微专题 “1.3 有理数的乘法与除法”的理解与拓展（含13种题型）--2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册教材解读与拓展

本初中数学讲义聚焦“有理数的乘法与除法”核心知识点，在小学乘除法基础上引入负数运算，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）、多个有理数相乘的符号规则（奇负偶正）、乘法运算律，以及除法法则（转化为乘法，倒数概念），构建后续混合运算与方程求解的学习支架。 该资料亮点在于设计13类分层题型，涵盖实际应用（如语音转换正确率计算）、新定义问题、数轴翻折等，通过错题分析（如乘除混合运算步骤错误）强化运算能力，培养抽象能力与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，深化知识理解。

【解析版】 微专题 “1.3 有理数的乘法与除法”的理解与拓展 【沪教版】六年级上“1.3 有理数的乘法与除法”：核心是在小学乘除法基础上，引入负数参与运算，建立有理数乘除法则；乘法重点：同号得正、异号得负，绝对值相乘；多个有理数相乘，由负因数个数定符号（偶数个为正、奇数个为负）；除法是乘法逆运算，法则一致：同号得正、异号得负，绝对值相除，除以一个数等于乘它的倒数（除数不为0）； 理解关键是符号规则与运算统一，把减法、除法转化为加法、乘法，简化计算；拓展可联系实际：温度升降、收支盈亏、方向位移等负数场景，用乘除描述变化；还能延伸到倒数判断、简便运算（乘法交换律、结合律、分配律仍适用），为后续有理数混合运算、方程求解打基础。 1.3 有理数的乘法与除法 1、有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，都得0； 【说明】1、任何数同相乘都得原数，任何数同相乘得原数的相反数； 2、在乘法算式中，若第一个数是负数，则该数可以不加括号；若负数不在首位，则该负数必须加括号； 3、在进行乘法计算时，带分数要化成假分数，以便于约分； 4、数字与字母、字母与字母、数字与括号之间可省略乘号。 （2）有理数的乘法的运算步骤 第一步：定符号 —— 同号得正，异号得负。第二步：算绝对值 —— 把两个数的绝对值相乘。 （3）多个有理数的乘法 积的符号法则（奇负偶正）： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： ②负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正；口诀：“奇负偶正” ③有0因数的特殊情况：几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0。 （4）多个有理数相乘的步骤 第一步：看因数中有没有0； 第二步：判断积的符号（根据负因数的个数判断；偶正奇负）； 第三步：计算积的绝对值。 （5）有理数的乘法运算律 ①乘法交换律 两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变，即，其中，表示有理数。 ②乘法结合律 三个有理数相乘时，可以先把前两个数相乘，再把积与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把积与第一个数相乘。按两种顺序得到的运算结果相等，即，其中，，表示有理数。 【说明】三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个乘数相乘； ③乘法对加法的分配律 一个有理数与两个有理数的和相乘，等于这个数分别与这两个加数相乘，再把积相加，即，其中，，表示有理数。 【说明】乘法运算律的推广 1、乘法交换律和乘法结合律可以推广到多个有理数相乘：三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个乘数相乘； 2、分配律也可以推广到一个不为0的有理数与多个有理数的和相乘，即 ，其中，，，，表示有理数。此外，对于某些算式，逆用分配律能使计算简便。 2、有理数的除法 （1）倒数 乘积是1的两个数互为倒数；即：当时，与互为倒数； 【说明】例如：和互为倒数，的倒数是的倒数是； （2）有关倒数的性质： ①若，互为倒数，则；反之，若，则，互为倒数； ②“互为倒数”的两个数是互相依存的，不能单独说某个数是倒数； ③0没有倒数（因为0和任何数相乘都不等于1）； ④互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）； ⑤1的倒数是1，−1 的倒数是-1； （3）有理数的除法 有理数的除法法则： 两数相除，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 ，其中， 表示有理数，且不等于0。 由有理数的乘法和除法法则，可以得到 ①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ②0除以任何不为0的数，都得 0。 【说明】1、除法转化为乘法时，小数与带分数都化为分数或假分数进行计算； 2、在将除法转变为乘法的过程中，改变的只是除法的形式，而不应改变除数的符号； 3、一般地，除不尽的情况下常把除法转化为乘法计算，即利用除法法则1； 4、0不能作除数。 题型1、两个有理数的乘法运算 例1、计算： ______． 【提示】两个负数相乘，先确定乘积的符号，再计算绝对值的乘积即可得到结果； 【答案】1； 【解析】因为，根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正， 所以，乘积符号为正，计算绝对值的乘积可得原式； 【说明】本题考查了两个有理数的乘法运算； 例2、【新定义】对于任意有理数 a、b，规定． （1）求的值； （2）求的值，并判断“”运算是否满足交换律（即与是否总相等）． 【提示】注意理解新定义与等价转化； 【答案】（1）7；（2），不满足交换律； 【解析】（1）解：． （2）解：． 因为，，，即与不总相等，所以“”运算不满足交换律． 【说明】本题考查了有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算；注意：先定符号，再算绝对值——顺序不能颠倒。同号得正，异号得负——不要把符号搞反；任何数乘以0都得0，不是得原数。带分数相乘要先化成假分数。 题型2、多个有理数的乘法运算（奇负偶正） 例3、如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（ 　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【提示】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得； 【答案】D； 【解析】因为，四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， 所以，另外两个数的积一定为正数， 所以，另外两个数一定同号； 【说明】本题考查了多个有理数的乘法运算； 例4、四个互不相等整数，满足，则（     ） A．0 B．12 C． D．6 【提示】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可； 【答案】A； 【解析】因为，，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 【说明】本题考查了有理数加法运算、多个有理数的乘法运算；注意：奇负偶正——只数负因数的个数，正因数不影响符号；有0因数时，积直接为0，不需要再判断符号。 题型3、有理数乘法的实际应用 例5、手机上的语音转换文字功能大大减少了人们打字的烦恼．小华在使用这个功能进行转换文字时，发现有23个字转换正确，2个字转换不正确．算一算，这次转换的正确率是___________%． 【提示】先计算转换的总字数，再根据正确率的计算方法，用正确字数除以总字数再乘得到结果； 【答案】； 【解析】由总转换字数为：， 转换的正确率为：． 【说明】本题考查了有理数加法运算、有理数乘法的实际应用； 例6、手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米． 【提示】要使长方体收纳盒容积最小，长方体的长和宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高，代入长方体体积公式计算即可； 【答案】； 【解析】因为，圆锥底面直径为，高为，要将圆锥放入长方体中，长方体的长、宽最小等于圆锥底面直径，高最小等于圆锥的高， 所以，长方体的长为，宽为，高为， 所以，收纳盒的最小容积为：（立方厘米）． 【说明】本题考查了多个有理数的乘法运算的实际应用； 题型4、有理数的乘法运算律 例7、如果，，那么A和B的关系是（      ） A． B． C． D．不能确定 【提示】将A、B拆为含相同乘积项的形式，比较剩余部分的大小； 【答案】C； 【解析】， ， 因为，两式相同部分为，且， 所以， ． 【说明】本题综合考查了有理数大小比较、有理数乘法运算律； 例8、______． 【提示】令，，则，将所求式子进行变形，计算即可得出结果． 【答案】； 【解析】由令，，则， ∴ ． 【说明】本题考查了有理数乘法运算律、有理数四则混合运算； 题型5、倒数的概念与求法 例9、已知和互为倒数，，那么____________ 【提示】根据倒数定义得到，将除法转化为乘法化简后代入计算即可． 【答案】； 【解析】因为，和互为倒数，， 所以，． 所以，． 【说明】本题考查了倒数的定义与求法； 例10、根据倒数的性质我们知道：若，则，例如：，所以，请利用倒数的性质，计算：． 【提示】先计算，将其转化为乘法，利用乘法分配律计算，再根据倒数的定义即可； 【答案】； 【解析】由 ， 所以． 【说明】本题综合考查了倒数的对于、有理数乘法运算律、有理数的除法运算；最主要：0没有倒数——这是最常考的点；互为倒数的两个数同号（同正或同负）；带分数求倒数要先化成假分数；小数求倒数要先化成分数。 题型6、有理数的除法运算 例11、计算：___________． 【提示】先将带分数化为假分数，再根据分数除法法则计算，约分后得到结果； 【答案】； 【解析】由原式 【说明】本题考查了有理数的除法运算； 例12、【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（      ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 【提示】分别找出每个选项四位数的最大数字、最小数字，求二者之差，检验差能否被3整除，满足条件即为完美提取数； 【答案】A； 【解析】由A、4213，最大数字，最小数字，，是的倍数，此选项符合题意； B、5125，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； C、2369，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意； D、8347，最大数字，最小数字，，不是的倍数，此选项不符合题意． 【说明】本题考查了有理数的减法运算、有理数的除法运算；特别提醒：除法法则与乘法法则符号规则相同：同号得正，异号得负；0不能作除数，但0可以作被除数（0÷a=0，a≠0）；不能整除时用倒数法（除以一个数等于乘它的倒数）。 题型7、有理数除法的应用 例13、在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 【提示】以个为优秀标准，正数表示超过标准的个数，负数表示不足标准的个数，先计算偏差总和得到平均成绩，再统计优秀人数计算优秀率； 【答案】；； 【解析】首先计算8名男生成绩与标准的偏差和：， 平均偏差为 ， 因此平均成绩为 个． 成绩记录大于等于即为达到优秀标准，符合条件的共有人． 优秀率为 ． 【说明】本题考查了有理数除法的应用、正负数的实际应用； 例14、天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 【提示】先根据年份尾数确定天干，再计算年份除以12的余数确定地支，最后组合得到干支纪年结果； 【答案】丙午； 【解析】确定天干：2026年的尾数为，由天干对应序数表可知，序数对应的天干为“丙”； 确定地支：计算，可得，即余数为，由地支对应序数表可知，序数对应的地支为“午”； 将天干与地支组合，可得2026年为丙午年； 【说明】本题考查了有理数除法的应用； 题型8、有理数乘除混合运算 例15、计算 （1）； （2）； （3）； 【提示】（1）化简符号，根据加法结合律简便计算即可； （2）除法换作乘法，化简符号，根据乘法交换律和结合律，有理数乘法运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律简便计算即可； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【说明】本题综合考查了有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算； 例16、小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： （1）同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在第 步出现错误； （2）写出本题的正确解答过程． 