第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪科版·新教材）

3.(1)AB∥CD.理由：∠1与∠2互补，∴.∠1十 ∠2=180°.∠1=∠BEF,∠2=∠DFE, .∠BEF+∠DFE=180°.∴.AB∥CD.(2)由 (1)知，AB∥CD,.∠AEF+∠EFC=180°. :∠AEF与∠EFC的平分线相交于点P, &∠FED=∠AEr,∠EFD=专 ∠EFC. ∠FEP+∠EFP=(∠AEF+∠EFC)=9O. .∠EPF=90.PF∥GH,.∠EGH ∠EPF=90°..GH⊥EG.(3)设∠PHK= ∠HPK=a,则∠PKG=∠PHK+∠HPK=2a.由 (2)知，GH⊥EG,.∠PGK=90°..∠EPK= ∠PGK+∠PKG=90°+2a.'PQ平分∠EPK, ∠KPQ=2∠EPK=45°+a,.∠HPQ= ∠KPQ-∠HPK=45°. 4.(1)∠1=2∠A.由折叠的性质，得∠A= ∠DA'A..∠1=∠A+∠DA'A,∴.∠1=2∠A. (2)∠1+∠2=2∠A.由折叠的性质，得∠ADE ∠ADE,∠AED=∠A'ED.∴.∠1+∠2=180° ∠ADE-∠A'DE+180°-∠AED-∠A'ED 360°-2∠ADE-2∠AED=2(180°-∠ADE- ∠AED)=2∠A.(3)∠2-∠1=2∠A.理由：设 BD,A'E交于点F.,∠2=∠AFE+∠A, ∠AFE=∠A'+∠1，.∠2=∠A'+∠1+∠A.由 折叠的性质，得∠A=∠A',.∠2=2∠A十∠1. .∠2-∠1=2∠A.(4)∠1+∠2=2（∠A+ ∠B)-360°.由折叠的性质，得∠BMN= ∠B'MN,∠ANM=∠A'NM.∴.∠1+∠2=180° ∠BMN-∠B'MN+18O°-∠ANM-∠A'NM= 360°-2∠BMN-2∠ANM=360°-2（∠BMN+ ∠ANM).,'∠BMN+∠ANM=360°-∠A ∠B,∴.∠1+∠2=360°-2(360°-∠A-∠B)= 2(∠A+∠B)-360°. 综合与实践3筷子中的数学问题 (1)70°..EF⊥AB,∴.∠BOF=90°. .∠BOC=160°，.∠B0D=180°-∠BOC=20°. ∴.∠FOD=∠BOF-∠BOD=70°.(2)FE∥HI. 理由：：AB∥CD∥GH,.∠H+∠HIF=180°， ∠DEF+∠EFB=180°.，'∠H=∠DEF, .∠EFB=∠HIF.∴.FE∥HI.(3)x-y+z= 90°.：AB∥CD,∠CEF=x,∠EFG=y, ∠GHD=之，∴.∠GMF=∠EMA=180°-∠CEF= 180°-x,∠FGM=180°-∠EFG-∠GMF=180° y-(180°-x)=x-y.:'FG⊥GH,∴.∠FGH= 90°，即∠FGM+∠HGM=90°.，'AB∥CD, .∠HGM=∠GHD=x.∴.x-y+之=90°. 第13章拔尖自主测评 1.B任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定 理都有逆命题，故A正确；“对顶角相等”的逆命题是 “相等的角是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角 (如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题， 故B错误；假命题的逆命题可能为真，也可能为假，如 假命题“若a>b,则a2>b2”的逆命题“若a2>b2,则 α>b”也是假命题，而假命题“相等的角是对顶角”的 逆命题“对顶角相等”是真命题，故C正确；两条平行 线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得 的角也相等，可推出两条角平分线和第三条直线组成 的内错角相等，则角平分线互相平行，故“两条平行线 被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行”是真 命题，故D正确. 2.A”3+5=8>7,2十3=5<7,2十5=7，∴.选取 长度为3cm,5cm,7cm的小木棒..所摆成的三角 形的周长是3十5+7=15(cm). 3.B对于A,当∠A和∠B都是锐角时，∠C可能 为锐角或直角或钝角，则△ABC不一定是直角三角 形，故A不符合题意；对于B,设三个内角分别为x°， (2x)°，(3x)°，则x十2x+3x=180,解得x=30,故三 个角的度数分别为30°，60°，90°，有一个直角，则 △ABC是直角三角形，故B符合题意；对于C,由 ∠A-2∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，可得 2∠A-∠B=180°，由∠B>0°，可得2∠A>180°，即 ∠A>90°，则△ABC不是直角三角形，故C不符合题 意；对于D,设三个外角分别为(2k)°，(5k)°，(5k)°，则 2k+5k+5k=360,解得k=30,故三个外角分别为 60°，150°，150°，则三个内角分别为120°，30°，30°，则 △ABC不是直角三角形，故D不符合题意. 4.D对于A,.∠2=∠C=30°，∴.∠1=90° ∠2=60°.∴.∠B=∠1.∴.ADBC.故A正确.对于 B,.∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴.∠2+ ∠CAD=∠2+∠1+∠2+∠3=180°.故B正确.对 于C,DE∥AC,.∠3=∠E=45°..∠2=90° ∠3=45°.故C正确.对于D,:∠CAD=120°， ∠DAE=90°，∴.∠3=∠CAD-∠DAE=30°.易得 ∠4十∠E=∠3+∠C,∴.∠4=∠3+∠C-∠E= 15°..∠D=45°，.∠4≠∠D.故D错误. 5.B根据三角形的三边关系，得a一b-c<0,b a-c<0,∴.原式=-(a-b-c)-[-(b-a- c)]=-a+b+c+b-a-c=2b-2a. 6.A'S△BC=24,D是AC的中点，∴.S△BD 1 S△c=2SAc=12.:E是BD的中点， &SaE=号Sam=6,Sam=号Sar=6 .S△Bc=S△DE+S△cE=12.:'F是CE的中点， 5agsam=8 7.C连接CE.,AD是边BC上的中线，△ABD 的面积为12，CD=号BC=专×10=5，Sam S△BD=12.:'E是AD的中点，∴.S△DE 6.EFCSe CD,EF. EF=2S严_2X6=2.4 CD 5 8.D∠1=∠2，∠1+∠2+∠5=180°，∴.∠5= 180°-2∠2.同理，得∠6=180°-2∠3，.∠5十 ∠6=360°-2（∠2+∠3）.：∠5+∠6=180°-B, ∠2+∠3=180°-a,.180°-3=360°-2(180° a),即2a+3=180°. 9.C∠MON=60°，AB⊥OM,即∠BAO=90°， .∠ABO=90°-60°=30°.故①正确.，∠BAO= 3∠ABO,∴.△AOB是“灵动三角形”.故②正确. .∠AB0=30°，∠BAC=70°，.∠ACO= ∠BAC+∠ABC=70°+30°=100°，∠OAC= ∠BAO-∠BAC=90°-70°=20°.∴.∠AOC= 3∠OAC.∴.△AOC是“灵动三角形”.故③正确. △ABC为“灵动三角形”，∠ABC=30°，∠BAC< 90°，∠BCA>60°，.∠BCA=3∠ABC=90°或 ∠BCA=3∠BAC或∠ABC=3∠BAC.当∠BCA= 3∠ABC=90°时，∠CAB=90°-∠ABC=60°，则 ∠OAC=30°.当∠BCA=3∠BAC时，4∠BAC= 180°-∠ABC=150°，.∠BAC=37.5. .∴.∠OAC=90°-∠BAC=52.5°.当∠ABC= 3∠BAC=30°时，∠BAC=10°，∴.∠OAC=90° ∠BAC=80°..满足条件的∠OAC的度数有3个. 故④错误.综上所述，正确的结论有①②③，共3个. 10.D:CM平分∠ACB,CF平分∠ACE, ·.∠BCM=∠ACM=2∠ACB,∠GCB= ∠ECP=∠ACF-2∠ACE.·∠GCB+∠BCM- 3∠ACE+∠ACB=(∠ACE+∠ACB)=90. 即∠MCG=90°.∴.∠G+∠CMG=90°. '∠CMG=∠ACM+∠A,∠CHD=∠BCM+ ∠CBD,∠CBD=∠A,∴.∠CMG=∠CHD. ∴.∠G+∠CHD=90°，即∠CHD与∠G互余.故① 正确.，'∠BCG十∠BCM=90°，∠A十∠G十 ∠ACM+∠BCG+∠BCM=180°，∴.∠A+∠G+ ∠ACM=90°.：∠BCG+∠ACM=2X180°=90， 1 .∠BCG=∠A+∠G.,∠CBD=∠A, ∴.∠BCG=∠CBD+∠G.故②错误.，∠A+ ∠G+∠ACM=90°，∠CBD=∠A,∴.∠MHD= ∠BHC=180°-∠CBD-∠BCM=180°-∠A ∠ACM=180°-(90°-∠G)=90°+∠G. .∠MHD-∠G=90°.故③正确..'∠A与∠G不 一定相等，∴.∠MHD=90°+∠A不一定成立.故④ 错误.综上所述，正确的是①③. 11.10由三角形的三边关系，得8一3<x<8十3， 即5<x<11.:△ABC的周长是大于20的正整数， .3十8十x>20,解得x>9..9<x<11.又.x为 整数，.x=10. 12.钝角3∠A>5∠B,2∠B>3∠C, .3∠A+2∠B>5∠B+3∠C,即∠A>∠B+ ∠C..2∠A>∠A+∠B+∠C..∠A+∠B+ ∠C=180°，.2∠A>180°，即∠A>90..△ABC 是钝角三角形 13.25°在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=70°， ∴.∠ACB=90°-70°=20°.AF平分∠CAB, ·∠DAB-3∠CAB-2×90=45.:∠ADB 180°-∠DAB-∠B=65°.∴.∠CDE=∠ADB= 65°.CE⊥AF,.∠CED=90°.∴.∠ECD=90°- ∠CDE=90°-65°=25. 14.(1)60°.∠BA'C=120°，∴.∠A'BC+ ∠A'CB=180°-∠BA'C=180°-120°=60°.，BA1 平分∠ABC,CA'平分∠ACB,∴.∠ABC=2∠A'BC, ∠ACB=2∠A'CB.∴.∠ABC+∠ACB= 2(∠A'BC+∠A'CB)=2X60°=120°..∠A= 180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°=60°. (2)B=4a-360°如图，连接AA'.BA'平分 ∠ABC,CA'平分∠ACB,∠BA'C=a,.a+ 3(∠ABC+∠ACB)=180,即∠ABC+∠ACB= 360°-2a..∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)= 180°-(360°-2a)=2a-180°.由折叠的性质可知， ∠BAC=∠DA'E.:∠1=∠DAA'+∠AA'D, ∠2=∠EAA'+∠AA'E,∴.∠1+∠2=∠DAA'+ ∠EAA'+∠AA'D+∠AA'E=∠BAC+∠DA'E= 2∠BAC=4a-360°.∴.B=4a-360°. (第14题) 15.△BGH为直角三角形.，'在△ABC中，三条高 AD,BF,CE相交于点O,.∠ADB=∠BFC= ∠CEA=90°.∴.∠BAO=90°-∠ABD,∠FBC= 90°-∠BCF,∠ACO=90°-∠CAE..∠BAO+ ∠FBC+∠ACO=90°-∠ABD+90°-∠BCF+ 90°-∠CAE=270°-（∠ABD+∠BCF+ ∠CAE)=270°-180°=90°.，∠FBC=∠HBG, ∠H=∠BAO+∠ACO,∴.∠HBG+∠H=90°. .∠G=90°..△BGH为直角三角形. 16.(1):AB/CD,.∠C+∠B=180°.∠C 3∠B,∴.4∠B=180°.∴.∠B=45°.(2)如图①， 过点F作GH∥AB,交BE于点G.'GH∥AB, AB∥CD,∴.GH∥AB∥CD..∠B=∠FGE,∠C ∠HFC.∠HFE=∠FGE+∠E,.∠HFE= ∠B+∠E.,'∠HFE=∠HFC+∠EFC, .∠HFE=∠C+∠EFC.∴.∠B+∠E=∠C+ ∠EFC.(3)如图②，记BP和EF的交点为O.由 (2)可知，∠ABE+∠E=∠CFE+∠C, .∠ABE-∠CFE=∠C-∠E.,'∠E=82, ∠C=130°，∴.∠ABE-∠CFE=130°-82°=48°. :∠ABE=3∠EBP,∠CFE=3∠EFP, ·∠EBP-∠EFP=S∠ABE-S∠CFE 吉（∠ABE-∠CFE)=16.:∠EB0+∠E+ ∠BOE=∠POF+∠EFP+∠BPF=180°， ∠BOE=∠POF,∠E=82°，.∠EBO+82°= ∠BPF+∠EFP.∴.∠BPF=∠EBO-∠EFP+ 82°=16°+82°=98°. 1 ② (第16题) 17.(1)135°.，：在四边形ADPE中，∠A十∠a十 ∠ADP+∠AEP=360°，∠A=75°，∠a=60°， .∠ADP+∠AEP=225°.：∠ADP=180°-∠1， ∠AEP=180°-∠2，.180°-∠1+180°-∠2= 225°..∠1+∠2=135°.(2)∠1+∠2=∠a+ 75°.理由：，在四边形ADPE中，∠A十∠DPE+ ∠ADP+∠AEP=360°，∠A=75°，∴.∠ADP+ ∠AEP=360°-75°-a=285°-∠a.,∠ADP= 180°-∠1，∠AEP=180°-∠2，.180°-∠1+ 180°-∠2=285°-∠a..∠1+∠2=∠a+75. (3)∠1=75°十∠2十∠a.理由：如图①，设PD,AB 交于点M.∠DMA=∠2+∠a,∠1=∠A+ ∠DMA,∴.∠1=∠A+∠2+∠a,即∠1=75°+ ∠2+∠a.(4)∠1=∠2+∠a+75°或∠1=∠2- ∠u+75°或∠1=285°+∠a-∠2或∠1=∠2+ ∠α一75°.如图②，当点P在点E的右侧，且PD 与AB的交点在点E上方时，设PD,AB交于点M. :∠2=∠PME+∠a,∠1=∠A+∠AMD, ∠AMD=∠PME,∴.∠1=∠A+∠2-∠a,即 ∠1=75°+∠2-∠a.如图③，当点P在点D的左侧 时，设PE,AC交于点M.'∠2=∠AME+∠A, ∠1=∠a+∠PMD,∠AME=∠PMD,∴.∠1= ∠2-∠A十∠a,即∠1=∠2+∠a-75°.如图④，当 点P在点D的右侧，点E的左侧时，连接DE,则 ∠ADE+∠AED=180°-∠A..'∠ADP=180°- ∠1，∠AEP=180°-∠2，∴.∠ADP+∠AEP+ ∠ADE+∠AED=180°-∠1+180°-∠2+180°- ∠A=540°-∠1-∠2-∠A.∴.∠a=180°- (540°-∠1-∠2-∠A)=-285°+∠1+∠2. ∴.∠1=285°+∠a-∠2.如图⑤，当点P在点E的 右侧，且PD与AB的交点在点E下方时，设PD, AB交于点M,则∠1=∠A+∠AMD,∠AMD ∠2+∠a.∴∠1=∠A+∠2+∠a=75°+∠2+ ∠a.综上所述，∠1=∠2+∠a+75°或∠1=∠2 ∠a+75°或∠1=285°+∠a-∠2或∠1=∠2+ ∠a-75°. E a ① D B B ② (第17题) 第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 .∠DEB=90°..∠A=90°.在△ABC中， ,∠A+∠ABC+∠C=180°，即∠A+∠ABD+ 1.A△ABC≌△DBE,.AB=BD=5,BC= ∠DBE+∠C=180°，∴.90°+3∠C=180°. BE..BE=AE-AB=12-5=7...BC=BE=7. .∠C=30° 2.A△ABC≌△ADE,.∠BAC=∠DAE, 6.B如图，延长CD交AB'于点H.,△AEB≌ AD=AB=2,SABC=S ADE..∠BAC-∠CAD= △AEB',·∠ABE=∠AB'E.:C'H∥EB', ∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠EAC=90°. .∠AHC'=∠ABE..∠ABE=∠AHC Sam=专AB·AD=号×2X2=2记AD,C :△ADC≌△ADC',.∠C=∠ACD. 的交点为F,.涂色部分的面积=SADr十S△MDE一 :∠BFC=∠DBF+∠BDF,∠BDF=∠DAC+ S△AF=S△BDF+S△BC-S△MF=S△BD=2. ∠ACD,∴.∠BFC=∠AHC'+∠C'+∠DAC. 3.55°或60°∠B=55°，∠C=65°，.∠A= :∠DAC=∠DAC'=∠CAB'=40°，.∠C'AH= 180°-∠B-∠C=60°.当△ABC≌△EFD时， 120°..∠C'+∠AHC'=60°.∴.∠BFC=60°+ ∠E=∠A=60°；当△ABC≌△FED时，∠E= 40°=100°. ∠B=55°.综上所述，∠E=55°或60°. 4.答案不唯一，如图所示. B (第6题) (第4题)》 7.1或 :设点Q的运动速度为每秒x个单位长 5.A△ADB≌△EDB≌△EDC,∴.∠A= 度.由题意，得AP=t,BP=10-t,BQ=xt.①当 ∠DEB=∠DEC,∠ABD=∠EBD=∠C.△ACP≌△BPQ时，AP=BQ,即t=xt,∴.x=1. :∠DEB+∠DEC=180°，∴.2∠DEB=180°.②当△APC2△BPQ时，AP=BP,AC=BQ,即 36拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第13章拔尖自主测评 ◎满分：100分O时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.下列说法错误的是 A.所有定理都有逆命题 B.“对顶角相等”的逆命题是真命题 C.假命题的逆命题不一定是假命题 D.“两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行”是真命题 2.从如图所示的四根小木棒中选取三根摆成一个三角形，则所摆成的三角形的周长是 2 cm 3 cm 5 cm 7 cm 00 0 (第2题) A.15 cm B.14 cm C.12 cm D.10cm 3.下列四个条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 () A.在△ABC中，∠A,∠B都是锐角 B.△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3 C.在△ABC中，∠A-2∠B=∠C D.△ABC的三个外角的度数之比是2：5：5 4.如图，将两块直角三角尺的直角顶点重合，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=60°，∠C=30°， ∠D=∠E=45°，则下列结论错误的是 () A.若∠2=∠C,则ADCB B.∠2+∠CAD=180 C.若DE∥AC,则∠2=459 D.若∠CAD=120°，则∠4=∠D m 0 B A FD (第4题) (第6题 (第7题) (第8题) 5.若a,b,c是△ABC的三边长，则化简|a一b一c|一b-a一c|的结果是 A.2a-2b B.26-2a C.2c D.0 6.如图，在△ABC中，D,E,F分别是AC,BD,CE的中点，且△ABC的面积为24，则涂色部分的 面积为 () A.6 B.8 C.7 D.4 7.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.若 BC=10,△ABD的面积为12，则EF的长为 ( ) A.1.2 B.2 C.2.4 D.2.5 8.眉境学科融合如图，某创新小组将两块平面镜AB,BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹 角的度数为α(0°<a<90°)，在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜 AB,BC两次反射后，入射光线m与反射光线n形成的夹角为3.根据光的反射原理可知，∠1= ∠2，∠3=∠4，则3与α之间的数量关系为 () A.a+B=90° B.a+3=120° C.a+23=150° D.2a+3=180° 56 第3章三角形中的边角关系、命题与证明 9.考新定义题在三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，那么这样的三角形称为“灵动 三角形”.例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”.如图，∠MON=60°，在 射线OM上任取一点A,过点A作AB⊥OM于点A,交ON于点B,以A为端点作射线AD,交 线段OB于点C(其中0°<∠OAC<90).有下列结论：①∠ABO的度数为30°；②△AOB是 “灵动三角形”；③若∠BAC=70°，则△AOC是“灵动三角形”；④若△ABC为“灵动三角形”，则 满足条件的∠OAC的度数有4个.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B N D G (第9题) (第10题) 10.如图，D是△ABC的边AC上一点，连接BD,CM平分∠ACB交BD于点H,交AB于点M, △ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G.当∠CBD=∠A时， 有下列结论：①∠CHD与∠G互余；②∠CBD=∠BCG;③∠MHD一∠G=90°； ④∠MHD=90°+∠A.其中，正确的是 () A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.已知△ABC的三边长分别是3,8，x.若△ABC的周长是大于20的正整数，则x= 12.若△ABC的三个内角满足3∠A>5∠B,3∠C<2∠B,则△ABC是 三角 形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 13.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=70°，AF平分∠CAB,交边BC于点D, 过点C作CE⊥AF于点E,则∠ECD的度数为 14.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A'处，连接BA',CA',BA'平 (第13题) 分∠ABC,CA'平分∠ACB, (1)若∠BA'C=120°，则∠A的度数为 (2)设∠BA'C=a,∠1+∠2=B,则a与B之间的数量关系是 三、解答题（共40分） (第14题) 15.(10分)如图，在△ABC中，三条高AD,BF,CE相交于点O,G,H分别是FB,CB的延长线上 的点.若∠H=∠BAO+∠ACO,请判断△BGH的形状，并证明你的结论， (第15题) 57 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 16.(13分)已知ABCD.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题： 【初步感知】 (1)如图①，若∠C=3∠B,求∠B的度数： 【拓展延伸】 (2)如图②，当点E,F在两平行线之间，且位于直线BC异侧时，求证：∠B+∠E=∠C+∠F; 【类比探究】 (3)如图③，若∠ABE=3∠EBP,∠CFE=3∠EFP,∠E=82°，∠C=130°，求∠BPF的 度数 ② (第16题) 17.(17分)如图①，在△ABC中，∠A=75°，D,E分别是△ABC边AC,AB上的点，P是平面内一 动点.令∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a. (1)若点P在线段BC上，∠a=60°，则∠1十∠2= (2)若点P在边BC上运动，猜想∠α，∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由. (3)如图②，若点P运动到边CB的延长线上，猜想∠α，∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由 (4)如图③，若直线1在点A上方，且lBC,点P在L上运动，点D到直线1的距离大于点E 到直线l的距离，则∠α，∠1，∠2之间的数量关系为 (写出所有可能的结果). E D ① ② ③ (第17题) 58 “答案与解析”见P33