13.1 第3课时 三角形中几条重要线段-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪科版·新教材）

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 第3课时三角形中几条重要线段 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2026合肥期末]分别用如图所示的3种方式折三角形纸片ABC,则AD依次是△ABC的() A.中线、角平分线、高线 B.高线、中线、角平分线 C.角平分线、高线、中线 D.角平分线、中线、高线 B-----D B C B(C)D (第1题) (第2题) 2.如图，∠BAC=90°，且AD,AE,BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，则下列结论错误 的是 () A.∠BAD=∠CB.∠ABF=∠CBFC.S△ABE=S△ABC D.AF-CF 3.在△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=6,△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 4.如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高线，∠BAC=60°，∠BCE=40°.求∠ADB 的度数. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，OE是△COD的高线.若∠BAC=60°， ∠ACB=80°，则∠EOD的度数为 （) A.20° B.30° C.10° D.15° DE C (第5题) (第6题) 6如图，在△ABC中，CE-号BC=4,BD=}BC,CD,BE是△ABC的两条中线，则△ABC的周 以 长是 () A.22 B.26 C.35 D.45 45 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 7.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点 E,AD与BE交于点H,连接CH,则∠CHD= 8.回探窥题如图，在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，∠B=20°， ∠C=60°. (第7题) (1)求∠CAD,∠AEC和∠EAD的度数 (2)若图形发生了变化，当∠B=30°，∠C=60时，则∠EAD=;当∠C ∠B=30时，则∠EAD= (3)若∠B和∠C的度数分别用aα和3来表示，你能找到∠EAD与α，3之间的数量关系吗？请 直接写出你的结论 (第8题) 微专题·与三角形中线有关的面积问题 1.[2026合肥蜀山期末]如图，在△ABC中，点D在AB上，E,F分别是CD,AE的中点.若 △BEF的面积为3，则△ABC的面积为 A.12 B.9 C.6 D.3 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，G是AD上的一点，E,F分别是CG,BG的中点， 若△ABC的面积为36，则涂色部分的面积是 3.[2025安庆怀宁段考]如图，在△ABC中，CE是边AB上的中线，点D在边BC 上，BC=4DC,AD与CE交于点F,△ABC的面积为16. (1)△ADC的面积为 (2)设△AEF的面积为m,△DFC的面积为n,则m十n= 46 >“答案与解析”见P26因为∠1=45°，∠E=45°，所以∠AME=180° ∠1一∠E=90°.所以CE⊥AB.故④正确.综上所 述，正确的有①②③④. 10.(1)因为BC⊥AB,所以∠ABC=90°.所以 ∠C+∠BAD=90°.因为∠BAD=∠EAD,所以 ∠BAD-=号∠EAB.所以∠C+合∠EAB=60,即 2∠C+∠EAB=180°.因为2∠1十∠EAB=180°，所 以∠1=∠C.所以EF∥BC.(2)因为∠ABC= 90°，∠C=72°，所以∠BAD=18°.所以∠EAD= ∠BAD=18.因为∠ADE=∠BDC,所以∠EAD十 ∠AED=∠C+∠CBE,即18°+78°=72°+∠CBE 所以∠CBE=24°. 11.(1)△ABC是“三倍角三角形”.因为∠A=35°， ∠B=40°，所以∠C=180°-35°-40°=105°.因为 105°=35°×3，所以△ABC是“三倍角三角形”. (2)因为∠B=30°，所以∠A+∠C=150°.若设最小 内角的度数为x,则△ABC三个内角的度数分别是 x(0°<x<30),30°，150°-x.①当30°=3x时，x 10°，此时△ABC三个内角的度数分别是10°，30°， 140°；②当150°-x=3x时，x=37.5°（不符合题意， 舍去)；③当150°-x=3×30°时，x=60°（不符合题 意，舍去).若最小内角为∠B,则易得此时△ABC三 个内角的度数分别为30°，60°，90°.综上所述，△ABC 中最小内角的度数为10°或30° 第3课时三角形中几条重要线段 1.C由折叠方式可知，第1个图中∠BAD= ∠B'AD,第2个图中∠ADB=∠ADB'=90°，第3个 图中CD=BD,所以AD依次是△ABC的角平分线、 高线、中线. 2.D因为AD是△ABC的高线，所以∠ADC= 90°.因为∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+ ∠C=180°-∠ADC=90°，所以∠BAD=∠C.故A 正确.因为BF是△ABC的角平分线，所以∠ABF ∠CBF.故B正确.因为AE是△ABC的中线，所以 BE=EC.因为△ABE,△AEC的高相同，底相等，所 以S△BE=S△Bc.故C正确.根据已知条件无法得出 AF=CF,故D错误. 3.26因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC. 因为△ACD的周长为24，AC=6,所以AC+AD十 DC=24.所以AD+BD=AD+DC=24-6=18.所 以△ABD的周长=AB+AD+BD=8+18=26. 4.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，所 以∠DAC=∠BAD=号∠BAC=30.因为CE是 △ABC的高线，∠BCE=40°，所以∠B=180°- 90°-40°=50°.所以∠ADB=180°-∠B-∠BAD= 180°-50°-30°=100. 5.A因为∠BAC=60°，AD是△ABC的角平分线， 所以∠DAC=号∠BAC=30,因为∠ACB=80,所 以∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-30° 80°=70°.又因为OE是△COD的高线，所以OE⊥ BC,即∠OED=90°.所以∠EOD=180°-∠OED- ∠ODE=180°-90°-70°=20°. 6.B因为CE=号C=4,所以BC=3CE=3X4 12.因为BD=BC,所以BD=×12=3.因为 CD,BE是△ABC的两条中线，所以AB=2BD=6, AC=2CE=8.所以△ABC的周长是6+8+12=26. 7.45°如图，延长CH交AB于点F.因为三角形的 三条高线交于一点，所以易得CF⊥AB.所以 ∠AFC=90°.因为∠BAC=75°，所以∠ACF= 180°-90°-75°=15°.因为∠ACB=60°，所以 ∠BCF=60°-15°=45°.因为AD⊥BC,所以 ∠ADC=90°.所以∠CHD=180°-90°-45°=45. (第7题) 8 思路导引 AE是三角形的 △ABC 内角和 用∠B,∠C ∠EAD=∠EAC 的角平 表示∠EAC 分线 ∠DAC AD是△ABC 用∠C表示 的高线 ∠CAD 求出∠EAD (1)因为∠B=20°，∠C=60°，所以∠BAC=180° ∠B-∠C=100°.因为AE是△ABC的角平分线， 所以∠EAC=∠BAC=0.所以∠AC=180 ∠EAC-∠C=70°.因为AD是△ABC的高线，所以 ∠ADC=90°.所以∠CAD=180°-∠ADC-∠C= 30°.所以∠EAD=∠EAC-∠CAD=20°. (2)15;15.易得∠EAD=∠EAC-∠CAD= 合∠BAC-∠CAD=合[180-（∠B+∠C] (180°-90-∠C)=2(∠C-∠B).当∠B=30, ∠C=60°时，∠EAD=15°；当∠C-∠B=30°时， ∠EAD=15°. 3当e<P时，∠EAD=合（日-）：当a>P时， ∠EAD=e-g. 一微专题·与三角形中线有关的面积问题 1.A因为F是AE的中点，S△r=3,所以 S△MBE=2S△BER=2X3=6.所以SAADE十S△DBE S△AE=6.因为E是CD的中点，所以S△c 2 SAADE,SABC=2S△BDE.所以S△BC=S△AC+ SABIC =2SAADE+2SABDE =2 (SAADE SABDE)- 2×6=12. 2.9因为AD是边BC上的中线，△ABC的面积 为36，所以SAm=SAm=2SA=号×36 1 18.设点C到AD的距离为h1,点B到AD的距离 为A,则Sam=合AD·A1=18,S四 合AD:=18,所以A=k因为E,F分别是 CG,BG的中点，所以SAm=2SAc= 1 1 2AGA=AG·A1,Saw=25aw=号× 1 1 1 台00·=片0·因为S=5m+ S,所以S=子AG·A1十子DG·h: c+0)-ADh:-×AD: 1 h1.因为2AD·h1=18,所以S*色=2X18=9. 3.(1)4设边BC上的高为h根据题意，得 S=BCh=16,Sm=2DCA.因为 BC=DC所以Sam=号×宁BC·h=子× 16=4.(2)器 根据CE是边AB上的中线， △ABC的面积为16，得S△c=S△sC 号SAx=8,因为△AEF的面积为m,△DFC的 面积为n,S△c=4,所以4-n=8-m即m=n十 4.如图，连接BF.根据BC=4DC,易得S△D= 3S△Dc=3n.又因为CE是边AB上的中线，所以 S△r=S△Br=m=n十4.因为S△BBc=8,所以 3n十n+n十4=8，解得n三.所以m十n=2n1 4=2× 5 +428 4 5 E (第3题) 13.2命题与证明 第1课时命题与证明 1.A定义是能明确界定某个对象含义的语句，而① 是基本事实，不是定义 2.C过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行，故A选项是假命题；两条平行直线被第三条直 线所截，内错角相等，故B选项是假命题；连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故C 选项是真命题；实数和数轴上的点是一一对应的，故 D选项是假命题. 3.①②③在同一平面内，a,b,c是三条不同的直 线，若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，可 能相交.∴.①是假命题.“若a⊥b,a⊥c,则b∥c”的前 提条件是“在同一平面内”..②是假命题.若一个角 的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 或互补.∴.③是假命题.综上所述，假命题为①②③. 方法归纳 判断命题真假的方法 要判断一个命题是真命题，一般需要推理、论 证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例， 4D如果a>6,那么日分条件是a>6,结论是 1<1.该命题是假命题.反例不唯一，如2>一2，但 之>一之(2)如果两个数相减，那么被减数大于 1、1 差.条件是两个数相减，结论是被减数大于差，该命题