13.1 三角形中的边角关系-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

(3)①当3x=30×分时，得=5：2.1号h甲车行驶的路程为15×号 答：A种书架的单价为600元，B种 书架的单价为500元； ②当-0.5x+35=30×7时，得 =42(km), (2)由题意可得， .∴.m=42: w=600a+500(20-a)=100a+ x=40.即油箱中油量为油箱容积 (2)点C的横坐标为0十5 1 4 的一半时x的值是5或40. 10000,由题意，得a≥3(20-a),解 6.(1)30 点C的纵坐标为135×是 3 得a≥5， (2)①设小丽步行的速度为 .∴.当a=5时，取得最小值，此时 m/min,小明步行的速度为 36C(哥36)，根据图象，得36 w=10500,20-a=15 2m/min,且o2>v,则 /30+30=5400 +(侣)a=2+4,解得a= 所以费用最少时的购买方案是购 买A种书架5个，B种书架15个. (67.5-30)0=3002 100: 章末核心考点整合与素养提升 (3)乙车在CD段行驶的时间为 1.x≥22.C3.C 解得： /0=80 2=100 (50-36)÷100= 品，则乙车 答：小丽步行的速度为80m/min, 4①≠8(2-号y=- 在该路段行驶的平均速度为50 小明步行的速度为100m/min; (3)≠-6=2(4)3 ②设点C的坐标为(x,y),则可 ÷(告+)=792kmw. 5.A6.C 7.B8.A9.C 得方程(100+80)(x-30)+80 3 :7500 10.B11.D12.A13.x=-2 (67.5-x)=5400,解得x=54,y 61>120, 14.(1)蜜枣棕的进货单价是4元，肉 =(100+80)(54-30)=4320m, 乙车在该区间测速路段超速. 棕的进货单价是10元； ∴.点C(54,4320).点C表示：两 综合与实践（二）函数建模与 (2)设第二批购进肉棕y个，则蜜 人出发54min时，小明到达甲地， 方案选择 枣粽购进(300一y)个，设获得利润 此时两人相距4320m. 1.(1)设该扎染坊第一次购进甲种 为元，由题意得：=(14一10)y 综合与实践（一）函数建模与 布料x件，购进乙种布料y件. 根据题意，得 +(6-4)(300-y)=2y+600, 运动问题 2>0,.®随y的增大而增大 1.(1)由图象可知，A,B两岛之间的 |x+y=80, 解得 x=25, y≤2(300-y),.0<y≤200， 距离为25km;B,C两岛之间的距 60x+40y=3700, y=55. ∴.当y=200时，有最大值， 离为60km;A,B,C三个海岛在 答：该扎染坊第一次购进甲种布 一条直线上，A,C两海岛间的距离 料25件，购进乙种布料55件. 0大做=400+600=1000. 为25+60=85(km);巡逻船从A岛 (2)根据题意，得m≤1.5(100一 答：第二批购进肉粽200个时，总 利润最大，最大利润是1000元. 到B岛的时间为0.5h,.巡逻船 m),解得m≤60， 的速度为25÷0.5=50(km/h), W=(100-60)m+(70-40)(100 15.D16.B17.B18.A19.B 巡逻船从B岛至C岛的时间 -m)=10m+3000, 20.(1)m>-2,n为任意实数. (2)m≠-2且n>3. 为60÷50=1.2(h),∴.函数图象 .10>0,.∴.W随m的增大而增大 中括号处缺失的数据为0.5+1. ∵m≤60， (3)5=子 .当m=60时，W值最大，W最大 2=1.7; 21.(1)观察图象可知：x=7,y =10×60+3000=3600,100-60 (2)设PN段的一次函数解析式 2.75这组数据错误 =40(件) 为y=kx+b,将N(0.5,0),P(1. (2)设y=kx十b,把x=1,y= 答：第二次购进甲种布料60件、乙 7,60)代入解析式，得 0.75,x=2,y=1代人可得 种布料40件，全部售完后获得的 0=0.5k+b, 解得/50， 最大利润是3600元. k+b=0.75 k一4 60=1.7k+b, b=-25, 2.(1)设B种书架的单价为x元，则A ,解得 2k+b=1 ∴.PN段的y关于x的函数解析式 种书架的单价为x(1+20%)= b2 为y=50x-25(0.5x1.7): (3)15×2÷50=0.6(h) 12x元，2-20-6，居得x .y=4x+2 答：该巡逻船能接收到该信号的 500,经检验，x=500是原分式方程 当x=16时，y=4.5, 时长为0.6h. 的解，∴.1.2x=600, 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距 43 离为16cm时，秤钩所挂物重是 13.原式=a+b+c. 6.(1)略；(2)S△ABc=4; 4.5斤. 14.由已知得b-2=0,c-3=0,则b 1 22.(1)C点横坐标的实际意义是游 =2,c=3,又，x-4=2,x-4 (3)SAAc=2AE·BC=zX3X 轮从杭州出发前往衢州共用了 =±2，则x=6或x=2,即a=6 BC=.解得BC-号 23h.游轮在“七里扬帆”停靠的 或a=2,当a=6时，2+3<6，故 时长=23-(420÷20)=23-21 a=6(舍去)，所以a=2,则 7.8或168.B9. 39 10.711.9 =2(h). △ABC周长为2+2+3=7， 12.(1)BC边上的高 (2)①280÷20=14h, △ABC为等腰三角形. (2)∠BAC的平分线 .点A(14,280)点B(16,280), 15.(1)BD PC BD+PC BP+ (3)BC边上的中线 点E的横坐标为23-源-24， PC 13.(1)△ABD,△AEC,△BEC,因 (2)在△AMN中，AM+AN> .点E(22.4,420),设BC的解 为它们的面积均为△ABC面积 MN,在△MPB中MP+MB> 析式为s=20t+b,把B(16,280) 的一半. BP,在△NPC中，NP+NC> 代入s=201+b,可得b=-40, (2)△AMC. PC,将三个不等式相加得：AM .s=201-40(16≤1≤23)， 微课堂 +AN+MB+MP+PN+NC 同理由D(14,0),E(22.4,420) >MP+NP+PB+PC,即AB (2)2 可得DE的解析式为s=50t- +AC>BP+PC. 13.2命题与证明 700(14≤t≤22.4)，由题意：20t 第2课时三角形中角的关系 第1课时命题 -40=50t-700,解得1=22， 1.B2.A3.C4.D5.C 1.D2.B3.D .22-14=8(h), ∴.货轮出发后8h追上游轮. 6.60°35°90° 4.(1)(2)(3)(4)(5)(8)是命题，其 中(1)(2)(3)是真命题，(4)(5) ②相遇之前相距12km时，20t一40 7.设∠B=x°，则∠A=100°-x°， ∠C=2x°.故有(100°-x)+x°+ (8)是假命题，(6)(7)不是命题. -(50t-700)=12,解得t=21.6, 相遇之后相距12km时，50t一 2x°=180°，解得x=40.即∠A=5.如果ab<0,那么a十b0假命题 700-(20t-40)=12,解得t= 60°，∠B=40°，∠C=80°.因为6.C 22.4,当游轮在刚离开杭州 △ABC中，最大角∠C=80°. 7.同旁内角互补，两直线平行 12km时，此时根据图象可知货 所以△ABC是锐角三角形. 8.①②④ 轮就在杭州，游轮距离杭州 8.D9.A10.A11.C12.105°9.(1)如果一个三角形是等边三角 12km,所以此时两船应该也是 13.30°14.∠ADE=40°. 形，那么这个三角形的三条边相 相距12km,即在0.6h的时候，两 15.在△BOC中，有∠BOC+∠1+ 等，真命题， 船相距12km,故在0.6h或 ∠2=180°，在△ABC中，有 (2)如果一个数是分数，那么这个 21.6h或22.4h时游轮与货轮相 ∠A+∠ABO+∠1+∠2+ 数一定是实数.真命题， 距12km. ∠AC0=180°，：∠A=50°， (3)如果两条直线相交成直角，那 第13章三角形中的边角 ∠ABO=28°，∠ACO=32°， 么这两条直线互相垂直.真命题. 关系、命题与证明 .∠1+∠2=180°-∠A (4)如果两个角的和为180°，那么 13.1三角形中的边角关系 ∠ABO-∠ACO=70°， 这两个角叫做邻补角.假命题. 第1课时三角形中边的关系 .∠B0C=180°-∠1-∠2=10.不是真命题.如当n=11时， 1.C2.D 110°. n2-n+11=112-11+11=11 3.(1)3画图略；(2)6画图略. 16.(1)2<BC<8 ×11,不是质数 4.A5.C6.B (2)∠ADB=180°-∠ADC=40°， 第2课时定理及证明 7.C【变式】设第三边长为x,由题 在△ABD中，因为∠B+∠BAD:1.①②④② 意，得5-2<x<5+2,解得3<x +∠ADB=180°，且∠BAD=2.同旁内角互补，两直线平行 <7.第三边长为偶数，.x=4 ∠B.所以2∠B=180°-40°，所以 ∠DCE两直线平行，同位角相 或6，这个三角形的周长为11 ∠B=70°，在△ABC中，∠C= 等∠DCE AD BE两直线 或13. 180°-∠B-∠BAC=25°. 平行，内错角相等 8.B9.B10.B 第3课时三角形中几条重要线段3.可推出AD∥BC,推理过程略. 11.-3a<-212.21 1.B2.B3.C4.C5.50° 4.(1)ABC BCD角平分线的定 4539 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1三角形中的边角关系 第1课时 三角形中边的关系 01基础达标 知识点二三角形的三边关系 4.已知三角形的两边长分别是4、7，则第三边长 知识点一 三角形及其分类 a的取值范围是 ( 1.如图所示，以BC为边的三角形共有 ) D A.3<a<11 B.3≤a≤11 C.a>3 D.a<11 5.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.1,3,4 B.2,2,7 2.下列说法正确的是 C.4,5,7 D.3,3,6 ①等腰三角形是等边三角形 ②三角形按边 6.如图，数轴上A,B两点到原点的距离是三角 分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边 形两边的长，则该三角形第三边的长可能是 三角形③等腰三角形至少有两条边相等 A.①②③ B.②③ C.①③ D.③ -5-4-3-2-1012345 3.如图，过A,B,C,D,E五个点中的任意三个点 A.1 B.3 C.7 D.8 画三角形 7.课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知 (1)其中以AB为一边可以画出 个三角 三条线段的长分别是4,4，m,若它们能构成三 形，并画出图形. () (2)其中以C为顶点可以画出 个三角形， 角形，则整数m的最大值是 并画出图形 A.10 B.8 C.7 D.4 【变式】若三角形的两边长分别是5和2，且第 三边的长度是偶数，求这个三角形的周长， 40 02能力提升 14.已知a,b,c为△ABC的三边长，b,c满足(b 2)2+|c-3|=0,且a是方程|x-4|=2的 8.如图，为估计校园内池塘边A, 解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状. B两点之间的距离，小华在池 塘的一侧选取一点O,测得OA A =18m,OB=12m,则A,B两点之间的距离 可能是 ( ) A.6 m B.18m C.30m D.32m 9.如图，将长为8的线段AB分成三条线段AC, CD,BD,且AC=BD=a,若这三条线段首尾 相连能够围成一个三角形，则α的值可以是 ( CD 03思维拓展 A.2 B.3 C.4 D.5 10.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相 15.如图1，由三角形两边的和大于第三边，得 连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允 AB+AD> PD+CD> .将 许折断)，得到的三角形的最长边长为( ) 不等式左边、右边分别相加，得AB十AD十 A.4 B.5 C.6 D.7 PD+CD> ,即AB+AC> 11.三个数3,1-a,1一2a在数轴上从左到右依 次排列，且以这三个数为边长能构成三角形， (1)补全上面步骤； 则a的取值范围为 (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过点P 12.定义：三角形各边均为整数的三角形称为整 作直线交AB,AC于点M,N,证明：AB+AC >PB+PC 边三角形，已知△ABC是整边三角形，三角 形的三边长分别为a,b,c,且a≤b<c,当b 7时，则符合条件的△ABC有个. 13.已知a,b,c是△ABC的三边长，化简：|a-b c+b-c-al+c-a-bl. 第2课时 三角形中角的关系 01 基础达标 7.在△ABC中，∠A+∠B=100°，∠C=2∠B, 求∠A、∠B、∠C的度数并判断其形状. 知识点一三角形按角的大小分类 1.在△ABC中，如果∠B一2∠C=90°一∠C,那 么△ABC是 ( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D,锐角三角形或钝角三角形 2.已知在△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C,那么 △ABC是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 知识点二三角形的内角和 02能力提升 3.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5,则 ∠C等于 ) 8.如图，三角板被木板遮住一部分，三角板被遮 A.45° B.60° C.75 D.90° 住的两个角不可能是 () 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB,∠1= A.一个锐角，一个钝角B.两个锐角 50°，则∠B的度数为 ( ) C.一个锐角，一个直角 D.两个钝角 A.50° B.60 C.30° D.40 120 第8题图 第10题图 第4题图 第5题图 9.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两 ( 5.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点， 个三角形不可能 A.都是锐角三角形 ∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于( ) B.都是直角三角形 A.609 B.70 C.80° D.90° C.都是钝角三角形 6.求下列图中∠1的度数. D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形 30 4012 10.将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上， 人70 1250 40 人60°70°A 点D在BC的延长线上，EF∥BC,∠B 图甲 图乙 图丙 ∠EDF=90°，∠A=45°，∠F=60°，则 图甲中，∠1= ;图乙中，∠1= ∠CED的度数是 () 图丙中，∠1= A.15° B.20 C.25° D.30° 42 11.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，15.在△ABC中，O是三角形内一点，∠A=50°， 若沿图中虚线剪去∠C,则∠1十∠2等于 ∠ABO=28°，∠ACO=32°，求∠BOC的度数. ( A A.90 B.135° C.270° D.315 0 B 3 ch 第11题图 第12题图 12.