精品解析：河北省邢台市清河县二中2025-2026学年上学期 数学九年级第一次月考检测卷

九年级第一次月考质量检测卷 时间：120分钟 满分：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：进行判断即可． 【详解】A、不是二次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，不是二次函数，不符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的概念．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 3. 将抛物线先向右平移1个单位长度后，再将所得抛物线绕原点旋转，最后该抛物线的关系式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，旋转．先向右平移个单位，得到新抛物线；再绕原点旋转，则顶点坐标变为，抛物线开口向下，开口大小不变，进而写出最后的抛物线关系式，即可求解． 【详解】解：∵原抛物线为， 向右平移1个单位后，得，抛物线开口向上，顶点为 ∵绕原点旋转，顶点坐标变为，抛物线开口向下，开口大小不变， ∴最后该抛物线的关系式为， 故选：D． 4. 抛物线的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根． 【详解】解：如图，∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况有关． 5. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，当的边经过点时，的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用旋转的性质得出，，利用等边对等角得出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴， ∴． 故选：D． 8. 在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值： … 1 … … 8 8 … 根据表格可知，下列说法中错误的是（ ） A. 该二次函数图象的对称轴是直线 B. 关于的方程的解是， C. 的最大值是8 D. 的值是 【答案】C 【解析】 【分析】先求二次函数的解析式，然后逐项判断． 【详解】解：根据表格中数据可知抛物线过，，， 则， 解得， 二次函数， 抛物线对称轴为，故A正确，不合题意； 当时，， 解得，，故B正确，不合题意； ， 当时，有最大值，最大值为10，故C错误，符合题意； 当时，， 即，故D正确，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，求出二次函数的解析式是求解本题的关键． 9. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴， ∵该抛物线于y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 当时，， 把得：当时，， 由图可知：当时，， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵该抛物线开口向下， ∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④将方程移项可得， ∵无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∵， ∴．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质． 10. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，若，，则下列结论中：①；②；③是等边三角形；④的周长是8.5．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，于是根据平行线的判定可对①进行判断；由绕点B逆时针旋转，得到，得到，，则根据边三角形的判定方法得到为等边三角形，于是可对③进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，于是可对②进行判断；最后利用，，和三角形周长定义可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴，所以①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形，所以③正确， ∴，， 在中，∵， ∴，即， ∴，所以②错误； ∵，， ∴的周长，所以④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中的横线上） 11. 如图所示的风车图案可以看做是由一个直角三角形通过五次旋转得到的，那么每次需要旋转的最小角度为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，设每次旋转角度为，列出方程，求出即可． 【详解】解：设每次旋转角度， 则， 解得， 故每次旋转角度是． 故答案为． 【点睛】本题考查了图形的旋转，掌握旋转的性质是关键． 12. 关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是___________． 【答案】32 【解析】 【分析】由题意得b2-4ac≥0，求出m≥0，再根据根与系数的关系，得m=2，最后把化简为(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4，即可得答案． 【详解】解：由题意得b2-4ac=(2m)2 -4(m2 -m)≥0， ∴m≥0， ∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1，x2，x1x2=2， ∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2-m=2， ∴m2 -m-2=0， 解得：m=2或m=-1(舍去)， ∴x1+x2=-4， =(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4， =22+2×(-4)2-4×2+4 =32． 【点睛】本题考查了根据根与系数的关系，解题的关键是掌握x1+x2= ，x1x2=． 13. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可． 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是， 由题意可得：． 故答案为：． 14. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为______，宾馆利润最大利润是______元． 【答案】 ①. ②. 10240 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 15. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BE，CD，M是BE的中点，若AM=，则CD的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长AM到F，使AM=MF，连接BF，证△AEM≌△FBM，得AE=FB，∠AEM=∠FBM，△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，得AB=AD，∠CAE=∠BAD=90°，再证AC=BF，∠CAD=∠ABF，得△BFA≌△ACD，即可得答案． 【详解】解： 如上图：延长AM到F，使AM=MF， ∵M是BE的中点， ∴BM=EM， ∵∠AME=∠FMB， ∴△AEM≌△FBM， ∴AE=FB，∠AEM=∠FBM， ∵△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE， ∴AB=AD，AC= AE，∠CAE=∠BAD=90°， ∴AC=BF，∠CAD=90°-∠EAD， ∵∠ABF=∠ABM+∠FBM=∠ABM+∠AEM=180°-∠BAE=180°-（∠BAD+∠EAD）=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD， ∴∠CAD=∠ABF， 在△BFA和△ACD中， ∴△BFA≌△ACD， ∴FA=CD， ∵AM=， ∴CD= FA= 2 AM =2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是延长AM到F，使AM=MF，证△BFA≌△ACD． 16. 如图，在矩形中，，点为边的中点，将线段绕点旋转一定角度后得到线段，连接，点为线段的中点，连接，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握相关性质是解题的关键． 取的中点，连接，根据中点可得，之后根据旋转得到，，由于分别为的中点得到，于是在直角中根据勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图 ，点为边的中点， ， 将线段绕点旋转一定角度后得到线段， ． 分别为的中点， ， 在直角中，， ， 又， 当点三点共线时，取得最大值，最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小丽与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小丽： 两边同除以，得， 解得． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 所以或， 解得，． （1）你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． （2）请结合上述题目总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】（1） 解：两位同学的解法都错误， 小丽： 两边同除以，得， 解得． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 所以或， 解得，． 正确解答过程： 移项，得：， 提取公因式，得：， 去括号，得： 令或， 解得：，； （2） 解：形如的一元二次方程的一般解法： 移项，得：， 提取公因式，得：， 令或， 解得：，． 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案；’ （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的解题步骤是关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，2)．请解答下列问题： （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）画出△A1B1C1于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标． 【答案】 （1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（4，0）； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2（﹣4，0）． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 19. 已知的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，那么的周长为12？ （2）当m为何值时，四边形是菱形？并求出这时菱形的边长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到方程有两个相等的实数根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当的周长为12时，即：， ∵的长是关于x的方程的两个实数根 ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，四边形是菱形， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴方程为，解得：， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及根的判别式，同时考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键． 20. 如图，一块周长为的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒． （1）要使铁盒的容积为，求矩形铁皮的长和宽； （2）要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？ 【答案】（1）矩形铁皮的长为，宽为 （2）矩形铁皮的长和宽应各为时，容积最大，最大容积为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程． （1）设矩形铁皮的长为，则宽为，然后根据题意求出铁盒的长和宽，再根据长宽高列出方程，解方程即可； （2）设铁盒的容积为，然后根据长方体的体积公式写出函数解析式，由函数的性质求出最值． 【小问1详解】 解：设矩形铁皮的长为，则宽为， 由图知，铁盒的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：． 解得，（舍， 矩形铁皮的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设铁盒的容积为， 根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为72， 此时， 矩形铁皮的长和宽应各位时，容积最大，最大容积为． 21. 已知抛物线与x轴的交点分别为，． （1）求一元二次方程的两个根； （2）设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； （3）若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，求函数值，二次函数的性质； （1）将的坐标代入得，，得出抛物线的解析式为令，解方程，即可求解． （2）将代入得，，即．根据轴交抛物线于点，得出，两点的纵坐标相等，则解方程，进而求得线段的长； （3）解法一∶分别将代入解析式求得函数值，即可求解；解法二：根据抛物线的对称轴为直线，进而可得关于对称轴对称，即可求解． 【小问1详解】 解∶将的坐标代入得， ，解得， 所以抛物线的解析式为 令，则 解得 所以一元二次方程的两个根为，． 【小问2详解】 将代入得，，即． 因为轴，即，两点的纵坐标相等，则 解得 又， 即线段的长为． 【小问3详解】 解法一∶能比较，的大小，． 将点的坐标代入得， 将点的坐标代入得， 所以． 解法二：抛物线的对称轴为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，两点到对称轴的距离相等， 即，两点关于对称轴对称， 所以． 22. 如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线． （1）灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表． 水平距离x/米 0 0.6 1 2 3 4 竖直高度y/米 1.5 1.71875 1.875 2 1.875 1.5 结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度． （2）为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度． 【答案】（1）6米 （2）2米 【解析】 【分析】（1）设抛物线的函数解析式为，把点代入即可求得上边缘抛物线的函数解析式，令，解方程即可求得喷出水的最大射程的值； （2）根据水流最大射程米得出，再把和代入，求出即可． 【小问1详解】 解：由表中数据可知，抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得：， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 解得或（舍去）， 水流最大射程的长度为6米； 【小问2详解】 解：水流最大射程米， ， 把，代入解析式， 则， 解得， 此水流距离地面的最大高度为2米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． 23. 已知是边长为的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，猜想是什么三角形？______________；（直接写出结果） （2）如图2，点在射线上（点的右边）移动时，证明． （3）点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等边三角形 （2） 解：等边三角形，如图2中，设交于点． 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质即可求解； （2）根据旋转可证，得到，由此即可求解； （3）根据旋转可得，，则的周长，当点在线段上时，的周长，当在线段上，且最小时，的周长最小，由此即可求解． 【小问1详解】 解：等边三角形， ∵点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为， 理由：如图3中， 根据旋转可得，， ，则的周长， 当点在线段上时，的周长， 当点在线段的延长线上时，的周长， 的周长， 当在线段上，且最小时，的周长最小， 为等边三角形， ， 当时，的值最小，的最小值为， 的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，旋转的性质的综合，掌握旋转中角与边的关系，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）抛物线经过原点和点，由此利用待定系数法即可解决问题； （2）设，可得，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）由（2）可知，由，当点在直线的上方时，线段的最大值是．推出点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，求出直线的解析式，利用方程组即可解决问题． 【小问1详解】 解：把和点代入得到， 解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． 【小问2详解】 解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为， ∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． 【小问3详解】 解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次月考质量检测卷 时间：120分钟 满分：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列y关于x的函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向右平移1个单位长度后，再将所得抛物线绕原点旋转，最后该抛物线的关系式为( ) A. B. C. D. 4. 抛物线的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 5. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，当的边经过点时，的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8. 在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值： … 1 … … 8 8 … 根据表格可知，下列说法中错误的是（ ） A. 该二次函数图象的对称轴是直线 B. 关于的方程的解是， C. 的最大值是8 D. 的值是 9. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，若，，则下列结论中：①；②；③是等边三角形；④的周长是8.5．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中的横线上） 11. 如图所示的风车图案可以看做是由一个直角三角形通过五次旋转得到的，那么每次需要旋转的最小角度为__． 12. 关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是___________． 13. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为______． 14. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为______，宾馆利润最大利润是______元． 15. 如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BE，CD，M是BE的中点，若AM=，则CD的长为_______． 16. 如图，在矩形中，，点为边的中点，将线段绕点旋转一定角度后得到线段，连接，点为线段的中点，连接，则线段长度的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 小丽与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小丽： 两边同除以，得， 解得． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 所以或， 解得，． （1）你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． （2）请结合上述题目总结：形如的一元二次方程的一般解法． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，2)．请解答下列问题： （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）画出△A1B1C1于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标． 19. 已知的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，那么的周长为12？ （2）当m为何值时，四边形是菱形？并求出这时菱形的边长． 20. 如图，一块周长为的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒． （1）要使铁盒的容积为，求矩形铁皮的长和宽； （2）要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？ 21. 已知抛物线与x轴的交点分别为，． （1）求一元二次方程的两个根； （2）设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； （3）若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 22. 如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线． （1）灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表． 水平距离x/米 0 0.6 1 2 3 4 竖直高度y/米 1.5 1.71875 1.875 2 1.875 1.5 结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度． （2）为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度． 23. 已知是边长为的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，猜想是什么三角形？______________；（直接写出结果） （2）如图2，点在射线上（点的右边）移动时，证明． （3）点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 24. 已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $