专题1.7 有理数的乘方（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方的概念（n个相同乘数的积的运算，底数、指数、幂）、符号规律（平方非负性、立方符号法则），作为有理数运算的延伸，为后续学习科学记数法等奠定基础。 资料亮点在于题型丰富（含概念理解、程序流程图、规律探究等7类），例题与变式结合，通过流程图问题培养抽象能力，规律题发展推理意识，新定义题提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

专题1.7 有理数的乘方（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 有理数乘方的概念理解】 2 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 3 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 4 【题型4 乘方中的整除与进制问题】 6 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 9 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 11 【题型7 乘方中的新定义问题】 12 考点 有理数的乘方 知识点1 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 【题型1 有理数乘方的概念理解】 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【答案】B 【分析】本题考查乘方的基本概念，需明确乘方中底数、指数的定义及乘方的意义，即表示个相乘，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵乘方中，是底数，是指数，表示个相乘， ∴对于，底数是2，指数是3，它表示3个2相乘，即， ∴选项A、C、D均错误，选项B正确． 故选：B． 【变式1-1】与算式的运算结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：，故A正确． 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的意义和乘方的意义． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：或． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算． 按照运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原等式不成立，不符合题意； B．，原等式不成立，不符合题意； C．，，原等式不成立，不符合题意； D．，原等式成立，符合题意． 故选：D． 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 【例2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，根据积的乘方公式，将原式转化为进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式2-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若与互为相反数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数，非负数的性质，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键．根据相反数的定义列式，再根据绝对值和平方的非负性，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 【例3】按如图所示的运算程序，能使输出的结果为36的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先比较x，y的大小，然后选择计算途径中的代数式，代入求值即可． 【详解】解：A选项中，，输出结果，不合题意； B选项中，，输出结果，不合题意； C选项中，，输出结果，符合题意； D选项中，，输出结果，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查代数式的程序型计算，准确理解程序的意义是解题的关键． 【变式3-1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和乘方运算，熟练掌握有理数大小比较的方法及乘方的计算规则是解题的关键． 先根据条件确定a、b的值，再比较a与b的大小，最后代入对应表达式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∵ ，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】按如图所示的程序进行运算，若要使输出的结果为，则输入的x值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵输出结果为，则前一步计算为 即 ∵ 解得， 故选：D． 【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【学习情境·数值转换机】下图是一数值转换机，输入数值后按两个方框中的程序运算，若运算结果大于，可以输出结果；若运算结果不大于，则将得到的结果重新输入，进行运算，直到运算结果大于时输出运算结果．当输入数为时，最终输出的结果是__________．    【答案】320 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据流程图，输入值进行计算，直到满足程序流程图的输出，即可． 【详解】由题意得，当输入时，可得， 故继续输入，可得， 故继续输入，， 故继续输入，， ∴输出结果为． 故答案为：． 【题型4 乘方中的整除与进制问题】 【例4】（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）我们知道，在三进制中，数，比如，即，则__________． 【答案】44 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，十进制整数及表示方法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将三进制数转换为十进制数，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：44． 【变式4-1】能被下列哪个数整除？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出，即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 能被整除， 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式4-3】当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示： 个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 ······ 在10，11，12，13这四个数中，当____________时，和数能被5整除． 【答案】10、11、13 【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除 【详解】根据表格中的规律，可得下表：        n个位数 10 11 12 13 个位数 1 1 1 1 个位数 4 8 6 2 个位数 9 7 1 3 个位数 6 4 6 4 个位数的和的个位数 0 0 4 0 由表格知道，当n=10、11、13时，的个位数字都是0，能够被5整除 故答案为：10、11、13 【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除. 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 【例5】（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【答案】5 【分析】本题是规律探索问题，考查了乘方的运算，发现规律是关键． 通过观察和的末位数字的循环规律，分别求出和的末位数字，然后相加得到和的末位数字． 【详解】的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为2，余2时末位为4， 余3时末位为8，余0时末位为6． 的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为3，余2时末位为9， 余3时末位为7，余0时末位为1． 