12.3 一次函数与二元一次方程 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到拓展探究，覆盖一次函数与方程（组）全知识点，梯度合理，适配新授课教学，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（方程与函数互化、交点坐标）|选择填空辨析概念，解答题训练图象法步骤，强化基础操作| |能力提升|综合应用（含参数问题、实际应用）|含参数方程组解的情况分析，培养推理意识；收费问题建模，体现模型意识| |拓展探究|探究拓展（函数与不等式综合、动态问题）|函数与不等式关系探究，结合行程问题分析，发展创新意识与应用能力|

沪科版八年级数学（上册）　12.3 一次函数与二元一次方程 第12章　函数与一次函数 12.3　一次函数与二元一次方程　课时作业 班级：____________　姓名：____________　得分：__________ 一、知识梳理 知识点1　二元一次方程与一次函数的关系 一般地，二元一次方程 ax + by = c（a、b、c 是常数，且 a ≠ 0，b ≠ 0）可以变形为 　　　　y = -x + ， 它是一个一次函数。所以每一个二元一次方程都对应着一个一次函数，也就对应着一条直线。 重要结论： ① 以二元一次方程的解为坐标的点，都在对应的直线上； ② 反过来，这条直线上每一个点的坐标，都是这个二元一次方程的解。 例如：方程 x + y = 3 可化为 y = -x + 3，它的解 x = 1，y = 2 对应直线上的点 (1，2)。 知识点2　二元一次方程组与两条直线 二元一次方程组中的两个方程，分别对应两条直线。 方程组的解就是两条直线交点的坐标；反过来，两条直线交点的坐标就是方程组的解。 如图，直线 y = x + 1 与直线 y = -2x + 4 交于点 (1，2)， 所以方程组 y = x + 1，y = -2x + 4（即 x - y = -1，2x + y = 4）的解是 x = 1，y = 2。 知识点3　用图象法解二元一次方程组 步骤： ① 变形：把两个方程都化为 y = kx + b 的形式； ② 画图：在同一个平面直角坐标系中画出两条直线（用两点法）； ③ 读数：找出两条直线的交点，写出交点的坐标； ④ 检验：把所得的 x、y 的值代入原方程组进行检验，并写出方程组的解。 说明：图象法直观，但从图上读出的解有时只是近似值；要得到精确解，仍要用代入法或加减法。 知识点4　方程组解的情况与两条直线的位置关系 两条直线的位置 交点个数 方程组的解 相交（k 不相等） 1 个 有唯一解 平行（k 相等，b 不相等） 0 个 无解 重合（k、b 都相等） 无数个 有无数个解 如图，y = 2x + 1 与 y = 2x - 3 的 k 相同而 b 不同，两直线平行，没有交点，对应的方程组无解。 知识点5　一次函数与一元一次方程 解一元一次方程 kx + b = 0，就相当于求一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴交点的横坐标。 例如：直线 y = 2x - 6 与 x 轴交于点 (3，0)，所以方程 2x - 6 = 0 的解是 x = 3。 同样地，方程 kx + b = m 的解，就是直线 y = kx + b 与直线 y = m 交点的横坐标。 由图象还可以直接看出：图象在 x 轴上方的部分对应 y > 0，在 x 轴下方的部分对应 y < 0。 知识点6　用一次函数与方程（组）解决实际问题 解决实际问题的一般思路： ① 设出变量，分别写出两个量的函数解析式； ② 若要求“两者相等”的时刻（或数量），就令两个解析式相等，或列出方程组求解； ③ 两条图象的交点表示“此时两个量相等”，交点两侧则表示一个量大于另一个量； ④ 结合图象作出判断（如哪种方案更省钱、什么时候追上等）。 易错提醒 1．把二元一次方程化为一次函数时，要注意移项与系数化 1 的符号，如由 2x - y = 3 得 y = 2x - 3，不是 y = 2x + 3。 2．方程组的解写成 x = a，y = b，而交点坐标写成 (a，b)，两者形式不同，不要混写。 3．用图象法解方程组时，直线一定要画准（用两点法并延长），否则读出的交点会有偏差。 4．判断方程组是否有解，只需比较两个一次函数的 k：k 不同必有唯一解，k 相同还要再比较 b。 5．实际问题中的自变量往往有取值范围（如时间 t ≥ 0），求出的解要检验是否符合实际。 二、基础巩固 （一）选择题（每题 3 分） 1．把二元一次方程 2x - y = 3 写成一次函数的形式，正确的是（　　） 　　A．y = 2x + 3　　B．y = 2x - 3　　C．y = -2x + 3　　D．y = 3 - 2x 2．一次函数 y = -x + 2 的图象上任意一点的坐标，都是下列哪个方程的解（　　） 　　A．x + y = 2　　B．x - y = 2　　C．x + y = -2　　D．2x + y = 2 3．若二元一次方程组的解是 x = 2，y = 3，则对应的两条直线的交点坐标是（　　） 　　A．(3，2)　　B．(2，3)　　C．(-2，-3)　　D．(2，-3) 4．直线 y = 2x + 1 与直线 y = 2x - 3 的交点个数是（　　） 　　A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．无数个 5．如图，直线 y = x + 1 与直线 y = -2x + 4 相交于点 P，则关于 x、y 的方程组 y = x + 1，y = -2x + 4 的解是（　　） 　　A．x = 1，y = 2　　B．x = 2，y = 1　　C．x = -1，y = 2　　D．x = 0，y = 1 6．直线 y = 3x - 6 与 x 轴的交点的横坐标是方程（　　）的解 　　A．3x = 0　　B．3x - 6 = 0　　C．3x + 6 = 0　　D．y = 3x - 6 7．若关于 x、y 的二元一次方程组无解，则它所对应的两条直线（　　） 　　A．相交　　B．平行　　C．重合　　D．无法确定 8．已知点 P(a，b) 是直线 y = x + 1 与直线 y = -2x + 7 的交点，则 a + b 的值是（　　） 　　A．3　　B．4　　C．5　　D．6 （二）填空题（每题 3 分） 9．把二元一次方程 3x + y = 5 化成一次函数的形式为 ________________。 10．直线 y = 2x - 4 与 x 轴的交点坐标是 ____________，因此一元一次方程 2x - 4 = 0 的解是 ________。 11．直线 y = x + 3 与直线 y = -2x 的交点坐标是 ____________。 12．已知方程组 x - y = 1，x + y = 5 的解是 x = ________，y = ________，所以直线 y = x - 1 与直线 y = -x + 5 的交点坐标是 ____________。 13．若直线 y = kx + 1 经过直线 y = 2x - 1 与直线 y = -x + 5 的交点，则 k = ________。 14．若关于 x、y 的方程组 y = 3x + 1，y = mx - 2 无解，则 m = ________。 15．直线 y = -2x + 6 与两条坐标轴围成的三角形的面积是 ________。 16．如图，直线 l₁ 与 l₂ 相交于点 (-1，2)，已知 l₁ 的解析式为 y = x + 3，l₂ 的解析式为 y = -x + 1，则关于 x、y 的方程组 y = x + 3，y = -x + 1 的解是 ____________________。 （三）解答题 17．（12 分）用图象法解方程组：x + y = 5，2x - y = 1。 　(1) 把两个方程分别化为一次函数的形式； 　(2) 在下面的坐标系中画出两条直线； 　(3) 写出两条直线的交点坐标，并由此写出方程组的解； 　(4) 把所得的解代入原方程组进行检验。 18．（12 分）已知直线 l₁：y = 2x - 3 与直线 l₂：y = -x + 3。 　(1) 在同一坐标系中画出这两条直线； 　(2) 用解方程组的方法求出它们的交点坐标； 　(3) 分别求出 l₁、l₂ 与 x 轴的交点坐标； 　(4) 求这两条直线与 x 轴围成的三角形的面积。 19．（10 分）已知二元一次方程 2x + y = 6。 　