【提示】（1）根据有理数混合运算的运算顺序即可判断；（2）根据有理数混合运算法则进行计算即可； 【答案】（1）一；（2）； 【解析】（1）小明在第一步中先计算了，即小明在第一步出现错误， 故答案为：一； （2） ． 【说明】本题考查了两个有理数的乘法运算、有理数乘除混合运算；一般而言：乘除混合运算按从左往右的顺序计算；先把除法统一化为乘法，再用“奇负偶正”确定符号；不要跳步——每一步都写清楚，避免符号出错。 题型9、有理数的四则混合运算 例17、定义运算“@”的运算法则为：，则( )． 【提示】按照题目定义的新运算法则，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算即可得到结果； 【答案】； 【解析】因为，， 所以，， 同理可得 所以，； 【说明】本题考查了有理数四则混合运算； 例18、沛沛做一道计算题的解题过程如下： 计算： 解：原式…………………① ……………………………② …………………………………③ …………………………………………④ （1）沛沛从第_________步开始出现错误； （2）请你写出正确完整的解题过程； 【提示】（1）根据除法没有分配律，应该先计算括号里的减法运算，然后计算除法即可求解此题； （2）首先处理括号内的分数减法，再按运算顺序，先计算乘除部分，最后计算加减部分，依据有理数加减运算法则得出最终结果； 【答案】（1）①；（2）； 【解析】（1）因为除法没有分配律，所以应该先计算括号里的减法运算，然后计算除法，所以第①步开始出现错误； （2）原式 ； 【说明】本题考查了有理数四则混合运算； 题型10、有理数四则混合运算的实际应用 例19、某停车场对小型车的收费标准如下表所示．一辆小型车支付了14元停车费，那么这辆车的停车时长可能是（      ） 收费项目 车型 时段 收费标准 小型车 首小时及以内 5元 首小时后（不足1小时按1小时计算） 3元/时 A． B． C． D． 【提示】根据分段收费规则，由总停车费推导停车时长的取值范围，再对比各选项的停车时长判断； 【答案】A； 【解析】因为，停车费元>元， 所以，停车时长超过小时， 首小时后费用为元， 对应计费时长为小时， 又因为，首小时后不足小时按小时计算， 所以，实际总停车时长满足小时， 计算各选项停车时长： A. 时分时分小时分，符合要求； B. 时分时分小时分，小于小时，不符合要求； C. 时分时分小时分，大于小时，不符合要求； D. 时时小时，小于小时，不符合要求． 【说明】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用； 例20、某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 【提示】认真阅读理解与转化； 【答案】； 【解析】设，拆分三段： 第一段：；第二段：；第三段：； 验证：：，拼接； ：，拼接； 计算：，拼接得． 【说明】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用；注意：在算式中，若有多重括号，可按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层去括号。 题型11、有理数乘除中的简便运算 例21、计算题． （1）； （2）； （3）； （4）； 【提示】（1）观察算式可得算式中有个同分母的带分数，可将整数部分与整数部分相加，分数部分与分数部分相加，利用求和公式来简便计算； （2）观察算式发现、、相似，可通过乘数之间扩大和缩小将它们都变成，从而利用乘法分配律来简便计算； （3），，……，，用裂项相消的方法即可计算； （4）分子，分母，分子、分母即可先约分． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【解析】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ； 【说明】本题考查了有理数加法运算律、有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数乘除中的简便运算； 例22、数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【提示】本题考查了有理数的混合运算： 的倒数为，求出其值，再求倒数即可； 【答案】； 【解析】由的倒数为， ， 所以． 【说明】本题考查了有理数乘除中的简便运算；特别注意：1、交换因数的位置时，要连同符号一起交换； 2、分配律中，括号内的每一项都要乘以括号外的数，不要漏项；3、运用运算律的目的是简化运算，要善于观察数字特征。 题型12、根据点在数轴的位置判断式子的正负 例23、已知，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（      ） A． B． C． D． 【提示】数轴上左边数字小于右边的数字，原点左侧为负、右侧为正，离原点越远绝对值越大； 【答案】C； 【解析】由数轴可知：，，且． A.：在原点左边，是负数，错误； B.：是负数，，则，错误； C.：是正数，且到原点距离小于b，故 ，正确； D.：离原点更近，绝对值更小，错误． 【说明】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义、绝对值的几何意义； 例24、已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【提示】根据数轴上点的位置确定的符号及绝对值大小关系，结合有理数运算法则判断； 【答案】D； 【解析】由数轴可知， ， 所以，，，，， 故选项A、B、C正确，D选项错误，该选项符合题意； 【说明】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算； 题型13、数轴上的翻折 例25、小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（      ） A． B． C．或5 D．或3 【提示】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可； 【答案】C； 【解析】折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 因为，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 所以，点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 【说明】本题考查了数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、数轴上的翻折； 例26、操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【提示】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可； 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【解析】（1）因为，左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， 所以，对折中心点为原点， 所以，表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、； 【说明】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上的翻折； 1、有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 2、有理数的乘法的运算步骤 第一步：确定积的符号；第二步：绝对值相乘。 3、有理数乘法法则的推广 （1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定。当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正。简记为＂偶正奇负，绝对值相乘＂。 （2）几个不等于0的有理数相乘，先确定积的符号，再把它们的绝对值相乘。 【说明】1、在乘法运算中，一般先把式子中所有的小数化为分数，带分数化为假分数，再确定符号，并把绝对值相乘；利用有理数乘法运算律进行计算，关键是根据算式的特点，选择合适的方法，这样才能保证计算得又快又对；3、适当运用乘法交换律和乘法结合律，把能够凑整、便于约分的数结合在一起，进行简便计算。 4、判断一个数是不是另一个数的倒数 只需看这两个数的乘积是否为1，若乘积是1，则它们互为倒数，否则不是。 5、求倒数的方法： （1）求一个分数的倒数：交换分子和分母的位置； （2）求一个整数的倒数：整数可以看作分母为1的分数； （3）求带分数的倒数：先化成假分数，再交换分子分母的位置； （4）求小数的倒数：先化成分数，再交换分子分母的位置； 6、有理数的除法法则 倒数法（法则一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 符号法（法则二）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0； 【说明】1、一般在不能整除时用倒数法；在能整除时用符号法更方便；2、因为0没有倒数，所以0不能作除数；3、除法法则与乘法法则符号规则相同：同号得正，异号得负。 7、有理数的乘除混合运算 （1）运算顺序：有括号先算括号里面的，没有括号时，根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次计算； （2）运算方法：有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后约分相乘求出结果。 【说明】1、进行乘除混合运算时，将除法转化成乘法，算式化成连乘的形式；2、先由负因数的个数确定积的符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行计算，也可按从左到右的顺序计算。 1．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（      ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【提示】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可； 【答案】A； 【详解】因为，有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， 所以，和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， 所以，这两个数相除所得的商一定是负数． 2．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【提示】观察数轴得：，可得，再根据有理数的除法法则解答即可； 【答案】B； 【解析】观察数轴得：， 所以，， 所以，，即的值是正数． 3．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】． 4．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（      ） A． B． C．或5 D．或3 【提示】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可； 【答案】C； 【解析】折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 因为，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 所以，点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 5．算式 的计算结果的整数部分为_____． 【提示】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【答案】； 【解析】原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， 因为，分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， 所以， 解得 所以，原式的总和满足 原式， 即 原式， 所以，原式计算结果的整数部分为． 6．一段地下管道，两个工程队从两端向中间铺设．甲队从A端开始，乙队从B端开始，两队同时开工．甲队每天铺设，乙队每天铺设的长度比甲队少．两队同时开工2天后，在管道中的C点会合（如图），这段管道的总长度是___________米． 【提示】根据甲队速度及乙队比甲队少求出乙队速度，利用总长度等于两队速度之和乘以时间求解； 【答案】； 【解析】乙队每天铺设的长度为， 两队每天共铺设的长度为， 这段管道的总长度为， 故这段管道的总长度是米． 7．快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，小时相遇．相遇后，快车继续行驶了小时到达乙地，慢车继续行了千米到达甲地．慢车的速度是_________________千米/小时． 【提示】本解考查了较复杂的行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，分析题中各数量之间的关系，如此快车行3小时的路程等于慢车行4小时的路程，是解答此题的关键； 快车4小时行240千米，可求出快车的速度为（千米/时)，从相遇点到乙地这段路程，快车只行3小时，而慢车需行4小时，可以求出慢车的速度． 【答案】； 【解析】快车的速度为：（千米/时）， 慢车的速度为：（千米/时）． 故答案为：45． 8．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【提示】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【答案】④； 【解析】根据题意，得，， 所以，，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 9．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． 给出下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中，正确的是__________．（填序号） 【提示】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可； 【答案】②③； 【解析】由数轴可知，，， 所以，，， 所以，， 故①不正确，②正确， 因为，，，， 所以，， 故③正确， 因为， 所以，， 所以，， 故④不正确， 因为，，， 所以，， 故⑤不正确， 故答案为：②③； 10．定义的运算为，则________． 【提示】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可； 【答案】； 【解析】因为， ，满足的运算规则， 所以，； 因为， ，满足的运算规则， 所以， ； 因为， ，满足的运算规则， 所以， ； 所以， 原式. 11．规定新运算“”：，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）解：． （2）解：∵， ∴． 12．某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ （2）问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ （3）在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 【提示】（1）将所有行驶路程记录求和，根据结果正负判断方向，结果的绝对值为距A地的距离； （2）计算所有行驶路程记录的绝对值之和，即为总行驶路程； （3）先由总行驶路程和单位耗油量求出总耗油量，再用总油费除以总耗油量得到油价； 【答案】（1）收工时检修队在A地东边，距A地10千米； （2）汽车共行驶52千米； （3）油价是每升元； 【解析】（1）解：各段路程的和为 （千米）， ∵规定向东走为正， ∴收工时检修队在A地东边，距A地10千米． （2）解： （千米）， 答：汽车共行驶52千米． （3）解：总耗油量为（升）， 油价为（元/升）， 答：油价是每升元． 第23页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【原卷版】 微专题 “1.3 有理数的乘法与除法”的理解与拓展 【沪教版】六年级上“1.3 有理数的乘法与除法”：核心是在小学乘除法基础上，引入负数参与运算，建立有理数乘除法则；乘法重点：同号得正、异号得负，绝对值相乘；多个有理数相乘，由负因数个数定符号（偶数个为正、奇数个为负）；除法是乘法逆运算，法则一致：同号得正、异号得负，绝对值相除，除以一个数等于乘它的倒数（除数不为0）； 理解关键是符号规则与运算统一，把减法、除法转化为加法、乘法，简化计算；拓展可联系实际：温度升降、收支盈亏、方向位移等负数场景，用乘除描述变化；还能延伸到倒数判断、简便运算（乘法交换律、结合律、分配律仍适用），为后续有理数混合运算、方程求解打基础。 1.3 有理数的乘法与除法 1、有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同0相乘，都得0； 【说明】1、任何数同相乘都得原数，任何数同相乘得原数的相反数； 2、在乘法算式中，若第一个数是负数，则该数可以不加括号；若负数不在首位，则该负数必须加括号； 3、在进行乘法计算时，带分数要化成假分数，以便于约分； 4、数字与字母、字母与字母、数字与括号之间可省略乘号。 （2）有理数的乘法的运算步骤 第一步：定符号 —— 同号得正，异号得负。第二步：算绝对值 —— 把两个数的绝对值相乘。 （3）多个有理数的乘法 积的符号法则（奇负偶正）： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： ②负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正；口诀：“奇负偶正” ③有0因数的特殊情况：几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0。 （4）多个有理数相乘的步骤 第一步：看因数中有没有0； 第二步：判断积的符号（根据负因数的个数判断；偶正奇负）； 第三步：计算积的绝对值。 （5）有理数的乘法运算律 ①乘法交换律 两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变，即，其中，表示有理数。 ②乘法结合律 三个有理数相乘时，可以先把前两个数相乘，再把积与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把积与第一个数相乘。按两种顺序得到的运算结果相等，即，其中，，表示有理数。 【说明】三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个乘数相乘； ③乘法对加法的分配律 一个有理数与两个有理数的和相乘，等于这个数分别与这两个加数相乘，再把积相加，即，其中，，表示有理数。 【说明】乘法运算律的推广 1、乘法交换律和乘法结合律可以推广到多个有理数相乘：三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个乘数相乘； 2、分配律也可以推广到一个不为0的有理数与多个有理数的和相乘，即 ，其中，，，，表示有理数。此外，对于某些算式，逆用分配律能使计算简便。 2、有理数的除法 （1）倒数 乘积是1的两个数互为倒数；即：当时，与互为倒数； 【说明】例如：和互为倒数，的倒数是的倒数是； （2）有关倒数的性质： ①若，互为倒数，则；反之，若，则，互为倒数； ②“互为倒数”的两个数是互相依存的，不能单独说某个数是倒数； ③0没有倒数（因为0和任何数相乘都不等于1）； ④互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）； ⑤1的倒数是1，−1 的倒数是-1； （3）有理数的除法 有理数的除法法则： 两数相除，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 ，其中， 表示有理数，且不等于0。 由有理数的乘法和除法法则，可以得到 ①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ②0除以任何不为0的数，都得 0。 【说明】1、除法转化为乘法时，小数与带分数都化为分数或假分数进行计算； 2、在将除法转变为乘法的过程中，改变的只是除法的形式，而不应改变除数的符号； 3、一般地，除不尽的情况下常把除法转化为乘法计算，即利用除法法则1； 4、0不能作除数。 题型1、两个有理数的乘法运算 例1、计算： ______． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、【新定义】对于任意有理数 a、b，规定． （1）求的值； （2）求的值，并判断“”运算是否满足交换律（即与是否总相等）． 题型2、多个有理数的乘法运算（奇负偶正） 例3、如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（ 　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 例4、四个互不相等整数，满足，则（     ） A．0 B．12 C． D．6 题型3、有理数乘法的实际应用 例5、手机上的语音转换文字功能大大减少了人们打字的烦恼．小华在使用这个功能进行转换文字时，发现有23个字转换正确，2个字转换不正确．算一算，这次转换的正确率是___________%． 例6、手工课上，同学们制作一个圆锥形的纸杯，纸杯的底面直径是，高是．如果把它放进一个长方体收纳盒里，这个收纳盒的容积至少是___________立方厘米． 题型4、有理数的乘法运算律 例7、如果，，那么A和B的关系是（      ） A． B． C． D．不能确定 例8、______． 题型5、倒数的概念与求法 例9、已知和互为倒数，，那么____________ 例10、根据倒数的性质我们知道：若，则，例如：，所以，请利用倒数的性质，计算：． 题型6、有理数的除法运算 例11、计算：___________． 例12、【新定义】把一个正整数的各位数字中最大数与最小数的差叫做这个数的"提取差"．若一个正整数的提取差是 3 的倍数，则称这个数为"完美提取数"．例如 527 中最大的数字是 7，最小的数字是 2，提取差为 ，5 不是 3 的倍数，所以 527 不是"完美提取数"．下列各数中，是"完美提取数"的是（      ） A．4213 B．5125 C．2369 D．8347 题型7、有理数除法的应用 例13、在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 例14、天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历（下面所有干支纪年都是所在公元纪年立春之后的干支纪年）．有十天干与十二地支，如下表： 天干名 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 — — 对应序数 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 — — 地支名 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 对应序数 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如：2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，则2008年就是戊子年．2026年是伟大的中华人民共和国成立77周年，则2026年是___________年．（用天干地支纪年法表示） 题型8、有理数乘除混合运算 例15、计算 （1）； （2）； （3）； 例16、小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： （1）同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在第 步出现错误； （2）写出本题的正确解答过程． 。 题型9、有理数的四则混合运算 例17、定义运算“@”的运算法则为：，则( )． 例18、沛沛做一道计算题的解题过程如下： 计算： 解：原式…………………① ……………………………② …………………………………③ …………………………………………④ （1）沛沛从第_________步开始出现错误； （2）请你写出正确完整的解题过程； 题型10、有理数四则混合运算的实际应用 例19、某停车场对小型车的收费标准如下表所示．一辆小型车支付了14元停车费，那么这辆车的停车时长可能是（      ） 收费项目 车型 时段 收费标准 小型车 首小时及以内 5元 首小时后（不足1小时按1小时计算） 3元/时 A． B． C． D． 例20、某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 题型11、有理数乘除中的简便运算 例21、计算题． （1）； （2）； （3）； （4）； 例22、数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 题型12、根据点在数轴的位置判断式子的正负 例23、已知，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（      ） A． B． C． D． 例24、已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 题型13、数轴上的翻折 例25、小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（      ） A． B． C．或5 D．或3 例26、操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 1、有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 2、有理数的乘法的运算步骤 第一步：确定积的符号；第二步：绝对值相乘。 3、有理数乘法法则的推广 （1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定。当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正。简记为＂偶正奇负，绝对值相乘＂。 （2）几个不等于0的有理数相乘，先确定积的符号，再把它们的绝对值相乘。 【说明】1、在乘法运算中，一般先把式子中所有的小数化为分数，带分数化为假分数，再确定符号，并把绝对值相乘；利用有理数乘法运算律进行计算，关键是根据算式的特点，选择合适的方法，这样才能保证计算得又快又对；3、适当运用乘法交换律和乘法结合律，把能够凑整、便于约分的数结合在一起，进行简便计算。 4、判断一个数是不是另一个数的倒数 只需看这两个数的乘积是否为1，若乘积是1，则它们互为倒数，否则不是。 5、求倒数的方法： （1）求一个分数的倒数：交换分子和分母的位置； （2）求一个整数的倒数：整数可以看作分母为1的分数； （3）求带分数的倒数：先化成假分数，再交换分子分母的位置； （4）求小数的倒数：先化成分数，再交换分子分母的位置； 6、有理数的除法法则 倒数法（法则一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 符号法（法则二）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0； 【说明】1、一般在不能整除时用倒数法；在能整除时用符号法更方便；2、因为0没有倒数，所以0不能作除数；3、除法法则与乘法法则符号规则相同：同号得正，异号得负。 7、有理数的乘除混合运算 （1）运算顺序：有括号先算括号里面的，没有括号时，根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次计算； （2）运算方法：有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后约分相乘求出结果。 【说明】1、进行乘除混合运算时，将除法转化成乘法，算式化成连乘的形式；2、先由负因数的个数确定积的符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行计算，也可按从左到右的顺序计算。 1．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（      ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 2．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 3．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（      ） A． B． C． D． 4．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（      ） A． B． C．或5 D．或3 5．算式 的计算结果的整数部分为_____． 6．一段地下管道，两个工程队从两端向中间铺设．甲队从A端开始，乙队从B端开始，两队同时开工．甲队每天铺设，乙队每天铺设的长度比甲队少．两队同时开工2天后，在管道中的C点会合（如图），这段管道的总长度是___________米． 7．快车和慢车分别从甲、乙两地相向而行，小时相遇．相遇后，快车继续行驶了小时到达乙地，慢车继续行了千米到达甲地．慢车的速度是_________________千米/小时． 8．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 9．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． 给出下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中，正确的是__________．（填序号） 10．定义的运算为，则________． 11．规定新运算“”：，求： （1）的值； （2）的值． 12．某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ （2）问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ （3）在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 第12页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $