13.1.3 三角形中的边角关系（几条重要的线段）当堂练习 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

13.1.3 三角形中的边角关系（几条重要的线段）·当堂练习 （试题版　满分100分　建议用时60分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图，露营场地一块三角形遮阳布 ABC，其中∠B 为钝角．现要从顶点 A 向边 BC 所在直线拉一根与该直线垂直的防风绳，即画出 BC 边上的高．下列四幅示意图中，作法正确的是（　） A．垂足在线段 BC 上 B．垂足在 CB 的延长线上 C．绳端系在点 B 处 D．防风绳与 BC 斜交 2．一块三角形耕地 ABC，D 是 BC 的中点，沿中线 AD 修田埂，把耕地分成△ABD 与△ACD 两块．这两块地一定相同的是（　） A．周长 B．面积 C．形状（能完全重合） D．周长与面积都相同 3．如图，在三角形铁片 ABC 上，点 D 在 BC 上、点 E 在 AC 上，连接 AD、BE．已知∠BAD＝∠CAD＝30°，∠ABE＝30°，∠CBE＝40°，∠C＝50°．下列结论错误的是（　） A．AD 平分∠BAC B．BE 平分∠ABC C．∠ADB＝80° D．∠BEC＝90° 4．在△ABC 中，CM 是 AB 边上的中线，点 M 在 AB 上．已知 AC＝7，CM＝6，△ACM 的周长为 18，则 AB 的长为（　） A．8 B．9 C．10 D．12 5．如图，在△ABC 中，∠B＝52°，∠C＝60°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，则∠ADB 的度数为（　） A．86° B．94° C．88° D．96° 6．下列三角形中，三条高所在直线的交点位于三角形外部的是（　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三条高所在直线不可能相交于一点 7．如图是边长为 1 的正方形网格，△ABC 的顶点都在格点上，边 BC 竖直，BC 上标有①、②、③三个格点．则能作为 BC 边上中线的线段，其在 BC 上的端点是（　） A．点① B．点② C．点③ D．①②③都不是 8．如图，在△ABC 中，∠B＝64°，∠C＝44°，AD 是 BC 边上的高，AE 平分∠BAC，则∠DAE 的度数为（　） A．8° B．10° C．12° D．14° 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AE 是△ABD 中 BD 边上的中线．若△ABE 的面积为 6，则四边形 AECD 的面积为 ______． 10．下列说法：①三角形的高是线段；②钝角三角形的三条高都在三角形内部；③三角形的三条中线相交于三角形内部一点；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；⑤三角形的角平分线是射线．其中正确的是 ______（填序号）． 11．手工课上折叠三角形纸片，按三种不同目的各折一次：①想让一个角的两条边完全重合；②想让该角顶点（沿垂直方向）落到对边上；③想让对边的两个端点重合、折出对边中点．这三条折痕依次分别是三角形的 ______、______、______（填“角平分线”“高”“中线”）． 12．如图，三角形零件 ABC 中，BC＝12，BC 边上的高为 8．（1）若 AB＝16，则 AB 边上的高为 ______；（2）若 AC 边上的高为 4.8，则 AC＝______． 13．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，F 是 CE 的中点，连接 DE、EF、DF．若△DEF 的面积为 3，则△ABC 的面积为 ______． 14．如图，在△ABC 中，点 B、点 C 处两个外角的平分线相交于三角形外的点 P．若∠A＝70°，则∠BPC＝______． 三、解答题（共58分） 15．如图，在△ABC 中，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，BD 与 CE 相交于点 H，∠A＝62°．（1）求∠ABD 与∠ACE 的度数；（2）求∠BHC 的度数；（3）直接写出∠HBC＋∠HCB 的度数． 16．如图是一块三角形生态展示区 ABC，BC＝18，BC 边上的高为 6，D 是 BC 的中点，AB＝14，AC＝16．（1）求△ABD 与△ACD 的面积；（2）求△ABD 与△ACD 的周长之差；（3）点 E 在直线 BC 上（含线段 BC 及其延长线），且△ABE 的面积等于 18，求符合条件的点 E 的个数及 BE 的长． 17．如图，三角形展台 ABC 的三边 CA＝10、AB＝14、BC＝12，面积为 48．一台巡检机器人从点 C 出发，沿折线 C→A→B 以每秒 2 个单位长度匀速巡检，设运动时间为 t（秒），机器人所在位置记为 P．（1）当 t 为何值时，连线 CP 把展台的周长分成相等的两部分？（2）当 t 为何值时，CP 把展台的面积分成相等的两部分？（3）当△PBC 的面积为 19.2 时，求所有符合条件的 t 值． 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−2,4)、B(−4,−1)、C(3,−1)．（1）判断边 BC 与 x 轴的位置关系，并求 BC 的长；（2）求△ABC 的面积；（3）若 D 是 BC 的中点，写出点 D 的坐标，并说明中线 AD 把△ABC 分成的两个三角形面积各是多少． 19．如图，一块三角形展示牌 ABC，底边 BC＝20，BC 边上的高为 8．布展时两台清扫机器人分别从端点 B、C 同时出发，沿底边 BC 相向匀速行进：从 B 出发的机器人每秒行 2 个单位（位置记为 P），从 C 出发的机器人每秒行 3 个单位（位置记为 Q），连接 AP、AQ．（1）求 t＝2 时△APQ 的面积；（2）两台机器人经过几秒相遇？（3）当△APQ 的面积为 30 时，求所有符合条件的 t 值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1.3 三角形中的边角关系（几条重要的线段）·当堂练习 （解析版） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．如图，露营场地一块三角形遮阳布 ABC，其中∠B 为钝角．现要从顶点 A 向边 BC 所在直线拉一根与该直线垂直的防风绳，即画出 BC 边上的高．下列四幅示意图中，作法正确的是（　） A．垂足在线段 BC 上 B．垂足在 CB 的延长线上 C．绳端系在点 B 处 D．防风绳与 BC 斜交 【答案】B 【解析】∠B 为钝角时，从顶点 A 向对边 BC 所作的高，其垂足落在边 CB 的延长线上（过 B 的一侧），且防风绳必须与 BC 所在直线垂直。只有 B 同时满足这两点。 【学生容易踩坑的错因】误以为高的垂足一定落在边 BC 上而选 A，忽视钝角三角形有两条高在三角形外部；或把顶点 A 与端点 B 的连线误当作高而选 C。 2．一块三角形耕地 ABC，D 是 BC 的中点，沿中线 AD 修田埂，把耕地分成△ABD 与△ACD 两块．这两块地一定相同的是（　） A．周长 B．面积 C．形状（能完全重合） D．周长与面积都相同 【答案】B 【解析】D 是 BC 中点，BD＝CD；△ABD 与△ACD 分别以 BD、CD 为底，且共用 A 到 BC 的高，等底同高，故面积相等。AB 与 AC 一般不相等，因此周长、形状不一定相同。 【学生容易踩坑的错因】把“中线”误认为同时平分周长而选 A 或 D；或认为面积相等就一定能完全重合而选 C。 3．如图，在三角形铁片 ABC 上，点 D 在 BC 上、点 E 在 AC 上，连接 AD、BE．已知∠BAD＝∠CAD＝30°，∠ABE＝30°，∠CBE＝40°，∠C＝50°．下列结论错误的是（　） A．AD 平分∠BAC B．BE 平分∠ABC C．∠ADB＝80° D．∠BEC＝90° 【答案】B 【解析】∠BAD＝∠CAD，AD 平分∠BAC，A 正确；∠ABE＝30°、∠CBE＝40°，两角不相等，BE 不平分∠ABC，B 错误；∠B＝70°，∠ADB＝180°−70°−30°＝80°，C 正确；∠BEC＝180°−50°−40°＝90°，D 正确。 【学生容易踩坑的错因】只看到 BE 把∠B 分成两个角就断定它平分，没有比较两个小角是否相等；计算∠ADB、∠BEC 时不结合三角形内角和。 4．在△ABC 中，CM 是 AB 边上的中线，点 M 在 AB 上．