计算：余3，对应末位为8． 计算：余3，对应末位为7． 8+7=15，末位数字为5． 故答案为：5． 【变式5-1】观察下列规律：，，，，，…用你发现的规律写出个位数字为_________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键是找出数字的个位数字规律． 根据给出的结果，得出数字的循环规律，然后求解即可． 【详解】解：通过给出的3的乘方的结果的个位数字规律是循环的，循环部分为：3，9，7，1，循环周期为4， ∴， ∴的个位数字为9． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期中）观察算式：，，，，可以得出的末尾两位数字是_____． 【答案】07 【分析】本题考查了尾数特征．由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定的末尾两位数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， …… 发现：的末尾两位数字是49，的末尾两位数字是43，的末尾两位数字是01，的末尾两位数字是07，（、2、3、4、…）， ∵， ∴的末两位数字为07， 故答案为：07． 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 【例6】已知与互为相反数，求的值． 【答案】0 【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可； 【详解】因为与互为相反数，所以，所以，， 所以，， 因此． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键． 【变式6-1】（24-25七年级上·四川成都·月考）若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 【变式6-2】若与互为相反数，求的值． 【答案】-8 【分析】先根据绝对值和平方数的非负性求出，代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴+=0 ∵≥0， ≥0 ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了绝对值和平方数的非负性，及有理数的乘方运算，利用绝对值和平方数的非负性求出值是解题的关键． 【变式6-3】若，则的值为_________． 【答案】8 【详解】解：∵ 且，， ∴， ∴， ∴ 故答案为8. 【题型7 乘方中的新定义问题】 【例7】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键．根据新定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 【变式7-2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为__________． 【答案】1/ 【分析】本题考查了新定义下有理数的乘方运算，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意分两种情况分别计算讨论即可． 【详解】解：当且时，即且， ∴， ∴，或 解得：或； 当时，即， ∴， ∴， 解得：；（不符合题意）， 综上可得：或， 故答案为：1或． 【变式7-3】（24-25九年级下·山东济宁·期中）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则______． 【答案】81 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，循环体，解题的关键是通过计算前面几项，发现出循环体，利用规律进行求解． 【详解】解：由定义得：， ∴，， ，， ，， ，…… ∴每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：81． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 有理数的乘方（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 有理数乘方的概念理解】 2 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 2 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 2 【题型4 乘方中的整除与进制问题】 3 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 4 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 5 【题型7 乘方中的新定义问题】 5 考点 有理数的乘方 知识点1 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方，任意一个数的平方都是非负数；一个数的三次方，也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数. 【题型1 有理数乘方的概念理解】 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【变式1-1】与算式的运算结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是__________． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 【例2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【变式2-2】（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若与互为相反数，则______． 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 【例3】按如图所示的运算程序，能使输出的结果为36的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为________． 【变式3-2】按如图所示的程序进行运算，若要使输出的结果为，则输入的x值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【学习情境·数值转换机】下图是一数值转换机，输入数值后按两个方框中的程序运算，若运算结果大于，可以输出结果；若运算结果不大于，则将得到的结果重新输入，进行运算，直到运算结果大于时输出运算结果．当输入数为时，最终输出的结果是__________．    【题型4 乘方中的整除与进制问题】 【例4】（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）我们知道，在三进制中，数，比如，即，则__________． 【变式4-1】能被下列哪个数整除？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示： 个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 ······ 在10，11，12，13这四个数中，当____________时，和数能被5整除． 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 【例5】（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【变式5-1】观察下列规律：，，，，，…用你发现的规律写出个位数字为_________． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期中）观察算式：，，，，可以得出的末尾两位数字是_____． 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 【例6】已知与互为相反数，求的值． 【变式6-1】（24-25七年级上·四川成都·月考）若，则的值为_______． 【变式6-2】若与互为相反数，求的值． 【变式6-3】若，则的值为_________． 【题型7 乘方中的新定义问题】 【例7】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【变式7-2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为__________． 【变式7-3】（24-25九年级下·山东济宁·期中）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $