第五讲 有理数的乘法与除法 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

【沪教版】 小升初数学 暑假预习讲义 ①思维导图 ②知识清单 ③题型精讲 ④课堂练习 ⑤课后作业 数的整除 分数 有理数 简单的代数式 备课资料 PDF版本 可打印 教师版+学生版 作者：娄老师 有理数的乘法与除法 思维导图 有理数的乘法 知识清单 有理数的除法 有理数的乘除混合运算 两个数的乘法运算 多个数的乘法运算 乘法的分配律 两个数乘法运算的代数应用 多个数乘法运算的代数应用 有理数的乘法与除法 题型精讲 乘法运算的实际应用 倒数 除法运算 除法运算的代数应用 除法运算的实际应用 课堂练习 课后作业 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算的应用 一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 题型1：两个数的乘法运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)0 (5) (6) 【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答． 【解析】（1） ＝ =； （2） ＝ = （3） = =6 （4） ＝0 （5） = ＝ （6） = ＝ 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” ． 题型2：多个数的乘法运算 【例2】计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）；（5）0；（6）；（7）1；（8） 【分析】（1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据0与任何数相乘都得0进行计算 （6）根据两数相乘，异号得负进行计算； （7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算； （8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． 题型3：乘法的分配律 【例3】利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把带分数化成假分数即可得到答案． 【解析】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键． 【变式3-1】这个运算应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】根据分配律特点即可求解． 【解析】解： ×（-10+1-0.5）=-×10+×（1）-×0.5=-8+1-0.4 故应用了分配律， 故选C． 【点睛】此题主要考查运算律的识别，解题的关键是熟知分配律的特点． 【变式3-2】指出下列变化中所运用的运算律： （1） ； （2） ． 【答案】 乘法结合律 乘法分配律 【分析】根据有理数的运算律进行判断即可． 【解析】解：（1）， 属于有理数的乘法结合律， 故答案为：乘法结合律； （2）， 属于有理数的乘法分配律， 故答案为：乘法分配律． 【点睛】本题考查了有理数的运算律，熟记乘法的几种运算律形式是解本题的关键． 【变式3-3】计算： ． 【答案】2021 【分析】根据有理数乘法的结合律求解即可． 【解析】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的结合律，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式3-4】计算： ． 【答案】2021 【分析】利用有理数乘法的结合律进行简便计算． 【解析】解：原式， ， 故答案为：2021． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法结合律使得计算简便． 【变式3-5】计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】将看做整体，根据乘法分配律进行计算，再进行计算即可 【解析】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法运算律是解题的关键． 【例4】若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 【答案】C 【分析】根据题中已知条件可判断出x、y两个有理数的关系，即可得出答案． 【解析】解：从xy＜0可知，x、y一定异号， 从另一个条件x+y＜0可判断出x、y中负数的绝对值较大． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加法、乘法，掌握有理数加法和乘法法则是正确判断的前提． 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法计算法则进行求解即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键在于两个不为0的数相乘，同号为正，异号为负． 【变式4-2】下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 【答案】A 【分析】若ab=0，则a，b中至少一个为0；若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号；若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大． 【解析】解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确； B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误； C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误； D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 题型5：多个数乘法运算的代数应用 【例5】在﹣1，﹣3，4，﹣5，0，6这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是（　　） A．﹣15 B．30 C．24 D．0 【答案】C 【分析】在-1，-3，4，-5，0，6这六个数中，绝对值最大的三个数是4，-5，6，再根据正数大于负数，可得：任取两个数相乘，所得的积最大的是4与6的积． 【解析】解：在﹣1，﹣3，4，﹣5，0，6这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是： 4×6＝24． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【变式5-1】个数的乘积为，则（   ） A．均为 B．最多有一个为 C．至少有一个为 D．有两个数是相反数 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则，0乘以任何数等于0即可判断． 【解析】∵0乘以任何数都为0 ∴个数乘积为，则至少有一个为0即可 故选． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟记0乘以任何数均等于0是本题的关键． 【变式5-2】绝对值不大于的所有整数的乘积是（    ） A．6 B．-6 C．-36 D．0 【答案】D 【分析】先写出满足条件的所有整数，再求出它们的积． 【解析】解：绝对值不大于的所有整数有：0、1、-1、2、-2、3、-3，它们的积为：． 故选D． 【点睛】本题考查绝对值和整数的综合应用，根据已知条件写出满足条件的所有整数是解题关键． 【变式5-3】若，则的值为（    ） A． B．5 C．0 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质求得的值，再代入求解即可． 【解析】解：∵ ∴ ∴ 则 故选C． 【点睛】此题考查了绝对值的性质以及有理数的乘法，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【变式5-4】若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件求出a、b、c、d的值，然后可以得到a+b+c+d的得数． 【解析】解：由已知，a、b、c、d的值应该在这8个数里面， ∵abcd=4，对上面的数逐一进行排查，可以得到a、b、c、d的值应该是里的某一个， ∴a+b+c+d=．　 故答案为0．　　 【点睛】本题考查有理数的乘法和加法运算，熟练掌握有理数乘法运算中的符号变化法则是解题关键． 题型6：乘法运算的实际应用 【例6】李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元． 【答案】45 【分析】扣除3500元个税免征额后的部分是5000-3500=1500元，也就是说应缴纳税额部分应是1500元，然后代入关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税，计算即可． 【解析】(5000-3500)×3% =1500×3% =45(元) 答：她应缴个人所得税45元． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，解答的关键是掌握关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税． 【变式6-1】在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（取3.14） 【答案】2826 【分析】根据题意得出圆柱形钢材的体积等于上升的水的体积,上升的水的体积等于高为9厘米,底面半径为10厘米的圆柱的体积,据此解答即可． 【解析】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查根据圆柱的体积公式列出式子,准确列出式子进行运算是解题关键． 【变式6-2】每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是 ． 【答案】904kg 【分析】根据有理数的加法运算，可得答案． 【解析】解： ， ， （kg）， 故答案为：904kg 【点睛】本题考查了正数和负数，关键是利用有理数的混合运算解题． 【变式6-3】如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m2． 【答案】171 【分析】直接利用草地的绿地面积＝长方形面积-长的小路面积-短的小路去掉1平米的小路面积，进而得出答案． 