所给图形的张数拼出正方形即可； 对于（4），根据两种类型的张数可知拼出正方形的边长为，再补充型，进而得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，需要型2张，型1张，型3张； 故答案为：2,1,3； （3）略． （4）如图所示， ∵， ∴还需要补充20张型卡片． 故答案为：20． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3.2 两数和（差）的平方 （第4课时：两数和（差）的平方在几何图形中的应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（    ） A．B． C． D． 3．有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a和b（）的长方形纸片，6张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（     ） A． B． C． D． 4．一个正方形的边长是，若边长增加3，则这个正方形的面积增加了（    ） A．9 B． C． D． 5．已知长方形的长为，宽为，且满足，若以长方形的长和宽为边分别作正方形，且两个正方形的面积和为37，即，则长方形的面积为（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 6．如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．28 B．24 C．22 D．18 7．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的边长是12，小正方形的边长是2，若用a，b分别表示长方形的长和宽，则下列关系式中，错误的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（     ） A．30 B．32 C．34 D．36 二、填空题 9．在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算．小星利用多项式的乘法法则进行计算：小帆利用完全平方公式进行计算：小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行计算：…请问这道数学作业的计算结果是_____________． 10．如图，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，则阴影部分的面积为______． 11．如图，用正方形卡片类4张、B类9张和长方形卡片类张拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．（用含的式子表示） 12．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______． 三、解答题 13．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； (2)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 14．手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $