12.3 第2课时 一次函数的简单应用——双一次函数图象问题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪科版·新教材）

第12章函数与一次函数 第2课时 一次函数的简单应用一双一次函数图象问题 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1,情境数学文化《九章算术》中记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一 尺，问几何日相逢？其大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸，地上种 着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇（注：1尺=10寸）？如图是瓜蔓与瓠蔓离 地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点P的横坐标为() A号 c器 D.45 ↑s/km 100 ↑h/寸 80 90N % P 乙 0 x/天 0 23t/h (第1题) (第2题) 2.[2025济南中考]A,B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他 们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(k)与骑车时间t(h)之间的关系如图所示， 则他们相遇时距离A地 km. 3.教材P52例4变式甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价为 50元，乒乓球每盒定价为10元，现两家商店都搞促销活动：甲商店规定，每买一副乒乓球拍赠2盒 乒乓球；乙商店规定，所有商品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不 少于4盒)，设该校要购买乒乓球x盒，则在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需用y2元： (1)请分别写出y1y2与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）； (2)一题多解对x的取值情况进行分析，试说明在哪家商店购买比较合算， 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.[2026宣城期末共享电动车给我们的出行提供了方便.现有A,B两种品牌 ↑y/元 的共享电动车，收费y(元)与骑行时间x(分钟)之间的函数关系如图所示， 8 6 其中A品牌的收费方式对应y1,B品牌的收费方式对应y2.若骑行8分钟， 则A,B两种品牌的共享电动车收费相差 ( 01020x/分钟 A.1.8元 B.2.8元 (第4题) C.3元 D.3.5元 33 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 5.新情境生活实际[2026淮北杜集期末]某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，共有两种 套餐套餐一：按照运动次数收费；套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折.设运动次数为 x,所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图所示 (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式 (2)当去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少元？ (3)若小马准备花费300元去该体育馆办理套餐，则选择哪种套餐划算？请说明理由 ↑y/元 套餐 套餐二 300 100 20x (第5题) 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 6.[2025绥化中考]自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮 流.某科技公司计划投入一笔资金用来购买A,B两种型号的芯片.已知购买1颗 A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要 1300元. (1)购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元？ (2)若该公司计划购买A,B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型 芯片数量的3倍，则当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？ (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地 N,两车到达N地后均停止行驶.如图，y甲(km)、yz(km)分别是甲、乙两车离M地的距离与甲 车行驶的时间x(h)之间的函数关系.请根据图象信息，解答下面的问题： ①甲车的速度是 km/h; ②当甲、乙两车相距30km时，x的值为 ↑y/km y甲 480 60 0 3 7 x/h (第6题) 34 >“答案与解析”见PI8(-6,0)或(10,0). 3=m+4 Y=kx+b R D 、C (第9题) 10.(1)设直线l1对应的函数表达式为y=kx十b. 因为直线1经过点(2,3)，（一1，一3），所以 2k十b=3,解得 k=2, -k+b=-3, b=-1. 所以直线1对应的函 数表达式为y=2.x-1.把P(-2,a)代入y=2x-1, 得a=2×(-2)-1=-5.(2)由题意，可设直线 l2对应的函数表达式为y=k1x.把P(一2，一5)代 人，得-5=一21解得1=三所以直线与对应的 5 函数表达式为y=2x,所以以点P(一2，一5)的坐标 y=2.x-1, 为对应解的二元一次方程组为 5 (答案不 y= 2 唯一).(3)在y=2x-1中，令x=0,则y=-1. 所以点A的坐标为0，-1八.所以S三w号×1X 2=1. 11.函数y1=2x-2与函数y2=-2x十6的图象如 x=2, 图所示.(1)《 y=2. (2)1<x<3.当y1>0 时，2x-2>0,解得x>1;当y2>0时，-2x+6>0, 解得x<3,所以当y1>0与y2>0同时成立时，x的 取值范围是1<x<3.(3)当x=0时，易得y1 -2,y2=6.所以点A的坐标为(0，一2)，点B的坐标 为(0,6).所以AB=8.令2x-2=-2x十6，解得x= 2,此时y=y2=2.所以点C的坐标为(2,2).所以三 角形ABC的面积=号AB·=号X8X2=8 (4)设点P的横坐标为a.因为三角形ABC与三角 形ABP的面积相等，所以则易得|a=2.又因为点 P异于点C,所以a=一2.