【解析】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：20×10-20×1-（10﹣1）×1 =200-20-9 =171（m2）． 故答案为：171． 【点睛】此题主要考查了长方形面积，正确求出小路面积是解题关键． 【变式6-4】100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米． 【答案】 2 【分析】根据题意列式计算即可得出答案． 【解析】∵， ∴第5次后剩下的小棒长米， ∵， ∴第49次后剩下的小棒长2米， 故答案为：，2． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，找到规律是解题的关键． 题型7：倒数 【例7】的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倒数的定义进行求解即可：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数． 【解析】解：∵， ∴的倒数是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，熟知倒数的定义是解题的关键． 【变式7-1】的倒数是（　　） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数来判断即可． 【解析】∵ ∴的倒数为 故选：B． 【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键． 【变式7-2】与互为倒数的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．求一个分数的倒数也就是把这个分数的分子和分母调换位置，据此解答． 【解析】解：与互为倒数的数是， 故选：D． 【点睛】此题主要根据倒数的意义，求一个数的倒数的方法和分数的基本性质解决问题． 【变式7-3】的相反数是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数和乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【解析】解：∵， ∴的相反数是，倒数是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查相反数、倒数，属于基础题，理解相反数和倒数的定义是解答的关键，注意求倒数时要带分数要化为假分数． 【变式7-4】如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则的负倒数为（    ） A． B．－2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据负倒数的定义求解即可． 【解析】解：∵， ∴的负倒数为-2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，正确理解负倒数的定义是解题的关键． 题型8：除法运算 【例8】计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）0；（5）；（6）3． 【分析】原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除． 【解析】（1）；     （2）；     （3）； （4）；     （5）；     （6） 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键． 【变式8-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)0 (2)2 (3) (4) (5) (6)2 (7) (8) 【分析】（1）根据零除以任何数都为零即可解答； （2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （3）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （4）根据有理数除法法则计算即可； （5）根据有理数除法法则计算即可； （6）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （7）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （8）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可． 【解析】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． （7）解：． （8）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键． 【变式8-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）16． 【分析】（1）先计算除法，再计算加法，两个有理数相除，同号得正； （2）乘除法，同级运算，从左到右，依次将除法转化为乘法，先确定符号，再将数值相乘； （3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律解题，注意符号； （4）先算乘除，再算减法，结合加法结合律解题； （5）先算小括号，再算除法； （6）先算小括号，再算中括号； （7）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算解题； （8）先算小括号，再算中括号，结合乘法交换律解题． 【解析】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，涉及加法结合律、乘法分配律等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式8-3】阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【答案】不对；（1）；（2）． 【分析】有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； （1）先计算原式的倒数，然后即可求解； （2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解． 【解析】解：因为有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； 故答案为：不对； （1）∵， ∴； （2）∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 【变式8-4】计算： ． 【答案】/ 【分析】计算出的结果即可得到答案． 【解析】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型9：除法运算的代数应用 【例9】如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可得出答案． 【解析】数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选A 【点睛】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除．(0除以任何一个非0的数,都得0) 公式：． 【变式9-1】如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【答案】B 【分析】直接利用有理数的除法和加法运算法则，即可得出a，b的符号． 【解析】解：∵a+b＜0，且＞0， ∴a，b同号，且a＜0，b＜0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法，正确得出a，b同号是解题关键． 【变式9-2】两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 【答案】D 【解析】试题分析：根据有理数的除法法则即可求得结果. 两个有理数的商是正数，那么这两个数一定两数同号，故选D. 考点：本题考查的是有理数的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握有理数的除法法则：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除. 【变式9-3】如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【解析】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【变式9-4】已知，，且，则 ． 【答案】或 【分析】利用绝对值的代数意义，以及除法法则求出与的值，代入计算即可求出的值． 【解析】解：，，且， ，；，， 则或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式9-5】如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可． 【解析】解：由数轴可知，， 因此，故A选项错误； 点A到0点的距离大于点B到0点的距离，因此，故B选项错误； 由，可得，故C选项错误； 由，可得，故D选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，解题的关键是根据数轴判断出a，b的取值范围． 【变式9-6】若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【答案】A 【分析】根据同号得正，异号得负判断即可． 【解析】解：∵，异号， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键． 【变式9-7】已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】先根据数轴上点的位置得到，再化简绝对值即可得到答案． 【解析】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数与数轴，有理数的除法计算，正确得到是解题的关键． 【变式9-8】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【答案】D 【分析】分、、和四种情况，再根据绝对值运算、有理数的除法与加减法运算即可得． 【解析】由题意，分以下四种情况： （1）当时，， 则， （2）当时，， 则， （3）当时，， 则， （4）当时，， 则， 综上，的可能取值是或3， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的除法与加减法运算，依据题意，正确分四种情况讨论，并熟练掌握各运算法则是解题关键． 【变式9-9】已知，则 【答案】1或－3/－3或1 【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案. 【解析】解：①，时， . ②，时， . 故答案为：1或－3##－3或1 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键． 题型10：除法运算的实际应用 【例10】时= 时 分；800平方米= 公顷；5千克23克= 千克． 【答案】 6 45 0.08 5.023 【分析】1小时等于60分，10000平方米等于1公顷，1000克等于1千克，据此即可作答． 【解析】（分）， 即时等于6时45分； 800÷10000=0.08（公顷）， 23÷1000=0.023（千克）， 即5千克23克等于5.023千克， 故答案为：6，45，0.08，5.023 【点睛】本题主要考查了时与分、平方米与公顷、克与千克之间的转换，掌握相应的换算比例是解答本题的关键． 【变式10-1】买6件同样的短袖衬衫要用1020元． (1)如果用这些钱去买长袖衬衫，就要少买2件．长袖村衫的单价是多少元？ (2)如果每件短袖衬衫按七五折出售，用这些钱可以买几件短袖衬衫？ 【答案】(1)长袖衬衫的单价是225元/件； (2)用这些钱可以买8件短袖衬衫． 【分析】（1）就是用1020元钱买6-2=4件长袖衬衫，求单价，用总价除以数量即可； （2）先求得每件短袖衬衫的售价，用金额除以单价即可求解． 【解析】（1）解：1020÷（6-2） =1020÷4 =255（元）； 答：长袖衬衫的单价是225元/件； （2）解：每件短袖衬衫的售价为1020÷6×0.75=127.5（元）， 1020÷127.5=8， 答：用这些钱可以买8件短袖衬衫． 【点睛】本题考查了有理数乘除的应用，解答这类题目，分清数量关系，代入数值进行计算即可． 【变式10-2】如图，两个圆重叠在一起，重叠部分的面积是大圆面积的，是小圆面积的，已知小圆面积是，则大圆面积是( )． 【答案】256 【分析】根据小圆面积和重叠部分的面积是小圆面积的求出重叠部分的面积，然后根据重叠部分的面积是大圆面积的进行即可． 【解析】解：∵小圆面积是，重叠部分的面积是小圆面积的， ∴重叠部分的面积为：， ∵重叠部分的面积是大圆面积的， ∴大圆面积是：， 故答案为：256． 【点睛】本题考查了有理数乘除的实际应用，求出重叠部分的面积是解题的关键． 【变式10-3】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 【答案】快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒 【分析】如果从两车头对齐开始算，那么超车距离为快车的车长；如果从两车尾对齐开始算，那么超车距离为慢车车长，即可根据路程÷速度=时间求解． 【解析】快车车长： （米） 慢车车长： （米） 重叠起到车尾相离时间： （秒） 答：快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒． 【点睛】本题考查了路程÷速度=时间，根据题意求出快车和慢车的车长是解题的关键． 【变式10-4】一条小河上，A在B上游150千米处．甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上．则甲船的静水速度是每小时多少千米？ 【答案】甲船在静水中的速度是20千米/小时 【分析】两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关，故利用相向而行路程等于速度和乘以时间，追击问题路程等于速度差乘以时间，分别求速度和与速度差，两个速度相减后，除以2即可求出甲船在静水中的速度． 【解析】解：速度和： 速度差： 甲船的速度： 答：甲船在静水中的速度是20千米/小时． 【点睛】此题的关键是理解两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关． 题型11：有理数的乘除混合运算 【例11】计算： (1)（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； (2)﹣； (3)； (4)． 【答案】(1)-8500 (2)2 (3) (4)11 【分析】（1）先计算（﹣25）×（﹣4），再乘（﹣85）即可得出结果； （2）先将带分数化为假分数，再将除法运算转化为乘法运算； （3）先将括号内通分，再将除法运算转化为乘法运算； （4）利用乘法分配律计算． 【解析】（1）解：（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）， ＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]， ＝﹣85×100， ＝﹣8500； （2）﹣2×2÷（﹣2）， ＝﹣××（﹣）， ＝2； （3）（﹣）÷（1﹣）， ＝（﹣）÷（）， ＝（﹣）÷， ＝（﹣）×， ＝﹣； （4）， ＝×36﹣×36+×36﹣×36， ＝28﹣30+27﹣14， ＝55﹣44， ＝11． 【点睛】本题考查有理数的乘法，有理数的除法，灵活运用相应运算律是解题的关键，其中正负号是易错点． 【变式11-1】计算： (1)－2÷×； (2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)； (3)2÷÷； (4)(－81)÷2××． 【答案】（1）；（2）120；（3）1；（4）． 【分析】（1）先计算有理数的乘法，再计算有理数的乘法即可得； （2）利用有理数的除法法则计算即可得； （3）先将带分数化为假分数，再计算有理数的除法即可得； （4）先计算有理数的除法，再计算有理数的乘法即可得． 【解析】（1）原式， ， ； （2）原式， ， ， ； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键． 【变式11-2】计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）16；（2）；（3）；（4）100；（5）；（6）. 【分析】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （2）先计算括号内的乘法，再把除法转化成乘法进行计算即可； （3）把除法转化成乘法进行计算即可； （4）先算除法，再算乘法即可得解； （5）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （6）把除法转化成乘法进行计算即可. 【解析】（1） = =-2×（-8） =16； （2） = = =； （3） = =； （4） =-20×（-5） =100； （5） = =； （6） = =. 【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是正确确定结果的符号，掌握计算法则． 【变式11-3】计算：得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化． 【解析】解：， 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型12：有理数的乘除混合运算的应用 【例12】两数相除商是2.4，如果被除数扩大100倍，除数除以0.01，商是（    ） A．2.4 B．24 C．240 D．0.024 【答案】A 【分析】设这两个数为a，b，根据被除数和除数的变化，求出变化后的值． 【解析】解：设这两个数为a，b，则a÷b=2.4， ∵被除数扩大100倍，除数除以0.01， 则100a÷（b÷0.01）=100a÷b×0.01=2.4， 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法，解题的关键是找到规律，根据商不变得到结果． 【变式12-1】已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（    ） A．－6 B．－5 C． D． 【答案】A 【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题． 【解析】解：根据题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型一 两个有理数乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．已知：，，，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，减法，乘法运算，有理数的大小比较．根据有理数的加法，减法，乘法分别计算求得，，的值，然后比较大小即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∴， 故选：B． 3．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，根据两个有理数乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可知，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， 故选：D． 5． ； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型二 多个有理数乘法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可； （）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可； 本题考查了新定义运算，有理数的有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， 则 ， ∴． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和运算律： （1）先把小括号内的式子变形为，再计算去小括号和中括号，最后计算乘法即可； （2）把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三有理数乘法实际应用 1．下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．绝对值相等的两个数互为相反数 C．绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0 D．几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数 【答案】BD 【分析】本题考查了等式的基本性质、绝对值、相反数、有理数的乘法，根据等式的基本性质、绝对值、相反数、有理数的乘法逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B、只有符号相反的两个数互为相反数，故该选项错误，符合题意； C、绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0，故该选项正确，不符合题意； D、几个不等于0的有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数，故该选项错误，符合题意； 故选：BD． 2．观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； (3)计算∶ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （3）解： ． 3．滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：，13，12，，，9，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ (2)在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ (3)若小李的平均运营额为元/千米，成本为元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 【答案】(1)10千米 (2)在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是15千米 (3) 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数乘法和有理数加减法的实际应用： （1）把七次记录的结果相加，所得结果的绝对值即为答案； （2）分别计算出七次记录后与出发地的距离，比较即可得到答案； （3）先求出总路程，再用总路程乘以每千米的盈利即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是10千米； （2）解：第一次记录时距离出发地10千米， 第二次记录时距离出发地千米， 第三次记录时距离出发地千米， 第四次记录时距离出发地千米， 第五次记录时距离出发地千米， 第六次记录时距离出发地千米， 第七次记录时距离出发地千米， ∴在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是15千米． （3）解： 千米， 元， ∴这天上午小李盈利元． 4．四川某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查时对4道门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过300名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，1分钟内可通过230名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ (2)检查中发现，紧急情况时学生争分夺秒有序离开，出门的效率提高．在防地震演练中，学校规定全大楼的学生应在3分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有50名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 【答案】(1)平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过160名学生，70名学生 (2)建造的这4道门符合安全规定，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设平均每分钟一道正门的一道侧门各可以通过x名学生，y名学生，根据当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过300名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，1分钟内可通过230名学生列出方程组求解即可； （2）计算出3分钟四道门可以通过的人生，再求出大楼每间教室有50名学生时的学生人数，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设平均每分钟一道侧门和一道正门各可以通过x名学生，y名学生， 由题意得，， 解得， 答：平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过160名学生，70名学生， （2）解：建造的这4道门符合安全规定，理由如下： 人，人， ∵， ∴建造的这4道门符合安全规定． 5．每年6月份是樱桃采摘旺季． 某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况．（“”表示超出，“”表示不足）． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘总量 (1)员工2采摘樱桃是 ； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量； (3)该农场支付给员工的日结工资包含基本工资和个人绩效两部分，若按如下方法计算，农场该天共需支付给员工的工资是多少元？ 基本工资 参加采摘的员工每人基本工资200元天 个人绩效 若每天没达到标准数量，少扣2元；若每天超出标准数量，多奖助3元． 【答案】(1)88 (2)5位员工草莓采摘实际数量能达到预计数量 (3)农场该天共需支付的费用是1098元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）用标准数减去即可； （2）把记表格录中数相加，再加上标准数即可判断； （3）根据该农场工资标准列式计算解答即可． 【详解】（1）解：员工2采摘草莓数量是：， 故答案为：88； （2）解： ， ， 位员工草莓采摘实际数量能达到预计数量； （3）解： （元， 答：农场该天共需支付的费用是1098元． 题型四 有理数除法运算 1．某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数的除法计算，先根据题意得到，据此求出，再根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法，有理数的减法． 先根据绝对值的意义得出或，，再根据有理数的除法法则得出x和y异号，最后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∵， ∴，即x和y异号， ∴当时，当时，， ①当，时，， ②当，时，， ∴的值是或9， 故选：D． 3．将转化为乘法运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形即可得到结果． 【详解】解： 故选：C． 4．计算的结果是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数除法，掌握有理数除法法则成为解题的关键． 直角运用有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 5．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据除法的运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． 题型五 有理数除法的应用 1．某服装城用元购进件衬衫.由于非常畅销，这些衬衫在7天全部卖完.这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天每件多的利润，负数表示比前一天每件少的利润）. 销售天数 （单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每件利润变化 （单位：元） 每天销售的件数 （单位：元） (1)每件衬衫的进价为_______元，第四天时，每件衬衫的售价为_______元； (2)求这个服装城这七天的总利润； (3)服装城老板觉得这个商机非常好，于是花了元购进这种衬衫，每件比上一次贵了4元.若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩件，按八折销售很快售完，求两次销售衬衫共盈利的钱数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的运算的实际应用，正确理解题意，注意计算的准确性即可． （1）根据“用元购进件衬衫”即可求出进价；由表格数据即可求出第四天时，每件衬衫的售价； （2）分别求出每一天每件衬衫的利润即可求解； （3）根据题意可求出进价为元，购进件数为件，结合第七天的售价为元，即可求解 【详解】（1）解：由题意得：每件衬衫的进价为元， 第四天时，每件衬衫的售价为元， 故答案为：，； （2）解：由表格数据可知： 第一天每件衬衫的利润为元，第二天每件衬衫的利润为元； 第三天每件衬衫的利润为元，第四天每件衬衫的利润为元； 第五天每件衬衫的利润为元，第六天每件衬衫的利润为元； 第七天每件衬衫的利润为元； ∴这个服装城这七天的总利润为： （3）解：由题意得：此次衬衫的进价为：元， 购进件数为：件， 由（3）得：第七天的售价为：元， 故这两次共盈利：元 2．某市居民生活用电基本价格为，若每月用电量超过，超出部分按基本电价的收费． (1)若某户3月份用电，则应收费______元； (2)若某户3月份用电，则应收费______元； (3)由（1）（2）可知，若平均价格______，则用电量一定超过．（填“”或“”） 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，明确计费方式是解答本题的关键． （1）三月份没有超过，则根据电费用电量单价列式计算即可； （2）三月份用电超过，根据前按基本价格为收费，超出的按每度收费列式计算即可； （3）根据（1）（2）的结果算出平均价格，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴三月份用电量没有超过， ∴三月份的电费为：（元）； （2）解：∵， ∴三月份电费为：； （3）解：若某户3月份用电，则平均价格为， 若某户3月份用电，则平均价格为， ∵， ∴若平均价格，则用电量一定超过． 3．煤矿井下A点的海拔高度为米，已知从A到B的水平距离为120米，每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，已知B点在A点的上方． (1)求B的海拔高度； (2)用正负数表示温度的变化量，上升为正，下降为负，若C点海拔高度为米，海拔高度每下降10米温度变化量为，从C点到A点温度有什么变化？ 【答案】(1)米； (2)从C点到A点温度下降． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键： （1）根据每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，由题意列出算式，计算即可； （2）先计算出下降高度，再根据海拔高度每下降10米温度变化量为列式计算即可 【详解】（1）解：根据题意得：（米） 则B的海拔高度为米； （2）解：根据题意得： 即从C点到A点温度下降． 4．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是3650元．按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)红红今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1800元．红红本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【答案】(1)1400元 (2)3050元 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用： （1）用总费用乘以求出超过650元部分个人支付的费用再加上650，即可得到答案； （2）用1800除以求出超过650元部分，医疗保险基金支付的费用，再加上650即可得到答案． 【详解】（1）（元） 答：他本次住院需要个人支付元． （2）解：（元） 答：红红本次住院的医疗费用一共是3050元． 5．我们学过五线谱上的“音阶”（如图）：实际上，相邻两个音之间并不是每次都升高大二度（全音），其中3到4、7到都只升高了小二度（半音）． 小明了解到可以用统一规格、粗细均匀的水杯制作乐器．敲击水杯发出音的高低取决于杯子中水的多少．水越多音越低，水越少音越高．每高一个全音．就要减少一定量的水，高一个半音减少的水量约是高一个全音减少水量的一半． (1)按音阶规律填空：后4个水杯中应倒入水的深度分别为__________； __________；__________；__________； (2)请画出最后一个杯子水深的大概位置； (3)制作这个“水杯乐器”，至少需要准备几杯这种规格水杯的水量．（结果保留整数） 【答案】(1)5.5，4.1，2.7，1.3 (2)见详解 (3)4 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意可知一个全音水深减少1.4，一个半音水深减少0.7，据此分析并计算后4个水杯中应倒入水的深度即可； （2）确定音阶的水杯内的水量，然后画出水深的大概位置即可； （3）将几个杯子的水深相加，用总量除以10，再将商保留整数即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得，，， 所以，第4杯水深：， 第5杯水深：， 第6杯水深：， 第7杯水深：． 故答案为：5.5，4.1，2.7，1.3； （2）由题意，可知发出音阶的水杯内的水量为， 则可画出最后一个杯子水深的大概位置，如下图所示： （3）， （杯）． 答：至少需要准备4杯这种规格水杯的水量． 题型六 有理数乘除混合运算 1．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算. （1）把减法转化为加法，利用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）把除法转化为乘法，运用多个有理数乘法法则计算即可. 【详解】（1） （2） 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，灵活运用相关运算法则和运算律成为解答本题的关键． （1）根据加减法运算法则计算即可； （2）先去括号，再按照加减法运算法则计算即可； （3）小括号内小数先化成分数，再算除法和乘法，最后再算减法即可； （4）按照乘法分配律逆定律提出25再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据有理数加法交换律和结合律进行 简便计算即可； （）利用有理数乘除法法则计算即可； 本题考查了有理数的加法运算律，有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘除运算： （1）利用乘法法则及乘法运算律进行计算即可； （2）先将除法变成乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 5．计算∶ 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，将除法转化为乘法，根据乘法法则计算即可． 【详解】解： 一、单选题 1．的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键； 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【解析】 解： 的倒数是， 故选：C． 2．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【解析】解： ， 故选：B． 3．算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（    ）． A．＋ B． C．× D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算出结果，然后比较结果，即可得到使得式子结果最小时的运算符号． 【解析】解：， ， ， ， ∵ ∴的结果最小， 故选：C． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，利用相关运算法则求解，即可解题． 【解析】解： ． 故选：D． 5．下列说法错误的是（    ） A．小于的数的倒数大于其本身 B．大于1的数的倒数小于其本身 C．一个数的倒数不可能等于它本身 D．的倒数是 【答案】C 【分析】本题考查倒数，有理数比较大小，掌握倒数的定义是解题的关键． 根据乘积等于1的两个数互为倒数和有理数大小比较法则逐项判定即可． 【解析】解：A、小于的数的倒数大于其本身，说法正确，故此选项不符合题意； B、大于1的数的倒数小于其本身，说法正确，故此选项不符合题意； C、的倒数等于它本身，故原说法错误，符合题意； D、（）的倒数是，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．下列命题中，正确的是（　　） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可． 【解析】解：若，则，或，，故A，B错误； 若，则或，故C错误，D正确． 故选：D． 7．汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，直接用油箱中的油量除以平均耗油量即可得到答案． 【解析】解：， ∴汽车最多能行驶， 故选：B． 8．从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，先求出取出的这三个数的和为20，再由，得到这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数，据此讨论分别取到1到10这10个数时的最大乘积即可得到答案． 【解析】解：， 所以取出的这三个数的和为20， 因为， 所以这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数， 当取的数有10时，由于， 此时三个数的积最大为， 同理取的数有9时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有8时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有7时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有6时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有5时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有4时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有3时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有2时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有1时，此时三个数的积最大为， 综上所述，这三个数的积的最大值为280， 故选A． 9．如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键． 先由数轴得出，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则分析，可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴结论①错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论③正确； ∵， ∴，又 ∴， ∴结论④错误； 综上，正确的个数为2个． 故选：B． 10．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【解析】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 二、填空题 11．填空： （1） ；     （2） ； （3） ；   （4） ． 【答案】 0 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【解析】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：0； （4）． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】根据有理数的乘法进行计算即可 【解析】 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算是解题的关键． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 先化成分数，然后进行除法运算即可． 【解析】解： ， 故答案为：． 14．若，互为倒数，，互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据以下性质：互为倒数的两个数乘积为1，互为相反数的两个数何为0，进行求解即可． 【解析】解：a，b互为倒数，c，d互为相反数， ，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相反数和倒数的定义，正确掌握其性质是解题的关键． 15．在四个数中任取两个数相乘，其积的最大值是 ． 【答案】8 【分析】由于有两个负数和两个正数，故任取其中两个数相乘，最大的数为正数，且这两个数同号．故任取其中两个数相乘，最大的数是． 【解析】解：在，，3，四个数中任取两个数相乘，其积的最大值是：， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 16．大于而不大于3的所有整数的积是 ． 【答案】0 【分析】根据题意，得到大于而不大于3的整数有，由于其中含0，乘积为0． 【解析】解：大于而不大于3的整数有， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键． 17．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解． 【解析】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米， 当显示电量时，已行驶里程为（千米． 故答案为：． 18．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【解析】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 三、解答题 19．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的运算： （1）分数连乘，能约分的要先约分． （2）利用乘法的分配律． （3）括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算． （4）将看成，这样就可以利用乘法的分配律计算． （5）将看成，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分． 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除；除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，据此作答即可． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 21．用合理的方法计算，并写出过程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先计算除法与乘法运算，再计算加减运算即可； （2）利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可； （3）利用乘法的交换律与结合律进行简便运算即可； （4）先通分，再计算加减运算即可； （5）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （6）把原式化为，再结合分配律进行简便运算即可； 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，混合运算，乘法分配率的灵活应用，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键. 22．用你喜欢的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)100 (3)75 (4)4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再利用加法结合律计算即可； （2）根据乘法结合律计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数的混合运算顺序，先计算小括号内的计算，再计算中括号内的运算，然后计算除法即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 24．计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1)5； (2)3； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 25．阅读下面材料． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． 参照上面的例题．利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先变形为，再根据乘法分配律计算； （2）根据乘法分配律计算即可． 【解析】（1）解：原式 （2）原式 26．甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？ 【答案】乙筐原有苹果千克 【分析】本题考查分数的除法，根据分数的乘法，除法的定义列出算术计算即可，解题的关键是理解题意，正确列出算式计算． 【解析】解：乙筐原有苹果： （千克） 答：乙筐原有苹果千克． 27．杭州第十九届亚运会期间，为全面做好赛事保障，确保赛事顺利进行，某检修小组从O地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下：，，，，，，（单位：） (1)求收工时距O 地多远？ (2)若每千米耗油0.2升，那么该检修小组本次检修共耗油多少升？ 【答案】(1) (2)8升 【分析】本题主要考查有理数加法、乘法应用和绝对值运用． 解题关键点：理解正负数和绝对值的意义． （1）按照规定，将各数相加，由结果判断收工时距A地多远； （2）先由绝对值之和求出总路程，再算总的耗油量． 【解析】（1）解： 答：收工时距O地． （2）    （升） 答：该检修小组本次检修共耗油8升． 28．某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表． 月份 七月份 八月份 九月份 十月份 十一月份 十二月份 甲厂 -0.2 -0.4 +0.5 0 +1.2 +1.3 乙厂 +1.0 -0.7 -1.5 +1.8 -1.8 0 （1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？ （2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？ 【答案】（1）0.3亿元，（2）甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元． 【分析】（1）由表可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，由此可得出结果． （2）将甲乙两厂每个月的盈利相加即可得出结果． 【解析】解：（1）由图可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元， 0.7-0.4=0.3（亿元） ∴可得出乙比甲多亏0.3亿元． （2）甲：﹣0.2﹣0.4+0.5+0+1.2+1.3＝2.4亿元，2.4÷6=0.4（亿元）； 乙：1.0﹣0.7﹣1.5+1.8﹣1.8+0＝﹣1.2亿元，-1.2÷6=-0.2（亿元）． ∴甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元． 答：八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元 【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的加减法，解题关键正确理解正负数的意义，准确进行计算． 29．阅读：比较与的大小. 方法一：利用两数差的正负来判断. 因为－=＞0，所以＞. 方法二：利用两数商，看商是大于1还是小于1来判断. 因为÷=＞1，所以＞. 请用以上两种方法，比较－和－的大小. 【答案】见解析. 【解析】试题分析： 比较两个的大小，可以利用两个数的差的正负来判断，也可以利用两个数的商是大于1还是小于1来判断. 试题解析： 方法一：因为-=-<0，所以<，从而->-. 方法二：因为÷=<1，所以<，从而->-. 30．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，乘积的最大值为 ．     （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，商的最小值为 ．     （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是？ 答：我抽取的2张卡片是________、________，组成的最大的数为 ． 【答案】（1）﹣3；﹣5；15；（2）﹣5；3；；（3）4，3，43． 【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数和0相乘都得0，取绝对值尽量大且同号的相乘即可得答案； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则取绝对值相距尽量大且异号的两数相除即可得答案； （3）根据组成数字的数的性质即可确定；选出最大的两个正整数，即可得到所求数． 【解析】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，应该取﹣3和﹣5，(﹣3)×(﹣5)＝15，即乘积的最大值为15． 故答案为：﹣3；﹣5；15； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，应该取﹣5和3，．即商的最小值为． 故答案为：﹣5；3；． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，应该取4和3，最大的数是43． 故答案为：4；3；． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法及加减法运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 31．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【解析】（1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． 32．【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 【答案】(1)，否 (2)72 (3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析 【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义． （1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据题意考虑所有可能性并列出即可． 【解析】（1）解：根据题意列式为：， ∵， ∴游戏不再继续， 即：第二次结果为：； （2）解：根据题意列式为：， ， ； （3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”， 理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜； 理由二：所有的出牌可能有： ①，甲负乙胜； ②，乙负； ③，乙负； ④，乙负； ⑤，乙胜； ⑥，甲负乙胜， ∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”． 没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 学科网（北京）股份有限公司 $ 【沪教版】 小升初数学 暑假预习讲义 ①思维导图 ②知识清单 ③题型精讲 ④课堂练习 ⑤课后作业 数的整除 分数 有理数 简单的代数式 备课资料 PDF版本 可打印 教师版+学生版 作者：娄老师 有理数的乘法与除法 思维导图 有理数的乘法 有理数的除法 知识清单 有理数的乘除混合运算 两个数的乘法运算 多个数的乘法运算 乘法的分配律 两个数乘法运算的代数应用 多个数乘法运算的代数应用 有理数的乘法与除法 题型精讲 乘法运算的实际应用 倒数 除法运算 除法运算的代数应用 除法运算的实际应用 课堂练习 课后作业 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算的应用 一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数互相依存，如-2的倒数是-，-2和-是互相依存的 (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a·（b≠0） 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 题型1：两个数的乘法运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2：多个数的乘法运算 【例2】计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 题型3：乘法的分配律 【例3】利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】这个运算应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律 【变式3-2】指出下列变化中所运用的运算律： （1） ； （2） ． 【变式3-3】计算： ． 【变式3-4】计算： ． 【变式3-5】计算的结果是 ． 题型4：两个数乘法运算的代数应用 【例4】若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 题型5：多个数乘法运算的代数应用 【例5】在﹣1，﹣3，4，﹣5，0，6这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是（　　） A.﹣15 B. 30 C. 24 D．0 【变式5-1】2013个数的乘积为0，则（   ） A．均为0 B．最多有一个为0 C．至少有一个为0 D．有两个数是相反数 【变式5-2】绝对值不大于3的所有整数的乘积是（    ） A．6 B. ﹣6 C. ﹣36 D．0 【变式5-3】若，则的值为（    ） A．﹣5 B．5 C．0 D．以上答案都不正确 【变式5-4】若a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd = 4，则a+b+c+d= ． 题型6：乘法运算的实际应用 【例6】李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元． 【变式6-1】在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（π取3.14） 【变式6-2】每袋小麦超过90kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则10袋小麦对应的数分别为+1，+1，+1.2，﹣1，+1.2，0，+1.3，﹣1.3，﹣1.2，+1.8．则这10袋小麦的总质量是 ． 【变式6-3】如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m2． 【变式6-4】100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米． 题型7：倒数 【例7】的倒数是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】-2023的倒数是（　　） A．2023 B． C．-2023 D． 【变式7-2】与互为倒数的数是（　　） A． B． C．5 D．-5 【变式7-3】的相反数是 ，倒数是 ． 【变式7-4】如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则 的负倒数为（    ） A． B．－2 C．2 D．4 题型8：除法运算 【例8】计算： （1） ；    （2）；    （3）； （4） ；    （5）；    （6）． 【变式8-1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【变式8-2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【变式8-3】阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【变式8-4】计算： ． 题型9：除法运算的代数应用 【例9】如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【变式9-1】如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【变式9-2】两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 【变式9-3】如果a<0<b，则 的值与0的大小关系是（　　） A． > 0 B． < 0 C． = 0 D．不能确定 【变式9-4】已知，，且，则 ． 【变式9-5】如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-6】若，且a，b异号，则c的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【变式9-7】已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C．0 D．2 【变式9-8】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．-3或1 B．3或1或-1 C．1或3 D．-1或3 【变式9-9】已知，则 题型10：除法运算的实际应用 【例10】时= 时 分；800平方米= 公顷；5千克23克= 千克． 【变式10-1】买6件同样的短袖衬衫要用1020元． (1)如果用这些钱去买长袖衬衫，就要少买2件．长袖村衫的单价是多少元？ (2)如果每件短袖衬衫按七五折出售，用这些钱可以买几件短袖衬衫？ 【变式10-2】如图，两个圆重叠在一起，重叠部分的面积是大圆面积的，是小圆面积的，已知小圆面积是，则大圆面积是( )． 【变式10-3】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 【变式10-4】一条小河上，A在B上游150千米处．甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上．则甲船的静水速度是每小时多少千米？ 题型11：有理数的乘除混合运算 【例11】计算： (1)（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； (2)﹣； (3)； (4)． 【变式11-1】计算： (1)－2÷×； (2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)； (3)2÷÷； (4)(－81)÷2××． 【变式11-2】计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【变式11-3】计算：得（    ） A． B． C． D． 题型12：有理数的乘除混合运算的应用 【例12】两数相除商是2.4，如果被除数扩大100倍，除数除以0.01，商是（    ） A．2.4 B．24 C．240 D．0.024 【变式12-1】已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（    ） A．－6 B．－5 C． D． 题型一 两个有理数乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．2 B． C． D．8 2．已知：，，，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 4．已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 5． ； 题型二 多个有理数乘法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．简便计算 (1) (2) 题型三 有理数乘法实际应用 1．下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．绝对值相等的两个数互为相反数 C．绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0 D．几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数 2．观察算式∶ ①；② ③；④ ；……．根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5 个算式∶ _________________； (2)写出第n个算式∶___________________； (3)计算∶ ． 3．滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：，13，12，，，9，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ (2)在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ (3)若小李的平均运营额为元/千米，成本为元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 4．四川某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查时对4道门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过300名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，1分钟内可通过230名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ (2)检查中发现，紧急情况时学生争分夺秒有序离开，出门的效率提高．在防地震演练中，学校规定全大楼的学生应在3分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有50名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 5．每年6月份是樱桃采摘旺季． 某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况．（“”表示超出，“”表示不足）． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘总量 (1)员工2采摘樱桃是 ； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量； (3)该农场支付给员工的日结工资包含基本工资和个人绩效两部分，若按如下方法计算，农场该天共需支付给员工的工资是多少元？ 基本工资 参加采摘的员工每人基本工资200元天 个人绩效 若每天没达到标准数量，少扣2元；若每天超出标准数量，多奖助3元． 题型四 有理数除法运算 1．某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是 ． 2．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 3．将转化为乘法运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．计算的结果是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 5．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 题型五 有理数除法的应用 1．某服装城用元购进件衬衫.由于非常畅销，这些衬衫在7天全部卖完.这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天每件多的利润，负数表示比前一天每件少的利润）. 销售天数 （单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每件利润变化 （单位：元） 每天销售的件数 （单位：元） (1)每件衬衫的进价为_______元，第四天时，每件衬衫的售价为_______元； (2)求这个服装城这七天的总利润； (3)服装城老板觉得这个商机非常好，于是花了元购进这种衬衫，每件比上一次贵了4元.若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩件，按八折销售很快售完，求两次销售衬衫共盈利的钱数． 2．某市居民生活用电基本价格为，若每月用电量超过，超出部分按基本电价的收费． (1)若某户3月份用电，则应收费______元； (2)若某户3月份用电，则应收费______元； (3)由（1）（2）可知，若平均价格______，则用电量一定超过．（填“”或“”） 3．煤矿井下A点的海拔高度为米，已知从A到B的水平距离为120米，每经过水平距离10米海拔就会上升0.4米，已知B点在A点的上方． (1)求B的海拔高度； (2)用正负数表示温度的变化量，上升为正，下降为负，若C点海拔高度为米，海拔高度每下降10米温度变化量为，从C点到A点温度有什么变化？ 4．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付25%，剩余75%由医疗保险基金支付 (1)明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是3650元．按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)红红今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1800元．红红本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 5．我们学过五线谱上的“音阶”（如图）：实际上，相邻两个音之间并不是每次都升高大二度（全音），其中3到4、7到都只升高了小二度（半音）． 小明了解到可以用统一规格、粗细均匀的水杯制作乐器．敲击水杯发出音的高低取决于杯子中水的多少．水越多音越低，水越少音越高．每高一个全音．就要减少一定量的水，高一个半音减少的水量约是高一个全音减少水量的一半． (1)按音阶规律填空：后4个水杯中应倒入水的深度分别为__________； __________；__________；__________； (2)请画出最后一个杯子水深的大概位置； (3)制作这个“水杯乐器”，至少需要准备几杯这种规格水杯的水量．（结果保留整数） 题型六 有理数乘除混合运算 1．计算 (1) (2) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算 (1) (2) 4．计算： (1)； (2)． 一、单选题 1．的倒数是（　 　） A． B．2024 C． D． 2．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 3．算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（     ）． A．＋ B． C．× D．÷ 4．计算：（     ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（     ） A．小于的数的倒数大于其本身 B．大于1的数的倒数小于其本身 C．一个数的倒数不可能等于它本身 D．的倒数是 6．下列命题中，正确的是（　　） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 7．汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 8．从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 9．如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 二、填空题 11．填空： （1） ；    （2） ； （3） ；   （4） ． 12．计算： ． 13．计算： ． 14．若，互为倒数，，互为相反数，则的值为 ． 15．在四个数中任取两个数相乘，其积的最大值是 ． 16．大于而不大于3的所有整数的积是 ． 17．随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 18．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 三、解答题 19．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．用合理的方法计算，并写出过程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．用你喜欢的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 23．计算： (1)； (2)； (3)． 24．计算： (1)； (2) (3)． 25．阅读下面材料． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． 参照上面的例题．利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 26． 甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？ 27．杭州第十九届亚运会期间，为全面做好赛事保障，确保赛事顺利进行，某检修小组从O地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下：，，，，，，（单位：） (1)求收工时距O 地多远？ (2)若每千米耗油0.2升，那么该检修小组本次检修共耗油多少升？ 28．某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表． 月份 七月份 八月份 九月份 十月份 十一月份 十二月份 甲厂 -0.2 -0.4 +0.5 0 +1.2 +1.3 乙厂 +1.0 -0.7 -1.5 +1.8 -1.8 0 （1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？ （2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？ 29．阅读：比较与的大小. 方法一：利用两数差的正负来判断. 因为－=＞0，所以＞. 方法二：利用两数商，看商是大于1还是小于1来判断. 因为÷=＞1，所以＞. 请用以上两种方法，比较－和－的大小. 30．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，乘积的最大值为 ．     （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少?答：我抽取的2张卡片是________、________，商的最小值为 ．     （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是？ 答：我抽取的2张卡片是________、________，组成的最大的数为 ． 31．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 32．【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 学科网（北京）股份有限公司 $