13.1 第1课时 三角形中边的关系-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪科版·新教材）

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中边的关系 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，E是边AB上一点，连接CE,则下列说法中，错误的是 A.∠A,∠B,∠ACB是△ABC的内角 B.△AEC的三条边分别是AE,EC,AC C.图中共有3个三角形 D.以∠BEC为内角的三角形有2个 单位：cm 4 (第1题) (第2题) 2.如图，将长为l4cm的铁丝折成三段，已知第一段长为4cm,第二段长为acm.若这三条线段恰 好能围成一个三角形，则a的值可以是 () A.3 B.6 C.7 D.8 3.教材5例1变式已知等腰三角形的周长是16cm,其中一边的长为6cm,则另外两边的长为 4.已知a,b,c是△ABC的三边长，化简：|a+b-c|+2b-c-a|+a-b-c|= 5.★分类过论思想已知等腰三角形的三边长分别为2x一1，x十1,3.x一2，求这个等腰三角形的周长， 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.已知a,b,c是△ABC的三边长，且b,c满足(b一2)2+c一3=0，a为方程|x一4=2的解，则 △ABC的周长为 () A.4 B.5 C.7或11 D.7 7.已知n是正整数.若一个三角形的三边长分别是n十2，n+8,3n,则满足条件的n的值有() A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 8.舒考向探究题如图，第1个图案中有1个三角形，第2个图案中共有5个三角形，第 3个图案中共有9个三角形…依此类推，第6个图案中共有 个三角形. /B, 第1个图案 第2个图案 第3个图案 (第8题) 41 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是 “倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 10.如图，P是△ABC内一点，连接BP并延长，交AC于点D,连接PC. (1)试比较AB+BC+CA与2BD的大小： (2)试比较AB+AC与PB+PC的大小. (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 11.易错题以长为8cm,6cm,10cm,4cm,13cm的五条线段中的三条为边，能画出 个三 角形？可以画出的三角形的周长分别为 cm. 12.考向新定义题定义：若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角 形”.例如，三边长为6,8,10的三角形是“好运三角形”. (1)概念运用：在△ABC中，AB=2,BC=4,若△ABC为“好运三角形”，求AC的长 (2)变式运用：已知△ABC的周长为16，AC=4.若AB的长为偶数，试判断△ABC是否为“好 运三角形”. 42 “答案与解析”见P23度是20m/s,所以乙车在70十20=90(s)时通过第一 个信号灯，到达第二个信号灯时，又行驶了400÷ 信号灯，此时第二个信号灯的绿灯已经亮了100 3 20=20(s),等待10s后才能通过第二个信号灯；又行 2040 (s),第三个信号灯的红灯已经亮了40 10 驶20s到达第三个信号灯，等待10s后通过第三个 信号灯，此时x=90十20+10+20十10=150.甲车出 （s;甲车又行驶了1”s到达第三个信号灯.因为 3 发后在离出发地1200m处时，x=1200÷12=100, 此时第一个信号灯是绿灯，且绿灯已经亮了100 20<9+19 <20十40，所以甲车没有等待又通过第 70一20=10(s),下一个信号灯恰好亮起红灯：甲车又 三个信号灯.所以甲车通过第三个信号灯时，x= 行驶了400÷12= 3(s)到达第二个信号灯.因为 10 10+罗+婴-警所以甲，乙两车道过第三个信 20100 <20十40，所以甲车没有等待又通过第二个 号灯的时间相差警0-150-号( 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 因为a,b,c是△ABC的三边长，所以a十b-c>0, b-c-a<0,a-b-c<0.所以原式=a+b-c 第1课时三角形中边的关系 2b+2c+2a-a+b+c=2a+2c. 1.D∠A,∠B,∠ACB都是△ABC的内角，故A 5.分情况讨论：当2x一1=x十1时，x=2,此时易得 正确；△AEC的三条边分别是AE,EC,AC,故B正 三角形的三边长为3,3,4，能构成三角形，周长为3十 确；题图中共有3个三角形，即△ABC,△BEC, 3+4=10;当2.x-1=3.x-2时，x=1,此时易得三角 △AEC,故C正确；以∠BEC为内角的三角形有 形的三边长为1,2,1，不能构成三角形；当x十1 1个，是△BEC,故D错误，符合题意. 3x-2时，x= 2.B根据构成三角形的三边关系逐项分析判断如 号，此时易得三角形的三边长为3，号 下：当a=3时，第三段长为14-4-3=7(cm),3十 ，能构成三角形，周长为2+号+号=？综上所述。 5 2 4=7,则不能构成三角形，故A不符合题意；当a=6 时，第三段长为14一4-6=4(cm),4十4=8>6，则能 这个等腰三角形的周长是10或7. 构成三角形，故B符合题意；当a=7时，第三段长为 方法归纳 14-4-7=3(cm),3十4=7，则不能构成三角形，故C 解决等腰三角形边长问题的一般方法 不符合题意；当a=8时，第三段长为14-4-8 (1)分清：分清已知等腰三角形的边是三角形 2(cm),4十2=6<8，则不能构成三角形，故D不符合 的腰还是底. 题意， (2)分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰 3.6cm,4cm或5cm,5cm当腰长为6cm时，底边 还是底时，要分类讨论 长为16-6-6=4(cm),此时三边长为6cm,6cm, (3)验证：解题时一定要检验三边是否满足三 4cm,能构成三角形.所以另外两边的长为6cm, 角形的三边关系」 4cm.当底边长为6cm时，腰长为(16-6)÷2= 6.,D因为(b-2)2+|c-3|=0,(b-2)2≥0，|c- 5(cm),此时三边长为5cm,5cm,6cm,能构成三角 b-2=0, b=2, 形.所以另外两边的长为5cm,5cm.综上所述，另外 3≥0，所以 解得 根据三角形的三边 c-3=0, lc=3. 两边的长为6cm,4cm或5cm,5cm 关系，得c-b<a<c十b,即1<a<5.因为a为方程 4.2a+2c |x-4=2的解，所以|a-4=2,解得a=2或a=6 思路导引 (不符合题意，舍去).所以△ABC的周长为2十2+ a+b-c>0 3=7, a,b,c是三角 根据绝对值 n+2+n+8>3n, 形的三边长 b-c-a<0 的定义化简 7.D a-b-c<0 由三角形的三边关系，得n+2+3n>n十8， n+8+3n>n+2, 23 解得2<n<10.因为n是正整数，所以满足条件的n 13cm时，因为6+10=16>13，所以能构成三角形， 的值有3,4,5,6,7,8,9，共7个 周长为6+10+13=29(cm).⑩当三条线段的长为 8.21由题意，得第n个图案中三角形的个数是1十 8cm,10cm,13cm时，因为8+10=18>13，所以能 4(n-1)=4n-3.所以第6个图案中共有4×6-3= 构成三角形，周长为8十10十13=31(cm).综上所述， 21(个)三角形. 能画出7个三角形，周长分别为18cm,22cm,24cm, 9.1.5或4设第三边的长为x,则3-2<x<3十2， 27cm,27cm,29cm,31cm. 即1<x<5.根据“倍长三角形”的定义进行分类讨 易错警示 论：①若2x=2,则x=1(不符合题意，舍去)；②若 不要忽视三角形的三边关系 2x=3,则x=1.5;③x=2×2=4;④x=2×3=6 本题在求解时要全面分析所有的可能情况，不 (不符合题意，舍去).综上所述，第三条边的长为1.5 要遗漏：还要注意所选取的三条线段的长是否满足 或4. 三角形的三边关系，只有满足三角形的三边关系才 10. 能求相应的周长， 思路导引 12.(1)在△ABC中，AB=2,BC=4,所以4-2< 在△DBC中 BC+CD>BD①D AC<4十2，即2<AC<6.因为△ABC为“好运三角 ①+② 结论1 形”，所以AC为偶数.所以AC=4.(2)设AB=x 在△ABD中 AB+AD>BD② ②+③结论2 (x为偶数).因为△ABC的周长为16，AC=4,所以 在△PCD中 PD+CD>PC③ x+12-x>4, BC=12-x.依题意，得x十4>12-x,解得4<x< (1)根据三角形的三边关系可得AB十AD>BD, 12-x+4>x, BC+CD>BD,所以AB+AD+BC+CD>2BD.所 8.所以AB=x=6,则BC=12-6=6.又因为AC= 以AB+BC+(AD+CD)>2BD,即AB十BC十 4,所以△ABC是“好运三角形”， CA>2BD.(2)根据三角形的三边关系可得AB十 AD>BD,PD+CD>PC,所以AB+AD+PD+ 第2课时三角形中角的关系 CD>BD+PC.所以AB+(AD+CD)>(BD 1,A因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°.因为∠D PD)+PC,AB+AC>PB+PC. 40°，所以∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°.所以 11.718,22,24,27,27,29,31把这五条线段的长 ∠ABC=180°-∠ABD=180°-50°=130°.所以 按从小到大的顺序排列为4cm,6cm,8cm,10cm, ∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-130°-30°=20°. l3cm.分情况讨论：①当三条线段的长为4cm, 2.A如图，连接EF.因为∠B十∠C=60°，所以 6cm,8cm时，因为4十6=10>8，所以能构成三角 ∠A=180°-（∠B+∠C)=120°.所以∠AEF+ 形，周长为4+6十8=18(cm).②当三条线段的长为 ∠AFE=180°-∠A=60°.因为∠D=70°，所以 4cm,6cm,10cm时，因为4+6=10，所以不能构成 ∠DEF+∠DFE=180°-∠D=110°.因为∠1+ 三角形.③当三条线段的长为4cm,6cm,l3cm时， ∠AEF=∠DEF,∠2+∠AFE=∠DFE,所以 因为4十6=10<13，所以不能构成三角形.④当三条 ∠1+∠2=∠DEF+∠DFE-(∠AEF+ 线段的长为4cm,8cm,10cm时，因为4+8=12> ∠AFE)=110°-60°=50°. 10,所以能构成三角形，周长为4十8+10=22(cm). ⑤当三条线段的长为4cm,8cm,13cm时，因为4十 E 8=12<13,所以不能构成三角形.⑥当三条线段的 B 长为4cm,10cm,13cm时，因为4+10=14>13，所 (第2题)》 以能构成三角形，周长为4+10+13=27(cm).⑦当 3.60 50锐角因为∠A=70°，∠A比∠B大 三条线段的长为6cm,8cm,10cm时，因为6十8= 10°，所以∠B=∠A-10°=60°.所以∠C=180°- 14>10,所以能构成三角形，周长为6+8+10 ∠A-∠B=50°.所以△ABC是锐角三角形 24(cm).⑧当三条线段的长为6cm,8cm,13cm时， 4.35°因为一束光沿CD方向射入，经过平面镜 因为6+8=14>13，所以能构成三角形，周长为6+ OB,AO反射后，沿EF方向射出，所以∠CDB= 8+13=27(cm).⑨当三条线段的长为6cm,10cm, ∠EDO,∠DEO=∠AEF=30°.在△ODE中， 24