已知 AC＝7，CM＝6，△ACM 的周长为 18，则 AB 的长为（　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【解析】△ACM 的周长＝AC＋CM＋AM＝7＋6＋AM＝18，得 AM＝5；CM 是中线，M 是 AB 中点，AB＝2AM＝10。 【学生容易踩坑的错因】把△ACM 的周长误认为包含整条 AB；或求出 AM＝5 后忘记再乘 2，直接把 5 当作 AB。 5．如图，在△ABC 中，∠B＝52°，∠C＝60°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，则∠ADB 的度数为（　） A．86° B．94° C．88° D．96° 【答案】B 【解析】∠BAC＝180°−52°−60°＝68°，AD 平分∠BAC，∠BAD＝34°；∠ADB＝180°−52°−34°＝94°。 【学生容易踩坑的错因】求角时没有把∠A 减半（角平分线条件未用）；或求出的是邻补角∠ADC＝86°而误选 A。 6．下列三角形中，三条高所在直线的交点位于三角形外部的是（　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三条高所在直线不可能相交于一点 【答案】C 【解析】锐角三角形的三条高都在形内，交点在形内；直角三角形的两条高恰好是两条直角边，三条高所在直线交于直角顶点；钝角三角形有两条高在形外，三条高所在直线的交点落在三角形外部。故选 C。 【学生容易踩坑的错因】误以为高的交点总在三角形内部；或把直角三角形的交点（恰为直角顶点）误判为在外部。 7．如图是边长为 1 的正方形网格，△ABC 的顶点都在格点上，边 BC 竖直，BC 上标有①、②、③三个格点．则能作为 BC 边上中线的线段，其在 BC 上的端点是（　） A．点① B．点② C．点③ D．①②③都不是 【答案】B 【解析】中线在 BC 上的端点必须是 BC 的中点。BC 竖直，数格子可知②到 B、C 的格数相等，恰为中点，故选 B；①、③分别偏向 B、C 一端。 【学生容易踩坑的错因】只看点离 A 的远近来选；不会在竖直边上数格子确定中点（中点到两端的格数相等）。 8．如图，在△ABC 中，∠B＝64°，∠C＝44°，AD 是 BC 边上的高，AE 平分∠BAC，则∠DAE 的度数为（　） A．8° B．10° C．12° D．14° 【答案】B 【解析】∠BAC＝180°−64°−44°＝72°，AE 平分∠BAC，∠BAE＝36°；AD⊥BC，∠BAD＝90°−∠B＝26°；∠DAE＝∠BAE−∠BAD＝36°−26°＝10°，也等于 |∠B−∠C|÷2＝20°÷2＝10°。 【学生容易踩坑的错因】没有把∠BAC 减半；或误把∠DAE 当成 |∠B−∠C| 而漏除以 2；分不清高足 D 与角平分线足 E 的先后位置。 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AE 是△ABD 中 BD 边上的中线．若△ABE 的面积为 6，则四边形 AECD 的面积为 ______． 【答案】18 【解析】AD 是中线，△ABD 与△ACD 等积，各占△ABC 的一半；AE 是△ABD 的中线，△ABE 与△AED 等积，△ABE 占△ABC 的 。由△ABE＝6 得△ABC＝24。四边形 AECD＝△ABC−△ABE＝24−6＝18。 【学生容易踩坑的错因】中线连锁时倍半关系算反（误把△ABE 当成总面积的 或 ）；求四边形时误减△ABD，得到 12。 10．下列说法：①三角形的高是线段；②钝角三角形的三条高都在三角形内部；③三角形的三条中线相交于三角形内部一点；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；⑤三角形的角平分线是射线．其中正确的是 ______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】高是顶点到对边的垂线段，①正确；钝角三角形有两条高在外部，②错误；三条中线交于形内一点，③正确；中线两侧等底同高、面积相等，④正确；三角形的角平分线是线段，只有“角的平分线”才是射线，⑤错误。 【学生容易踩坑的错因】把⑤判对，混淆“角的平分线是射线”与“三角形的角平分线是线段”；把②判对，忽视钝角三角形的高在外部。 11．手工课上折叠三角形纸片，按三种不同目的各折一次：①想让一个角的两条边完全重合；②想让该角顶点（沿垂直方向）落到对边上；③想让对边的两个端点重合、折出对边中点．这三条折痕依次分别是三角形的 ______、______、______（填“角平分线”“高”“中线”）． 【答案】角平分线；高；中线 【解析】让角的两边重合，折痕平分该角，是角平分线；让顶点垂直落到对边，折痕与对边垂直，是高；让对边两端点重合、折出中点，折痕连向对边中点，是中线。 【学生容易踩坑的错因】把“顶点垂直落到对边”的折痕误认为中线（它与对边垂直，应是高）；把“端点重合折出中点”误认为高（它确定中点，应是中线），二者最易混。 12．如图，三角形零件 ABC 中，BC＝12，BC 边上的高为 8．（1）若 AB＝16，则 AB 边上的高为 ______；（2）若 AC 边上的高为 4.8，则 AC＝______． 【答案】6；20 【解析】△ABC 的面积＝×12×8＝48。（1）×16×h＝48，h＝6；（2）×AC×4.8＝48，AC＝20。 【学生容易踩坑的错因】等积法中底与高不对应（拿 BC 上的高去配 AB）；面积列式时漏乘 2 或漏除以 2；第（2）问把高 4.8 直接当成边长。 13．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，F 是 CE 的中点，连接 DE、EF、DF．若△DEF 的面积为 3，则△ABC 的面积为 ______． 【答案】24 【解析】D 是 BC 中点，△ACD 占△ABC 的 ；E 是 AD 中点，△CDE 占△ACD 的 ，即占△ABC 的 ；F 是 CE 中点，△DEF 占△CDE 的 ，即占△ABC 的 。由△DEF＝3 得△ABC＝3×8＝24。 【学生容易踩坑的错因】三级连锁时倍半关系连乘出错；误把△DEF 当成总面积的 ，而三级中线每次取半，应是 。 14．如图，在△ABC 中，点 B、点 C 处两个外角的平分线相交于三角形外的点 P．若∠A＝70°，则∠BPC＝______． 【答案】55° 【解析】点 B、C 处两个外角的和＝(180°−∠B)＋(180°−∠C)＝360°−(∠B＋∠C)＝360°−(180°−∠A)＝180°＋70°＝250°；BP、CP 各平分一个外角，△BPC 的两个底角之和＝250°÷2＝125°，故∠BPC＝180°−125°＝55°（一般结论：双外角平分线夹角＝90°−∠A＝90°−35°＝55°）。 【学生容易踩坑的错因】与双内角平分线结论（90°＋½∠A）相混；外角和误写成 180°；求出底角和后忘记再用 180° 减。 三、解答题（共58分） 15．如图，在△ABC 中，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，BD 与 CE 相交于点 H，∠A＝62°．（1）求∠ABD 与∠ACE 的度数；（2）求∠BHC 的度数；（3）直接写出∠HBC＋∠HCB 的度数． 【答案】（1）∠ABD＝∠ACE＝28°；（2）∠BHC＝118°；（3）62°． 【解析】（1）BD⊥AC，在直角三角形 ABD 中∠ABD＝90°−∠A＝28°；CE⊥AB，同理∠ACE＝28°。 （2）在四边形 AEHD 中，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝360°−90°−90°−62°＝118°；∠BHC 与∠EHD 是对顶角，故∠BHC＝118°。 （3）在△BHC 中，∠HBC＋∠HCB＝180°−∠BHC＝62°。 【学生容易踩坑的错因】误认为∠BHC＝∠A（实际等于 180°−∠A）；没有利用“高即垂直”得到两个直角；第（3）问不会在△BHC 中用内角和。 16．如图是一块三角形生态展示区 ABC，BC＝18，BC 边上的高为 6，D 是 BC 的中点，AB＝14，AC＝16．（1）求△ABD 与△ACD 的面积；（2）求△ABD 与△ACD 的周长之差；（3）点 E 在直线 BC 上（含线段 BC 及其延长线），且△ABE 的面积等于 18，求符合条件的点 E 的个数及 BE 的长． 【答案】（1）各为 27；（2）相差 2；（3）共 2 个点，BE 的长均为 6． 【解析】△ABC 的面积＝×18×6＝54。 （1）AD 是中线，△ABD、△ACD 等积，各为 54÷2＝27。 （2）两三角形中 BD＝CD、AD 公共，周长之差＝|AB−AC|＝|14−16|＝2。 （3）△ABE 以 BE 为底、高为 6，×|BE|×6＝18，|BE|＝6；在直线 BC 上距 B 为 6 的点有两个（一个在线段 BC 上，一个在 B 外侧延长线上），故共 2 个。 【学生容易踩坑的错因】第（3）问只想到 E 在线段 BC 上、漏掉延长线上的点（漏解）；第（2）问把 BD、CD 也算进周长差（它们相等、相互抵消）；忘记中线两侧面积相等。 17．如图，三角形展台 ABC 的三边 CA＝10、AB＝14、BC＝12，面积为 48．一台巡检机器人从点 C 出发，沿折线 C→A→B 以每秒 2 个单位长度匀速巡检，设运动时间为 t（秒），机器人所在位置记为 P．（1）当 t 为何值时，连线 CP 把展台的周长分成相等的两部分？（2）当 t 为何值时，CP 把展台的面积分成相等的两部分？（3）当△PBC 的面积为 19.2 时，求所有符合条件的 t 值． 【答案】（1）t＝9；（2）t＝8.5；（3）t＝2 或 t＝9.2． 【解析】半周长＝(10＋14＋12)÷2＝18。 （1）P 在 AB 上，令 C→A→P 与 C→B→P 两段相等：10＋AP＝12＋(14−AP)，解得 AP＝8，机器人走过 10＋8＝18，t＝18÷2＝9。 （2）CP 平分面积时 P 为 AB 中点，AP＝7，走过 10＋7＝17，t＝8.5。 （3）P 在 CA 上（0≤t≤5），△PBC 的面积＝×48＝×48＝9.6t，令其为 19.2，t＝2；P 在 AB 上（5＜t≤12），走过 2t，PB＝24−2t，△PBC＝×48＝×48，令其为 19.2，得 24−2t＝5.6，t＝9.2。 【学生容易踩坑的错因】第（3）问只在一条边上求解、漏掉另一段的解；路程与时间换算（速度为 2）出错；想不到“面积等分点即中点”；不按到达顶点 A 的时刻 t＝5 分段，导致公式用错。 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−2,4)、B(−4,−1)、C(3,−1)．（1）判断边 BC 与 x 轴的位置关系，并求 BC 的长；（2）求△ABC 的面积；（3）若 D 是 BC 的中点，写出点 D 的坐标，并说明中线 AD 把△ABC 分成的两个三角形面积各是多少． 【答案】（1）BC∥x 轴，BC＝7；（2）面积＝17.5；（3）D(−0.5,−1)，两个三角形面积各为 8.75． 【解析】（1）B、C 的纵坐标都为 −1，故 BC 平行于 x 轴（水平），BC＝3−(−4)＝7。 （2）BC 水平，BC 边上的高为 A 到直线 y＝−1 的竖直距离 4−(−1)＝5，面积＝×7×5＝17.5。 （3）D 为 BC 中点，横坐标 (−4＋3)÷2＝−0.5、纵坐标 −1，即 D(−0.5,−1)；中线两侧等底同高，△ABD、△ACD 面积相等，各为 17.5÷2＝8.75。 【学生容易踩坑的错因】水平边误把纵坐标差当边长；高应取纵坐标之差，含负坐标时 4−(−1) 易算错；中点坐标不会取平均或漏掉负号。 19．如图，一块三角形展示牌 ABC，底边 BC＝20，BC 边上的高为 8．布展时两台清扫机器人分别从端点 B、C 同时出发，沿底边 BC 相向匀速行进：从 B 出发的机器人每秒行 2 个单位（位置记为 P），从 C 出发的机器人每秒行 3 个单位（位置记为 Q），连接 AP、AQ．（1）求 t＝2 时△APQ 的面积；（2）两台机器人经过几秒相遇？（3）当△APQ 的面积为 30 时，求所有符合条件的 t 值． 【答案】（1）40；（2）t＝4；（3）t＝2.5 或 t＝5.5． 【解析】△ABC 的面积＝×20×8＝80。相遇前 BP＝2t、CQ＝3t，PQ＝20−2t−3t＝20−5t。 （1）t＝2 时 PQ＝10，△APQ 以 PQ 为底、高为 8，面积＝×10×8＝40。 （2）相遇时 PQ＝0，即 20−5t＝0，t＝4。 （3）相遇前（0≤t≤4）△APQ＝×(20−5t)×8＝80−20t，令其为 30，得 t＝2.5；相遇后 PQ＝5t−20，△APQ＝×(5t−20)×8＝20t−80，令其为 30，得 t＝5.5（此时从 B 出发者走 11、从 C 出发者走 16.5，均小于 20，两点仍在 BC 上，成立）。 【学生容易踩坑的错因】只按相遇前列式，漏掉相遇后 PQ 反向的解 t＝5.5；速度和 2＋3＝5 用错；不检验相遇后两点是否仍在边 BC 上。 学科网（北京）股份有限公司 $