河北邢台市2026～2027 学年 九年级上学期数学第一次学情自测试卷

九年级数学（J） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1．若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是 A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的一个解为，则实数的值是 A． B． C． D． 3．某西瓜基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：kg）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的 A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 4．已知，则的值为 A． B． C． D． 5．某厂加工了400个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.3，49.8，50.0，50.0，50.7，50.2，49.9，50.1，49.0，50.2．当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这400个工件中一等品的个数是 A．50 B．80 C．320 D．360 6．用公式法解方程时，得，则“”处应填 A．1 B． C． D．2 7．古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图1所示为其部分琴弦的示意图．已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，是弦上一点，过点作射线，交弦于点，交弦于点．若，则的长为 A．4 B．5 C．6 D．7 8．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．若一组数据：11，13，7，9，，8，9，11唯一的众数是11，则这组数据的中位数是 A．8 B．9 C．10 D．11 10．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得…………第一步 二次项系数化为1，得……………………第二步 配方，得…………………………………第三步 ①，②分别表示的数是 A．3， B．， C．3， D．， 11．某校从九年级同学中随机选取若干名男生，进行“引体向上”体能测试．小明根据测试成绩绘制出下面的统计表．由于他看错m的值，计算出平均成绩为8.2分，低于实际平均成绩，则m的值可能是 成绩统计表 成绩（分） 7 8 9 10 人数 2 m 2 1 A．4 B．5 C．6 D．7 12．欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图2，以和b为直角边作，再在斜边上截取，则图中哪条线段的长是方程的解 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．某学校举行歌唱比赛，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进人决赛．如果小明参加了比赛且知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道一个统计量，这个统计量是这11名同学成绩的____________． 14．某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元．如图3是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为____________元． 15．近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，则根据题意可列方程为____________． 16．黄金分割是汉字结构美学中，符合大众视觉审美的经验性比例规律．借助边长为的正方形习字格，书写常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点、分别在习字格的边、上，且，点是线段的黄金分割点，满足，若，则的值为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分7分） 已知四条线段a、b、c、d，其中，，c是a和b的比例中项． （1）求c的值； （2）若d满足，求d的值． 18．（本小题满分8分） 某城市9月份空气质量指数的箱线图如图5所示． （1）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ （2）请分析这个月空气质量的特点． 19．（本小题满分8分） 对于解方程，嘉淇的做法如下： 解：等号右边因式分解，得． 步骤① 等号两边同时除以，得． 步骤② 去括号，得． 步骤③ 移项、合并同类项，得． 步骤④ 系数化为1，得． 步骤⑤ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_______（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 20．（本小题满分8分） 在引体向上的测试中，5名同学完成的个数分别为5，9，1，3，11．根据组内离差平方和最小的原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组． 21．（本小题满分9分） 如图6，已知在中，，，，． （1）求的长； （2）当时，求的长． 22．（本小题满分9分） 节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图（如图7），其中统计表被墨迹遮盖了一部分． 甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表 四月 五月 六月 平均数 方差 甲 7.2 8.8 8 8 乙 5 6.4 5.8 甲、乙两个家庭月用水量折线图 （1）求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图； （2）求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小； （3）甲家庭七月份的用水量比六月份的用水量下降，恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值． 23．（本小题满分11分） 已知矩形两条边和的长恰好是关于的一元二次方程的两根． （1）试说明，无论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若矩形的对角线长，求矩形的周长和面积． （3）在（2）的条件下，数学兴趣小组探究：“是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半？”如果存在，请求出该矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 24．（本小题满分12分） 某书店推出一套珍藏版书籍，其进价50元/套，如果按照100元/套出售，平均每天可售出40套．经过一段销售发现：对于普通顾客，每套售价每降低2元，平均每天的销量可增加10套． （1）在普通顾客销售中，设售价降低元（，且为整数） ①用含的代数式表示：实际售价_________元；平均每天的销量_________套． ②在普通顾客销售中，书店希望日均销售利润达到3600元，且尽可能让利于顾客，求此时的售价． （2）某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的，且会员顾客的销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学答案（J） 1-5AABBC 6-10DCDCB 11-12AD 13. 中位数 14.14.5 15.25(1+x)2=36 16. 17. 解：（1）∵c是a和b的比例中项， ∴c2=ab=4×9， ∴c=6（舍去负值）．……………………………………………………4分 （2）∵a：b=c：d, ∴4：9=6：d，∴d=……………………………………………………7分 18. 解：（1）根据箱线图可知，这个月空气质量指数的最大值是110、最小值是30、 第一四分位数是40、第二四分位数为50，第三四分位数是80；……………5分 （2）由箱线图可知，这个月空气质量指数有集中在30到40之间，分布在80到110 之间，这个月空气质量指数的中位数是50，说明这个月空气质量指数有一半低于50， 中位数右边较长，说明空气质量指数大的部分较分散，空气质量指数小的部分较集 中.……………………………………………………………………………………8分 19.（1）②；…………………………………………………………2分 （2）3（x－2）2=x2－4， 3（x－2）2=（x+2）（x－2）， 3（x－2）2－（x+2）（x－2）=0， （x－2）[3（x－2）－（x+2）]=0， （x－2）（3x－6－x－2）=0， （x－2）（2x－8）=0， x－2=0或2x－8=0， 解得x1=2，x2=4．……………………………………………………8分 20.解：将5名同学完成个数从小到大排列，可得1，3，5，9，11……………2分 分组情况 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第一组1个 第二组4个 0 40 40 第一组2个 第二组3个 2 第一组3个 第二组2个 8 2 10 第一组4个 第二组1个 35 0 35 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按“第一组3个，第二组2个”分组时，组内离差平方和最小，因此按照组内离差平方和最小的分法为{1，3，5}和{9，11}……8分 21.解：（1）∵EF∥CD，AF=6，AD=10，AE=8，∴，∴， ∴AC= ………4分 （2）∵DE∥BC，AC=，AE=8，∴ ∵AD=10，∴，解得：AB=………………………………………………9分 22. 解：（1）设乙家庭四月份的用水量为x吨，=5.8，解得x=6， ∴乙家庭四月份的用水量为6吨…………………………………………2分 补全折线图： …………………………………………3分 （2）s2乙家庭=×[（6－5.8)2+(5－5.8)2+(6.4－5.8)2]=， ∵s2甲家庭 = ， ∴s2乙家庭＜s2甲家庭， ∴乙家庭的月用水量波动小；……………………………………6分 （3）∵乙家庭第二季度月用水量由小到大排列为5，6，6.4， ∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为6， 由题意得，8（1－m%）=6， 解得m=25．…………………………………………………………9分 23.（1）证明：在x2－（2k+1）x+4k－3=0中，a=1，b=－（2k+1），c=4k－3， ∴b2-4ac=[－(2k+1)]2－4×1×（4k－3） =4k2－12k+13 =4（k－）2+4＞0， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；……………………4分 （2）解：∵AB和BC是方程的两个根， ∴AB+BC=2k+1，AB•BC=4k－3， ∵矩形ABCD的对角线长AC=， ∴AB2+BC2=AC2，即（AB+BC）2－2AB•BC=AC2， ∴（2k+1）2－2（4k－3）=31， 整理得：4k2－4k－24=0， 解得：k1=3，k2=－2， ∵AB+BC＞0， ∴2k+1＞0， ∴k=3， ∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2×7=14，矩形ABCD的面积为：AB•BC=9； …………………………………………………………………………………………8分 （3）解：①不存在，………………………………………………………………9分 理由如下： 由（2）知矩形ABCD的周长为14，面积为9， 设矩形EFGH的长为x,则宽为（），∴x（）=， 整理得：2x2－7x+9=0， ∵b2－4ac=49－72=－23＜0，∴原方程无解， ∴不存在另一个矩形EFGH，它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的一半.………………………………………………………………………………11分 24. 解： （1）①（100－x）元；（5x+40）套；………………………………………4分 ②由题意可得，（100－x－50）（5x+40）=3600， 解得x1=32，x2=10， ∵尽可能让利于顾客， ∴x=32， ∴100－x=68， 答：此时的售价为68元；…………………………………………………………8分 （2）设售价降低y元，可得普通顾客的销量为（5y+40）套， ∴银卡会员和金卡会员的销售量均为（5y+40）套， 1 5 （ 40 + 5 x ） = （ 8 + x ） 由题意得[0.8（100－y）－50]（8+y）+[0.7（100－y）－50]（8+y）=560， 解得y1=20或y2=， x = 16 3 ∵y为整数，∴y=20，∴100－y=80， 答：当日普通顾客售价为每套80元．…………………………………………12分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $