第12章 函数与一次函数 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第12章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1有下列函数表达式：①y=2x2-1-2x(x+1);②y=2x2+1;③y=2x-1;④y=3x 1 ⑤y=一x.其中，是一次函数的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (x2+2(x≤2)， 2.已知函数y= 则当y=8时，x的值是 ( 2x(x>2), A.±√6 B.4 C.士√6或4 D.4或-√6 3.对于一次函数y=3x一2，下列说法错误的是 A.y随x的增大而增大 B.图象经过第二、三、四象限 C.图象与正比例函数y=3x的图象平行 D.若点M(-2,y1),N(1,y2)都在直线y=3x-2上，则y1<y2 4.新境学科融合硫酸钠(Na2SO4)是一种主要的日用化工原料，主要用于 ↑y/g 制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺.硫酸钠的溶解度y(g)与温度t(℃)之间 的对应关系如图所示，则下列说法正确的是 ）19.5 A.当温度为60℃时，硫酸钠的溶解度为50g 0 20406080t/℃ B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 (第4题) C.当温度为40℃时，硫酸钠的溶解度最大 D.要使硫酸钠的溶解度大于43.7g,温度只能控制在40~80℃ 5.若将直线y=k.x十4(k为常数，且k≠0)向左平移3个单位长度得到的直线经过点（一2,2），则得 到的直线与坐标轴围成的三角形面积为 () A司 B.1 c D.2 6.一次函数y=kx十b与y=x十a的图象如图所示.甲、乙两名同学给出以下结 论，甲：方程kx十b=x十a的解是x=3;乙：当x<3时，kx十b<x十a.下列说 法正确的是 A.甲正确，乙错误 B乙正确，甲错误 0 y=kx+b C.甲、乙都正确 D.甲、乙都错误 (第6题) 7如果方程组=3十2， 无解，那么直线y=(-2k十1)x一2不经过 () (y=(k+1)x-5 A.第一象限 B.第四象限 C.第三象限 D.第二象限 8如图，点A.B的坐标分别为2.0.0》P是第一象限内直线y=号+2上一动点，当点P 38 第12章函数与一次函数 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积 A.逐渐增大 B.逐渐减少 C.先减少后增大 D.不变 个y/km B 600 B C D 300 02.4E8x/i (第8题) (第10题) a-b(a≥2b), 9.定义新运算：a☒b= 例如：3☒1=3-1=2；54=5+4一6=3.函数y=(x+ a+b-6(a2b). 2)☒(x一1)的图象大致是 y 4 3 2 2 2 马012345x 马01习345x 马012345x 马01234x A B C D 10.货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发2.4h后休息，直至与 货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x(单位：)，货车、轿车与甲地的距离分别 为y1(单位：km),y2(单位：km),如图，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1,y2与x之间 的函数关系.当两车相距150km时，出发的时间为 () A.2h B.2.5h或4.5h C.2.25h或4.75hD.2.25h或4.25h 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.若直线y=(m十1)xm-3十m2-3经过第一、二、三象限，则m= 12在函数y一√2一7+十3中，自变量x的取值范固是 13.若关于x的一次函数y=(2a一3)x十a十2的图象在-2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的 取值范围是 14.在平面直角坐标系中，函数y=m.x十n(m≠0)与y=-mx十3的图象交于点(3,1). (1)m+n的值为 (2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=kx(k≠0)的值既大于函数y=mx十n(m≠0)的 值，也大于函数y=一mx十3的值，则k的取值范围是 三、解答题（共40分） 15.(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b的图象经过点A(一2,4)，且与正比例 函数y=一x的图象交于点B(a,2), (1)求a的值及一次函数y=kx十b的表达式： (2》若一次函数y=kx十b的图象与x轴交于点C,且正比例函数)y=一了x的图象向下平移 m(m>0)个单位长度后经过点C,求m的值： 39 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 (3》直接写出关于x的不等式组0<一号<kx+6的解集 (第15题) 16.(12分)如图，直线11对应的函数表达式为y=一3x+3,且11与x轴交于点D,直线l2经过点 A,B,直线l1,l2交于点C (1)求直线l2对应的函数表达式； (2)求三角形ADC的面积： (3)若直线l2上存在异于点C的另一点P,使得三角形ADP与三角形ADC的面积相等，求点 P的坐标 y L\ 3 A(4,0)x (第16题) 17.(16分)甲、乙两车从同一地点出发，沿相同道路行驶.甲车先出发，速度为12m/s,乙车出发后 在离出发地1200m处遇到第一个信号灯，等待红灯20s后继续行驶.假设两车行驶速度保持 不变，两车离出发地的距离y()与甲车出发后的时间x(s)之间的关系如图所示. (1)乙车的速度为 m/s. (2)求两车在未到达第一个信号灯前相遇时离出发地的距离. (3)通过第一个信号灯后，车进入城市主干道，每隔400有一个信号灯.已知红灯持续20s,绿 灯持续40s,且一处红灯转绿灯后10s,下一个信号灯恰好亮起红灯.甲、乙两车通过第三个信 号灯的时间相差 S. ↑y/m 1200----- 010 70x/ (第17题) 40 >“答案与解析”见P20上，所以一2m十5=x十2，解得x=一2m十3.所以 F(-2m十3，-2m+5).因为PF=3,所以|m (-2m十3)|=3，解得m=0或m=2.当m=0时， -2m十5=5；当m=2时，-2m十5=1，所以点P的 坐标为(0,5)或(2,1).②由①可知，P(m,一2m十 5).因为点P位于y轴右侧，PE=OE,所以m= 一2m十5,0<m<号，解得m=号所以点P的坐标 为（号，号）由题意知，PF∥x轴，所以点P,F的纵 坐标相同因为点F在直线，上，所以x十2=号解 得：=-子所以F(合，).所以PF=号 (）=2 3.(1)设直线l1对应的函数表达式为y=kx十b k≠0)，把A(6,0),B(0,3)代人得6k+6=0解得 b=3, k=一2'所以直线1对应的函数表达式为y= b=3. 子x十8把C(m,40代人，得4=一合m十3，解得 1 m=一2.所以C(一2,4).由题意，设直线l2对应的函 数表达式为y=k1x(k1≠0)，把C(一2,4)代入，得 4=一2k1,解得k1=一2.所以直线12对应的函数表 1 达式为y=一2x,(2)因为S三角0B=2X6X3= 9,所以S三角形ACn=4S三角形NB=4X9=36.设P（n, 1 一2n),则S三角无m=2X1-2m-4X6=36,解得 n=4或n=-8.所以点P的坐标为(4，一8)或 (-8,16). 4.(1)设直线AB对应的函数表达式为y=k.x十b, 0=6k+b, 将B(6,0),A(4,2)代入，得 解得 2=4k+b, k=-1, b=6. 所以直线AB对应的函数表达式为y -x+6.(2)易知C(0,6),所以OC=6.所以 S三角0c=之X6X4=12.(3)存在.因为 S三角0c=12,所以S三角0c=2S三t0c=6.设直线 OA对应的函数表达式为y=t.x,将A(4,2)代入，得 2=,所以1=号所以直线04对应的函数表达式 为y= x.设M(m,n).当点M在线段OA上时， 1 1 S三角私Mc=2X6Xm=6,所以m=2.将x=2代人 y=2x,得y=1,所以M(2,1).当点M在射线AC 上时，S三e=子×6Xm=6,所以m=士2.将 x=-2代入y=-x十6，得y=8;将x=2代入 y=-x十6，得y=4,所以点M的坐标为(-2,8)或 (2,4).综上所述，当点M的坐标为(2,1)或(2,4)或 (一2,8)时，三角形OMC的面积是三角形OAC面积 的 综合与实践2天安门广场的升旗时刻 活动一8月25日的升旗时刻为5：37,8月28日的 升旗时刻为5：40. 活动二(1)日期；升旗时间.(2)描点、连线如图 所示.180（合理即可）；170（合理即可）. y 9 5 4 3 0306090120150180210240270300330360x 活动三今年全年天安门广场的升旗时刻最早在 4:45左右，最晚在7：36左右，其中6月11日左右升 旗时刻最早，1月11日左右升旗时刻最晚，6月上旬 至1月上旬升旗时刻逐渐延后，1月上旬到6月中旬 升旗时刻逐渐提前. 第12章拔尖自主测评 1.C根据一次函数的定义逐项判断：①y=2.x2 1-2x(x+1)化简得y=2.x2-1-2x2-2x=-2x- 1,是一次函数；②y=2.x2+1不是一次函数；③y= 21-1是一次函数：①y=不是一次西数： ⑤y=一x是一次函数.综上所述，①③⑤是一次函 数，共3个. x2+2(x≤2)， 2.D把y=8代入y= 先代入上边 2x(x>2), 的方程，得x=士√6.因为x≤2，所以x=√6不合题 意，舍去，故x=一√6.再代入下边的方程，得x=4. 因为x>2,所以x=4.综上所述，x的值为4或 -√6. 3.B由条件可知，一次函数y随x的增大而增大， 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与 正比例函数y=3x的图象平行.因为M(一2，y1), N(1,y2)都在直线y=3.x-2上，-2<1，所以y1< y2.故ACD正确，不符合题意；B错误，符合题意. 4.C由图象可知，当温度为60℃时，疏酸钠的溶解 度小于48.8g,故A错误；当温度为0~40℃时，硫酸 钠的溶解度随着温度的升高而增大，当温度为40~ 80℃时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，故 B错误；当温度为40℃时，硫酸钠的溶解度最大，故C 正确；要使硫酸钠的溶解度大于43.7g,温度可控制 在接近40~80℃，故D错误. 5.B由条件可知，平移后的直线为y=k(x十3)十 4,将（一2,2）代入，得2=k(-2十3)+4，即2=k十4， 所以k=一2，则平移后的直线为y=一2(x十3)十 4=一2x一2.当y=0时，0=-2x-2,则x=一1；当 x=0时，y=一2.所以平移后的直线与坐标轴围成的 三角形面积=2×1×2=1. 6.A因为一次函数y=kx十b与y=x十a图象的 交点的横坐标为3，所以关于x的方程kx十b=x十a 的解是x=3,所以甲正确.由题图可知，当x<3时， kx十b>x十a,所以乙错误.故A符合题意， 7.A因为方程组P=3x+2, 无解，所以直线 y=(k+1)x-5 y=3.x十2与直线y=(k+1)x-5平行.所以k十1= 3,解得k=2.所以直线y=(一2k十1)x一2即为 y=一3x一2.所以直线y=一3x一2经过第二、三、四 象限，不经过第一象限， 8.D连接AB.设直线AB对应的函数表达式为 y=kx+1,将A(2,0)代入，得2k+1=0,解得k= -子所以直线AB与点P所在直线y=一2x十2 平行.所以在点P移动过程中，三角形PAB的面积 不变.所以四边形OAPB的面积不变 9.A当x+2≥2(x-1),即x≤4时，(.x+2)☒ (x-1)=(x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3,即 y=3.当x+2<2(x-1),即x>4时，(x十2)(x 1)=(x+2)+(x-1)-6=x+2+x-1-6=2x 5,即y=2x-5.综上所述，y= 3(x≤4)， 故A 2.x-5(x>4). 符合题意 10.C设线段OA所在直线对应的函数表达式为 y1=k1x(k1≠0)，把A(8,600)代入y1=k1x(k1≠ 0),得600=8k1,解得k1=75.所以y1=75.x.当y1= 300时，x=4,所以点D的坐标为(4,300).设线段 BC所在直线对应的函数表达式为y?=k2x+b2 (k2≠0)，把B(0,600),C(2.4,300)代入y2=k2x+ :(k:≠0)，得b:=600, 解得 k2=一125'所 2.4k2+b2=300, b2=600. 以y2=一125x十600(0<x≤2.4).因为轿车休息前 2.4h行驶了300km,休息后按原速度继续行驶，所 以轿车行驶完全程需4十2.4=6.4(h).所以点E的 坐标为(6.4,0).设线段DE所在直线对应的函数表达式 为y2=k3x+b3(k3≠0)，把D(4,300),E(6.4,0)代入 4k3+b3=300 为=x十6，(：≠0，得6，十b,=0 解得 k:=-125·所以y=-125x+8004≤x≤6.4.分 b3=800. 两种情况讨论：①当轿车休息前与货车相距150km 时，有-125.x+600-75.x=150,解得.x=2.25;②当 轿车休息后与货车相距150km时，有75.x一 (-125.x+800)=150,解得x=4.75.综上所述，当两 车相距150km时，出发的时间为2.25h或4.75h. 11.2由题意，得m2-3=1,m+1>0,m2-3>0, 所以m=2. 12.x≤2且x≠-3由题意，得2-x≥0且x十3≠ 0,即x≤2且x≠-3. 8日<a<或<a< ,因为y=(2a-3)x+ a十2是关于x的一次函数，所以2a-3≠0，即a≠ 三当2弘-3>0，即。>时y随：的塔大而蜡大 当x=-2时，y=-4a十6十a十2=8-3a.根据函数 图象在x轴的上方，得8-3a>0,解得a<氵所以 号a<号当2a-3<0,即a<号时y随x的塔大 而减小.当x=1时，y=2a-3十a十2=3a-1.根据 函数图象在x轴的上方，得3a-1>0,解得a>3 1 所以<<号综上所述a的乘馆范围是}<a< 3 3 8 2或2<a< 14.)-3 因为函数y=m.x十n(m≠0)与y= 3m十n=1, 一mx十3的图象交于点(3,1)，所以 解 -3m十3=1， 2 得 一3”所以m+n=子. ,(2)k≥号 由 n=-1. 1),得m= 3n=-1.所以y=-mx+3=-2 2 2 3,y=m.x十n= 3x-1,直线y=号x-1与y 2 一3x十3交于点(3,1).由题意，得当x>3时，对于 x的每一个值，函数y=kx(k≠0)的值既大于函数 2 y=名x-1的值，也大于函数y=一3x十3的值.如 2 图，当x>3时，函数y=3x一1的值大于函数 y=一3x十3的值，所以要满足题意，只需函数y= :使≠0)的值大于蓝数y=号，一1的值即可，因为 当直线y=x(≠0)平行于直线y=号：-1时，符 合冠意，此时太=号所以么的取值范用是≥号 y= 5x+3 y=kx 2 2 3x1 -5-4-3-2072345x 3 -4 -5 (第14题) 151因为正比例函数y=一子x的图象经过点 B(a,2,所以2=一号a,解得a=-3.所以点B的坐 标为（一3,2）.因为一次函数y=kx十b的图象经过 -2k+b=4, 点A(-24).B(-3,2,所以-3%+6=2， 解得 k=2·所以一次函数y=k红十b的表达式为》= b=8. 2x十8.(2)因为一次函数y=2x十8的图象与 x轴交于点C,所以易得点C的坐标为（一4,0）.因为 2 正比例函数y=一3x的图象向下平移m(m>0)个 单位长度后经过点C,所以平移后所得图象对应的函 数表达式为y=-号-m把C(-4,0)代人，得 0=- 8 ×(-4)-m,解得m= .(3)-3< 3 x<0. 16.(1)设直线l2对应的函数表达式为y=kx十b (k≠0)，把A(4,0),B(3,-)代入，得 4k+b=0, 3 3k+6=- 3解 k=2'所以直线，对应的函 b=-6. x-6.(2)当y=-3x+3=0 3 数表达式为y= y=-3x+3, 时，x=1,所以D(1,0).联立3。解得 y=2x-6, r=2,所以C(2,-3).所以S三c=豆×4 1 y=-3. 10x1-3= ,(3)因为三角形ADP与三角形 ADC的底边都是AD,且面积相等，所以两三角形底 边AD上的高相等.因为C(2,一3)，所以点P的纵 3 坐标为3.当y=之x-6=3时，x=6,所以点P的坐 标为(6,3) 17.(1)20.由已知及函数图象可知，甲车出发10s 后乙车出发，甲车出发70s后乙车离出发地1200m, 所以乙车的速度为1200÷(70-10)=20(m/s). (2)由题意可知，甲车离出发地的距离y(m)与甲车 出发后的时间x(s)之间的函数表达式为y=12x.设 两车在未到达第一个信号灯前，乙车离出发地的距离 y(m)与甲车出发后的时间x(s)之间的函数表达式 为y=kx+b(k≠0)，把(10,0)，(70,1200)代入，得 10k十b=0,解 k=20, 所以两车在未到达 70k+b=1200, b=-200. 第一个信号灯前，乙车离出发地的距离y(m)与甲车 出发后的时间x(s)之间的函数表达式为y=20x一 y=12.x, 200(10≤x<70).联立 解得 y=20x-200, 女=25：所以两车在未到达第一个信号灯前相遇时 y=300. 离出发地的距离为300m(3)由题意知，第 一个信号灯红灯结束后30、，下一个信号灯恰好亮起 绿灯.因为乙车出发后在离出发地1200m处遇到第 一个信号灯，等待红灯20s后继续行驶，而乙车的速 度是20m/s,所以乙车在70十20=90(s)时通过第一 个信号灯，到达第二个信号灯时，又行驶了400÷ 信号灯，此时第二个信号灯的绿灯已经亮了100 3 20=20(s),等待10s后才能通过第二个信号灯；又行 2040 (s),第三个信号灯的红灯已经亮了40 -10= 驶20s到达第三个信号灯，等待10s后通过第三个 信号灯，此时x=90十20十10+20+10=150.甲车出 （s;甲车又行驶了1”s到达第三个信号灯.因为 3 发后在离出发地1200m处时，x=1200÷12=100, 此时第一个信号灯是绿灯，且绿灯已经亮了100 20<9+1 <20十40，所以甲车没有等待又通过第 70一20=10(s),下一个信号灯恰好亮起红灯；甲车又 三个信号灯.所以甲车通过第三个信号灯时，x= 行驶了400÷12= 3(s)到达第二个信号灯.因为 100 10+四+-警所以甲，乙两车道过第三个信 20100 20十40，所以甲车没有等待又通过第二个 号灯的时间相老-150-碧(。. 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 因为a,b,c是△ABC的三边长，所以a十b-c>0, b-c-a<0,a-b-c<0.所以原式=a+b-c 第1课时三角形中边的关系 2b+2c+2a-a+b+c=2a+2c. 1.D∠A,∠B,∠ACB都是△ABC的内角，故A 5.分情况讨论：当2.x-1=x十1时，x=2,此时易得 正确；△AEC的三条边分别是AE,EC,AC,故B正 三角形的三边长为3,3,4，能构成三角形，周长为3十 确；题图中共有3个三角形，即△ABC,△BEC, 3十4=10；当2x-1=3.x一2时，x=1,此时易得三角 △AEC,故C正确；以∠BEC为内角的三角形有 形的三边长为1,2,1，不能构成三角形；当x十1 1个，是△BEC,故D错误，符合题意. 3x-2时，x= 2.B根据构成三角形的三边关系逐项分析判断如 号，此时易得三角形的三边长为2，号 下：当a=3时，第三段长为14-4-3=7(cm),3十 云·能构成三角形，周长为2+2+-2综上所述。 2 4=7,则不能构成三角形，故A不符合题意；当a=6 这个等腰三角形的周长是10或7. 时，第三段长为14-4-6=4(cm),4十4=8>6，则能 构成三角形，故B符合题意；当a=7时，第三段长为 方法归纳 14-4-7=3(cm),3+4=7,则不能构成三角形，故C 解决等腰三角形边长问题的一般方法 不符合题意；当a=8时，第三段长为14-4-8 (1)分清：分清已知等腰三角形的边是三角形 2(cm),4十2=6<8，则不能构成三角形，故D不符合 的腰还是底 题意 (2)分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰 3.6cm,4cm或5cm,5cm当腰长为6cm时，底边 还是底时，要分类讨论 长为16-6-6=4(cm),此时三边长为6cm,6cm, (3)验证：解题时一定要检验三边是否满足三 4cm,能构成三角形.所以另外两边的长为6cm, 角形的三边关系」 4cm.当底边长为6cm时，腰长为(16一6)÷2= 6.D因为(b-2)2+1c-3|=0,(b-2)2≥0，|c- 5(cm),此时三边长为5cm,5cm,6cm,能构成三角 b-2=0, b=2, 形.所以另外两边的长为5cm,5cm.综上所述，另外 3≥0，所以 解得 根据三角形的三边 c-3=0, {c=3. 两边的长为6cm,4cm或5cm,5cm 关系，得c-b<a<c十b,即1<a<5.因为a为方程 4.2a+2c |x-4=2的解，所以|a-4=2,解得a=2或a=6 思路导引 (不符合题意，舍去).所以△ABC的周长为2十2+ a+b-c>0 3=7. a,b,c是三角 根据绝对值 n+2+n+8>3n, 形的三边长 b-c-a<0 的定义化简 7.D a-b-c<0 由三角形的三边关系，得n+2+3n>n十8， n+8+3n>n+2, 23