如图，a∥b,∠1+∠2=75°，则∠3+∠4= 13.当三角形中一个内角α是另一个内角B的两 倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的 “特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的 最小内角的度数为 14.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，点 D,E分别在边BC,AC上，且DE∥AB.若 03 ∠CAD=40°.求∠ADE的度数. 思维拓展 16.已知：如图，在△ABC中，AB=3,AC=5. (1)直接写出BC的取值范围是 (2)若点D是BC边上的一点，∠BAC=85°， ∠ADC=140°，∠BAD=∠B,求∠C的度数. 第3课时 三角形中几条重要线段 01 基础达标 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC, 若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= 知识点一 认识三角形的高、中线与角平分线 6.如图，在△ABC中，AE,CD是△ABC的两条 1.下列说法正确的是 ( ) 高，AB=4,CD=2. ①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平 分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而 (1)请画出AE,CD； 高是直线；③每个三角形都有三条高、中线与角 (2)求△ABC的面积； 平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点 (3)若AE=3,求BC的长. 的直线 A.③④ B.③ C.②③ D.①④ 2.如图，在△ABC中，AB边上的高线画法正确 的是 ( ) B H 易错点未进行分类讨论，出现漏解 D 7.在△ABC中，BC=6,BC边上的高AD=4,且 3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的 BD=2,则△ACD的面积为 有 ①AD平分∠BAF; 02能力提升 ②AF平分∠BAC; 8.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中 ③AE平分∠DAF; B- 点，BG的延长线交AC于点E,F为AB上的 ④AF平分∠DAC;⑤AE平分∠BAC. 一点，CF与AD垂直，交AD于点H,则下面 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 判断正确的有 知识点二三角形的高、中线与角平分线的应用 4.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分 线，AF是中线，则下列说法中错误的是( A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90° C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2S△ABF R ①AD是△ABE的角平分线； ②BE是△ABD的边AD上的中线； ③CH是△ACD的边AD上的高； ④AH是△ACF的角平分线和高. 第4题图 第5题图 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 44 9.如图，在△ABC中，AC=8,BC= 13.如图，△ABC的两条中线AD与CE交于点M 6,AD,BE分别是边BC,AC上 (1)找出图中与△ACD面积相等的所有三角 的高，且AD=6.5,则BE的长为 形，并说明理由； D (2)图中存在与四边形BDME面积相等的三 10.如图，已知△ABC的周长为21cm,AB 角形吗？若有，请直接写出该三角形；若没 6cm,BC边上中线AD=5cm,△ABD的周 有，请说明理由， 长为15cm,则AC长为 cm. 第10题图 第11题图 11.如图，BD是△ABC的高线，点E是BD的中 点.若BD=AC=6,则阴影部分的面积为 12.如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图，你 能分析出他们各自折纸的意图吗？ (1)甲折出的AD是 (2)乙折出的AD是 (3)丙折出的AD是 微课堂等面积法及其应用 【解题模型】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=3,BC=5, AD⊥BC,求AD的长. 【方法指导】用不同的方式表示同一图形的面积（等面积法）. :Sam=AB·AC-号BC·AD.AD-ARTCAC-.3X4- BC 5 5 【变式应用】已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,BC=10. (1)如图1，在斜边BC上有一点D,DE⊥AB,DF⊥AC; 若DE=DF,则DE的长为； (2)如图2，在Rt△ABC内有一点D,DE⊥AB,DF⊥ 图1 图2 AC,DGI BC,若DE=DF=DG,则DE的长为 十m十十十m-十