所以y1=2×(-2)一 2=一6.所以点P的坐标为(-2，-6). y B y,=2x-2 y2=-2x+6 (第11题》 第2课时一次函数的简单应用一双一次 函数图象问题 1.C由已知可得，瓜蔓离地面的高度h关于生长时 间x的函数表达式为h=90一7x,瓠蔓离地面的高度 h关于生长时间x的函数表达式为h=10x.令90一 7江=10，每得x-号，即点P的横坐标为号 90 230由题图可知，甲对应的图象为正比例函数图 7 象；乙对应的图象为一次函数图象，其与纵轴的交点 坐标为(0,100).设甲的函数图象对应的函数表达式 为s=k1t,乙的函数图象对应的函数表达式为s= k2t十100，则30=2k1,80=k2+100,解得k1=15, k2=一20.所以甲的函数图象对应的函数表达式为 s=15t,乙的函数图象对应的函数表达式为s= 20 t -201+100.联立5=151， 7, 解得 所 s=-20t+100, 300 S= 7 ,300 以他们相遇时距离A地7km. 3 思路导引 甲店付款数=2副乒乓球拍+(x一4)盒乒乓球 乙店付款数=(2副乒乓球拍+x盒乒乓球)X0.9 画y,y的图象，找交点 画yy2y,的图象，找与x轴的交点 最佳方案 求yFyy>yy<y2的解（集） (1)由题意知，在甲商店购买可获赠4盒乒乓球，因 此还需购买(x-4)盒乒乓球，所以y1=10(x一4)十 50×2=10x十60，即y1=10.x+60.因为乙商店规定 所有商品9折优惠，所以y2=0.9(10x十50×2)= 9x+90,即y2=9x+90. (2)解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出这两 个函数的图象，如图①所示.由10.x十60=9.x+90,解 得x=30,所以y=360.故两函数图象交于点(30， 360).由图象可知，当4≤x<30时，10x十60<9x十 90;当x=30时，10x+60=9x+90;当x>30时， 10.x十60>9x十90.所以当4≤x<30时，在甲商店购 买比较合算；当x=30时，在甲商店购买与在乙商店 购买一样合算；当x>30时，在乙商店购买比较 合算 解法二：设在乙商店购买与在甲商店购买所用价钱的 差额为y元.由题意，得y=(9.x十90)-(10x十 60)=-x十30.在平面直角坐标系中画出这个函数 的图象，如图②所示.当y=0时，x=30,即y= 一x十30的图象与x轴的交点坐标是(30,0).由图象 可知，当4≤x<30时，y>0,即在甲商店购买比较合 算；当x=30时，y=0,即在甲商店购买与在乙商店 购买一样合算；当x>30时，y<0,即在乙商店购买 比较合算 解法三：由y1=y2,得10.x+60=9x十90，解得x 30;由y1>y2,得10.x+60>9x+90,解得x>30;由 y1<y2,得10.x十60<9x十90，解得x<30.所以当 x=30时，买甲、乙两家商店购买一样合算；当x>30 时，在乙商店购买比较合算；当4≤x<30时，在甲商 店购买比较合算 y/元 y,=10x+60 400 360---- y2=9x+90 300 200 y/元 18 11111111 26 1y=-x+30 048121620242832x/个04 30、x/个 ⑦ ③ (第3题) 4.B设y1=k1x,则8=20k1,所以k1= .所以 2 1=5x.当0<x≤10时，y2=6.所以当x=8时， 1=号×8=82y:=6则-1=6-3.2=2.8， 即骑行8分钟时，A,B两种品牌的共享电动车收费相 差2.8元. 5.(1)设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为 y1=k1x,由题意，得5k1=100,解得k1=20,所以套 餐一中的y关于x的函数表达式为y1=20x.设选择 套餐二时，y关于x的函数表达式为y2=k2x十b,将 b=100, (0,100)和(20,300)代入，得 解得 (20k2+b=300, 6=100'所以套餐二中的y关于x的函数表达式为 k2=10. y2=10x十100.（2)根据题意，当y1=y2时，两种 套餐费用一样，即20x=10.x十100，解得x=10,此时 y1=y2=200,所以当去体育馆健身10次时，两种套 餐费用一样，费用为200元.(3)选择套餐二更划 算.理由：若办套餐一，则20x=300,解得x=15;若 办理套餐二，则10x十100=300，解得x=20.因为 20>15,所以若小马准备花费300元去该体育馆办理 套餐，则选择套餐二更划算. 6.(1)设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗 B型芯片需要n元根据题意，得 m+2n=750,解 (2m+3n=1300, m=350'所以购买1颗A型芯片需要350元，购 得 n=200. 买1颗B型芯片需要200元.(2)设购买A型芯片 a颗，则购买B型芯片(8000一a)颗.根据题意，得 a≥3(8000-a),解得a≥6000.设所需资金为 W元，则W=350a十200(8000-a)=150a+ 1600000.因为150>0，所以W随a的增大而增大. 因为a≥6000，所以当a=6000时，W的值最小， W最小=150×6000+1600000=2500000.所以当购 买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是 2500000元.(3)①80.乙车的速度为(480 60)÷7=60(km/h),当x=3时，yz=60+60X3= 240,则甲车的速度为240÷3=80(km/h).②1.5 或4.5或6.5.由①知，y年=80x.当80x=480时， x=6,所以y甲与x之间的函数表达式为y年=80x (0≤x≤6)，y乙与x之间的函数表达式为yz= 60x十60(0≤x≤7).当0≤x≤6时，若甲、乙两车相 距30km,则|yz-y甲=30，即60x+60-80x|= 30,解得x=1.5或4.5；当6<x≤7时，若甲、乙两车 相距30km,则480-yz=30,即480-(60.x+60)= 30,解得x=6.5.所以当甲、乙两车相距30km时，x 的值为1.5或4.5或6.5. 专题特训四一次函数与几何综合 1.(1)(2,4).联立 立=x+2,。解得=2所以 y=-2x+8, y=4. 点A的坐标是(2,4).(2)设C(t,t+2),D(t, -2t+8).因为CD=3,所以|t+2-(-2t+8)|=3, 解得t=1或3.所以t的值为1或3. 2.(1)将x=1代入y=-2x+5,得y=-2X1+ 5=3,所以D(1,3).设直线12对应的函数表达式为 y=k.x十b.将B(-2,0),D(1,3)代入，得 -2k+b=0,2 k+b=3, 得化=1‘所以直线，对应的函数表 解 b=2. 达式为y=x+2.(2①易得A(受，0，C(0,5). 由题意知，点P的横坐标为，0≤加≤号，则 P(m,-2m十5).因为PF垂直于y轴，所以PF∥ x轴.所以点P,F的纵坐标相同.因为点F在直线2