(1) 写出它的三个解； 　(2) 把它化为一次函数的形式； 　(3) 判断点 (1，4)、(2，3)、(0，6) 是否都在这个一次函数的图象上，并说明理由； 　(4) 若点 (m，-2) 在这条直线上，求 m 的值。 20．（10 分）已知直线 y = kx + b 经过点 A(0，3) 和点 B(2，-1)。 　(1) 求这条直线的解析式； 　(2) 求这条直线与 x 轴的交点坐标，并写出对应的一元一次方程及它的解； 　(3) 若这条直线与直线 y = x - 3 相交，求交点的坐标。 三、能力提升 21．已知直线 y = kx + b 与直线 y = mx + n 交于点 (3，-2)，则关于 x、y 的方程组 y = kx + b，y = mx + n 的解是（　　） 　　A．x = 3，y = 2　　B．x = -2，y = 3　　C．x = 3，y = -2　　D．无法确定 22．若一次函数 y = ax + b 与 y = cx + d 的图象交于点 (1，3)，则关于 x 的方程 ax + b = cx + d 的解是（　　） 　　A．x = 1　　B．x = 3　　C．x = -1　　D．x = 4 23．方程组 2x + y = 4，x - y = -1 的解是 ____________________，它表示直线 y = -2x + 4 与直线 y = x + 1 的交点坐标是 ____________。 24．若直线 y = 2x + m 与直线 y = 3x - 2 的交点在 x 轴上，则 m = ____________。 25．（12 分）如图，直线 y = x + 2 与直线 y = -x + 4 相交于点 P，它们与 x 轴分别交于点 A、B。 　(1) 求点 P 的坐标； 　(2) 求点 A、B 的坐标； 　(3) 求 △PAB 的面积； 　(4) 直接写出：当 x 取什么值时，直线 y = x + 2 上的点在直线 y = -x + 4 上的点的下方？ 26．（12 分）某健身房有两种收费方式：A 种方式先交 200 元会员费，然后每次锻炼再交 10 元；B 种方式不交会员费，每次锻炼交 20 元。设锻炼 x 次，两种方式的费用分别为 y₁ 元、y₂ 元。 　(1) 分别写出 y₁、y₂ 与 x 之间的函数解析式； 　(2) 列方程组求出两种方式费用相同时的锻炼次数与费用，并说明它与图象交点的关系； 　(3) 小明打算锻炼 30 次，选择哪种方式更省钱？可以省多少元？ 27．（12 分）已知关于 x、y 的方程组 y = 2x + 1，y = kx + 3。 　(1) 当 k 取什么值时，方程组有唯一解？ 　(2) 当 k 取什么值时，方程组无解？此时两条直线有什么位置关系？ 　(3) 当 k = -1 时，求方程组的解，并写出两条直线交点的坐标。 四、拓展探究 28．（12 分）阅读与探究：用图象研究方程与不等式。 　如图，直线 y = 2x - 2 与直线 y = -x + 4 相交于点 P(2，2)，直线 y = 2x - 2 与 x 轴交于点 (1，0)。 　(1) 写出方程组 y = 2x - 2，y = -x + 4 的解； 　(2) 由图象直接写出不等式 2x - 2 > -x + 4 的解集； 　(3) 由图象直接写出不等式 2x - 2 < 0 的解集； 　(4) 总结：比较两个一次函数值的大小，可以怎样借助图象来判断？ 29．（12 分）甲、乙两车从 A 地开往 B 地。甲车先出发，图中的两条线段分别表示甲、乙两车行驶的路程 s(km) 与时间 t(时) 之间的函数关系。 　(1) 求甲、乙两车的速度； 　(2) 分别写出甲、乙两车行驶的路程 s 与时间 t 之间的函数解析式（注明自变量的取值范围）； 　(3) 列方程组求出两条图象交点的坐标，并说明这个交点的实际意义； 　(4) 乙车出发后经过多长时间与甲车相距 30 km（追上之前）？ 五、参考答案与详解 （一）选择题 1．B 【解析】由 2x - y = 3 得 -y = 3 - 2x，两边同乘 -1 得 y = 2x - 3。故选 B。 【方法点拨】移项要变号，最后系数化为 1 时每一项都要变号，这是最容易出错的一步。 2．A 【解析】把 y = -x + 2 移项得 x + y = 2，所以图象上点的坐标都是方程 x + y = 2 的解。故选 A。 3．B 【解析】方程组的解 x = 2，y = 3 对应的点是 (2，3)，即两条直线的交点坐标。故选 B。 【方法点拨】解写成“x = …，y = …”，坐标写成“(横，纵)”，顺序千万不能颠倒。 4．A 【解析】两条直线的 k 都是 2 而 b 不同，所以它们平行，没有交点。故选 A。 5．A 【解析】由图可知两条直线的交点是 P(1，2)，方程组的解就是交点的坐标，即 x = 1，y = 2。故选 A。 6．B 【解析】直线与 x 轴的交点的纵坐标为 0，即 3x - 6 = 0，所以交点的横坐标就是方程 3x - 6 = 0 的解。故选 B。 7．B 【解析】方程组无解说明两条直线没有公共点，即两条直线平行。故选 B。 8．C 【解析】联立 x + 1 = -2x + 7，得 3x = 6，x = 2，此时 y = 2 + 1 = 3，即交点为 (2，3)。所以 a + b = 2 + 3 = 5。故选 C。 （二）填空题 9．y = -3x + 5 10．(2，0)；x = 2 【解析】令 y = 0 得 2x - 4 = 0，x = 2，交点为 (2，0)，方程的解为 x = 2。 11．(-1，2) 【解析】联立 x + 3 = -2x，得 3x = -3，x = -1，此时 y = -2 × (-1) = 2，交点为 (-1，2)。 12．3；2；(3，2) 【解析】两式相加得 2x = 6，x = 3，代回得 y = 2。交点坐标为 (3，2)。 13．1 【解析】先求交点：2x - 1 = -x + 5，3x = 6，x = 2，y = 3，交点为 (2，3)。把 (2，3) 代入 y = kx + 1 得 3 = 2k + 1，解得 k = 1。 【方法点拨】“某直线经过两直线的交点”，一律先把交点求出来，再代入。 14．3 【解析】方程组无解 ⇔ 两条直线平行 ⇔ k 相同而 b 不同，故 m = 3（此时常数项 1 ≠ -2，确实平行）。 15．9 【解析】令 y = 0 得 x = 3，与 x 轴交于 (3，0)；令 x = 0 得 y = 6，与 y 轴交于 (0，6)。面积 = × 3 × 6 = 9。 16．x = -1，y = 2 【解析】方程组的解就是两条直线交点的坐标所对应的 x、y 值，由图知交点为 (-1，2)。 （三）解答题 17． 【答案】(1) y = -x + 5 与 y = 2x - 1；(3) 交点为 (2，3)，方程组的解为 x = 2，y = 3；(4) 检验略（见解析）。图象如下： 【解析】(1) 由 x + y = 5 得 y = -x + 5；由 2x - y = 1 得 y = 2x - 1。 　　(2) 直线 y = -x + 5 过点 (0，5) 与 (5，0)；直线 y = 2x - 1 过点 (0，-1) 与 (，0)。分别作出这两条直线。 　　(3) 观察图象，两条直线交于点 (2，3)，所以方程组的解是 x = 2，y = 3。 　　(4) 检验：把 x = 2，y = 3 代入原方程组， 　　　　左边 x + y = 2 + 3 = 5 = 右边；左边 2x - y = 4 - 3 = 1 = 右边。所以解正确。 【方法点拨】图象法读出的交点如果不是整数点，只能得到近似解，这时应改用代入法或加减法求精确解。 18． 【答案】(2) 交点为 (2，1)；(3) l₁ 与 x 轴交于 (，0)，l₂ 与 x 轴交于 (3，0)；(4) 面积为 。图象如下： 【解析】(2) 联立 2x - 3 = -x + 3，得 3x = 6，x = 2，代入得 y = 2 × 2 - 3 = 1，交点为 (2，1)。 　　(3) 令 y = 0：由 2x - 3 = 0 得 x = ；由 -x + 3 = 0 得 x = 3。 　　(4) 三角形的底是两个 x 轴交点之间的距离：3 - = ； 　　　　高是交点到 x 轴的距离，即交点的纵坐标 1。 　　　　所以 S = × × 1 = 。 19． 【答案】(1) 如 x = 0，y = 6；x = 1，y = 4；x = 2，y = 2（答案不唯一）；(2) y = -2x + 6；(3) (1，4)、(2，3) 中只有 (1，4) 在图象上，(0，6) 也在图象上，(2，3) 不在；(4) m = 4。 【解析】(1) 任取 x 的值代入 2x + y = 6 求出对应的 y 即可。 　　(2) 由 2x + y = 6 得 y = -2x + 6。 　　(3) 当 x = 1 时，y = -2 + 6 = 4，故 (1，4) 在图象上； 　　　　当 x = 2 时，y = -4 + 6 = 2 ≠ 3，故 (2，3) 不在图象上； 　　　　当 x = 0 时，y = 6，故 (0，6) 在图象上。 　　(4) 把 (m，-2) 代入 y = -2x + 6：-2 = -2m + 6，解得 m = 4。 【方法点拨】“点在直线上”⇔“点的坐标是对应方程的解”，两种说法可以随时互换。 20． 【答案】(1) y = -2x + 3；(2) 与 x 轴交于 (，0)，对应方程 -2x + 3 = 0，解为 x = ；(3) 交点为 (2，-1)。 【解析】(1) 把 (0，3) 代入得 b = 3；把 (2，-1) 代入得 2k + 3 = -1，解得 k = -2。所以 y = -2x + 3。 　　(2) 令 y = 0：-2x + 3 = 0，解得 x = ，交点为 (，0)。 　　(3) 联立 -2x + 3 = x - 3，得 3x = 6，x = 2，代入得 y = 2 - 3 = -1，交点为 (2，-1)。 （四）能力提升 21．C 【解析】交点坐标 (3，-2) 中，横坐标是 x 的值，纵坐标是 y 的值，所以方程组的解是 x = 3，y = -2。故选 C。 22．A 【解析】两图象的交点满足 ax + b = cx + d，交点的横坐标就是这个方程的解，故 x = 1。故选 A。 【方法点拨】“两个函数值相等”对应的就是一个一元一次方程，它的解正是交点的横坐标。 23．x = 1，y = 2；(1，2) 【解析】两式相加得 3x = 3，x = 1，代回得 y = 2。所以两直线交于点 (1，2)。 24．- 【解析】交点在 x 轴上说明交点的纵坐标为 0。先由 y = 3x - 2 求出它与 x 轴的交点：3x - 2 = 0，x = ，交点为 (，0)。 　　　　把 (，0) 代入 y = 2x + m：0 = 2 × + m，解得 m = -。 25． 【答案】(1) P(1，3)；(2) A(-2，0)，B(4，0)；(3) S△PAB = 9；(4) 当 x < 1 时。 【解析】(1) 联立 x + 2 = -x + 4，得 2x = 2，x = 1，y = 1 + 2 = 3，故 P(1，3)。 　　(2) 令 y = 0：由 x + 2 = 0 得 x = -2，故 A(-2，0)；由 -x + 4 = 0 得 x = 4，故 B(4，0)。 　　(3) 底 AB = |4 - (-2)| = 6，高是点 P 到 x 轴的距离 3，所以 S = × 6 × 3 = 9。 　　(4) “直线 y = x + 2 上的点在直线 y = -x + 4 上的点的下方”即 x + 2 < -x + 4， 　　　　由图象可知，交点 P 的横坐标为 1，在交点左侧直线 y = x + 2 位置更低，故 x < 1。 26． 【答案】(1) y₁ = 10x + 200，y₂ = 20x（x 为非负整数）；(2) 锻炼 20 次时费用相同，都是 400 元，即两图象的交点为 (20，400)；(3) 选 A 种方式，可省 100 元。 【解析】(1) A 种：200 元会员费加上每次 10 元，故 y₁ = 10x + 200；B 种：每次 20 元，故 y₂ = 20x。 　　(2) 列方程组 y = 10x + 200，y = 20x。由 10x + 200 = 20x 得 10x = 200，x = 20，此时 y = 400。 　　　　这组解就是两条图象交点的坐标 (20，400)，实际意义是：锻炼 20 次时两种方式费用相同，都是 400 元。 　　(3) 当 x = 30 时，y₁ = 10 × 30 + 200 = 500(元)，y₂ = 20 × 30 = 600(元)。 　　　　因为 500 < 600，所以选 A 种方式更省钱，可以节省 600 - 500 = 100(元)。 【方法点拨】从图象上看，交点右侧 A 的图象在下方，说明次数超过 20 次后 A 更省钱；交点左侧则 B 更省钱。 27． 【答案】(1) k ≠ 2；(2) k = 2，两条直线平行；(3) 解为 x = ，y = ，交点为 (，)。 【解析】(1) 两个一次函数的 k 不相等时，两条直线相交，方程组有唯一解，故 k ≠ 2。 　　(2) 当 k = 2 时，两条直线为 y = 2x + 1 与 y = 2x + 3，k 相同而 b 不同，两直线平行，方程组无解。 　　(3) 当 k = -1 时，联立 2x + 1 = -x + 3，得 3x = 2，x = ， 　　　　代入得 y = 2 × + 1 = 。所以交点为 (，)。 （五）拓展探究 28． 【答案】(1) x = 2，y = 2；(2) x > 2；(3) x < 1；(4) 见解析。 【解析】(1) 两条直线交于 P(2，2)，所以方程组的解为 x = 2，y = 2。 　　(2) 不等式 2x - 2 > -x + 4 表示直线 y = 2x - 2 上的点在直线 y = -x + 4 上的点的上方。 　　　　由图象可知，在交点 P 的右侧（即 x > 2）时，直线 y = 2x - 2 位置更高，所以解集为 x > 2。 　　(3) 不等式 2x - 2 < 0 表示直线 y = 2x - 2 上的点在 x 轴下方。因为它与 x 轴交于 (1，0)， 　　　　所以当 x < 1 时图象在 x 轴下方，解集为 x < 1。 　　(4) 结论：比较两个一次函数值的大小，只需先求出两条直线的交点，再看在交点的哪一侧哪条直线“在上方”—— 　　　　在上方的那条直线对应的函数值就较大。这就是“用图象法解不等式”的基本思想。 【方法点拨】方程 ⇔ 交点；不等式 ⇔ 图象的上下位置关系。把代数问题转化为图形位置问题，正是数形结合的威力。 29． 【答案】(1) 甲车 60 km/h，乙车 90 km/h；(2) 甲：s = 60t（0 ≤ t ≤ 5），乙：s = 90t - 90（1 ≤ t ≤ 4）；(3) 交点为 (3，180)，表示乙车出发 2 小时后（即甲车出发 3 小时后）追上甲车，此时两车都距 A 地 180 km；(4) 乙车出发 1 小时后（追上之前）与甲车相距 30 km。 【解析】(1) 甲车 5 小时行驶 300 km，速度为 300 ÷ 5 = 60(km/h)； 　　　　乙车从第 1 小时开始到第 4 小时行驶了 270 km，用时 3 小时，速度为 270 ÷ 3 = 90(km/h)。 　　(2) 甲车从 t = 0 出发：s = 60t；乙车从 t = 1 出发，已行驶 (t - 1) 小时： 　　　　s = 90(t - 1) = 90t - 90。 　　(3) 列方程组 s = 60t，s = 90t - 90。由 60t = 90t - 90 得 30t = 90，t = 3，此时 s = 180。 　　　　所以交点为 (3，180)。它表示：甲车出发 3 小时（乙车出发 2 小时）时两车路程相同，即乙车追上甲车，此时距 A 地 180 km。 　　(4) 设乙车出发 x 小时（0 < x < 2）时两车相距 30 km，此时甲车已行驶 (x + 1) 小时， 　　　　由 60(x + 1) - 90x = 30 得 60x + 60 - 90x = 30，-30x = -30，x = 1。 　　　　经检验 0 < 1 < 2 符合题意，即乙车出发 1 小时后与甲车相距 30 km。 【方法点拨】行程图象中，两条线的“交点”表示追上（或相遇），两条线之间的“竖直距离”表示此刻两车相距的路程。 本节小结 1．一个二元一次方程 ⇔ 一个一次函数 ⇔ 一条直线；方程的解 ⇔ 直线上的点。 2．二元一次方程组的解 ⇔ 两条直线的交点坐标；解写成“x = a，y = b”，坐标写成“(a，b)”。 3．图象法解方程组四步：化形式 → 画直线 → 读交点 → 代入检验；读数不准时应改用代数方法。 4．k 不同 → 相交（唯一解）；k 相同 b 不同 → 平行（无解）；k、b 都相同 → 重合（无数解）。 5．一次函数与方程、不等式的联系：与 x 轴交点定方程 kx + b = 0 的解；图象的上下位置定不等式的解集。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $