3.4相似三角形的性质（分层作业，21大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 3.4 相似三角形的性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 相似三角形的对应角相等 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的周长比等于相似比 题型04 相似三角形的面积比等于相似比平方 题型05 相似三角形的性质（三线问题 题型06 利用相似的性质作图 题型07 相似三角形与格点综合应用 题型08 相似三角形的实际应用 题型09 实物抽象出相似问题 B组 能力进阶 题型01 相似三角形的性质结合判定求线段长度 题型02 相似三角形的性质结合判定求面积 题型03 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式 题型04 相似三角形的性质结合判定求最值 题型05 相似三角形的性质结合判定综合证明 题型06 相似三角形的性质与判定综合 题型07 相似三角形与角平分线综合 题型08 相似三角形与坐标系综合求点坐标 C组 思维拔高 题型01 与相似三角形有关的动点问题 题型02 相似三角形与函数图象综合建模 题型03 折叠与旋转中的相似关系探究 题型04 利用相似三角形的性质探究规律 相似三角形的对应角相等题型01 1．如图，点P在的边上，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，，相交于点，且，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（   ） A．30° B．50° C．40° D．70° 4．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知，，，则的度数为______． 5．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：． 利用相似三角形的性质求解题型02 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·联考）已知，相似比为，则对应周长的比和对应面积的比分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 4．如果，，，则______ 5．如图，在中，，点D在上，，和是对应边．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 相似三角形的周长比等于相似比题型03 1．（25-26九年级上·云南·期末）两个相似三角形的相似比是，则其周长比是（   ） A． B． C． D． 2．若， 面积比为， 则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 4．如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米，它们的周长之差60厘米，那么这两个三角形的周长分别是________. 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 相似三角形的面积比等于相似比平方题型04 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）若，且相似比为，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·期末）如图，在中，，，，若，则________． 3．在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则是_______． 4．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________ 5．已知，，的周长为，的面积是，求： (1)的周长； (2)的面积． 相似三角形的性质（三线问题题型05 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为______． 3．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中： ①； ②∽； ③∽； ④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______． 4．如图，和的面积相等，点在边上，交于点.，，则的长是______. 5．（24-25九年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 利用相似的性质作图题型06 1．如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 2．在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 相似三角形与格点综合应用题型07 1．如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（    ） A． B． C． D． 2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画出边上的中线； (2)在图②中画出边上的高线； (3)在图③中画出，使，且． 5．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使； (2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一． 相似三角形的实际应用题型08 1．数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处竖立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 2．如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（    ） A．10m B．8m C．6m D．4m 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 4．如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度． 5．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度． 实物抽象出相似问题题型09 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 2．图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（    ）         图1           图2 A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 4．凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于点对称）（    ） A． B． C．3 D． 5．三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积__________分米． 相似三角形的性质结合判定求线段长度题型01 1．（25-26九年级上·广西百色·质检）如图，D是的边上一点，连接，已知，，，则线段的长为（　　） A．9 B．6 C．5 D．4 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，是边上的高，，，则等于________． 3．如图，在中，，分别是和上的点，且．若，，，求的长． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 5．综合与实践 问题情境 在综合实践活动课上，老师以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，M是的中点，E是边上任意一点，将沿折叠，点A落到点F处，连接并延长，交所在直线于点G． 分析探究 （1）如图1，当所在直线经过点M时，试判断线段与的数量关系，并说明理由； 解决问题 （2）如图2，连接，当点E与边的中点M重合时，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在矩形的对角线上，判断与的数量关系，并说明理由． （3）图2中，若，直接写出和的长． 相似三角形的性质结合判定求面积题型02 1．如图，中，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B． 若△ADC的面积为a ，则△ABD的面积为____________ 4．（2026·河北衡水·二模）如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 5．【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，，点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，试说明：． 【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分，时，求的大小． 【应用】如图3，在问题原型的条件下，当，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积． 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式题型03 1．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 2．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 3．如图，点E在线段上，，，．求证． 4．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 5．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）试证明EG2＝GF•AF． 相似三角形的性质结合判定求最值题型04 1．如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，点E是上的动点，F是的中点，连接，则的最小值为_____． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D和M分别是BC、AC边上的动点，则AD＋DM的最小值是________． 4．如图所示，在中，，点D、E分别在边上，点F、G在边上．当四边形是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长的取值范围是_____． 相似三角形的性质结合判定综合证明题型05 1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论： ①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB． 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    4．（25-26九年级上·上海·月考）已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点F，如果，求证：． 5．已知：在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G. (1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证：； (2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论； (3)如图③，若BA＝BC＝9，DA＝DC＝12，∠BAD＝90°，DE⊥CF.求的值． 相似三角形的性质与判定综合题型06 1．如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 2．如图，，与交于点E，且． (1)求的长． (2)求证：． 3．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 4．【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 相似三角形与角平分线综合题型07 1．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在中，点在的角平分线上，，过点作线段，分别交边于点．如果，那么=______． 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，，点B、C分别在、上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，与相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，①求证：．②若，求的长． 相似三角形与坐标系综合求点坐标题型08 1．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________． 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 4．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 与相似三角形有关的动点问题题型01 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A．4或5 B．4或7 C．4或5或7 D．4或7或9 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么______秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)几秒后与相似？ 4．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）为何值时，？ （2）设四边形的面积为，试求出与之间的关系式； （3）是否存在某一时刻，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）当为何值时，？ 相似三角形与函数图象综合建模题型02 1．如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 2．如图，一动点从的点出发，在三角形的内部（含边上）沿直线运动次，第一次到点，第二次到点，第三次到点，设点运动路程为，，与的函数图象如图所示，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知矩形中，，点是对角线上一点，且．点是边中点，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为．若面积记为，面积记为，面积记为．当点运动到点的正上方时，两点运动停止．    (1)如图①，点在线段(包含端点)上运动时，与的函数图像如图②所示，则的长为___________cm； (2)如图③，点在线段上运动； ①若，求此时的值； ②若，求此时的值． 折叠与旋转中的相似关系探究题型03 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 2．如图，矩形纸片中，，分别是的中点，将矩形沿所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形相似，则用等式表示与的数量关系为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是________； （2）求点的坐标是_______． 4．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，求证：． 5．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　． （2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论） 利用相似三角形的性质探究规律题型04 1．如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn-1Dn＝n－1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝____________(用含n的式子表示)． 2．将个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点和点是正方形的顶点，连结，分别交正方形的边于点，四边形的面积为，四边形的面积是，…四边形的面积是，则__________. 3．如图，已知是的中线，过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，．则______．（用含n的代数式表示） 4．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 5．探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4 相似三角形的性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 相似三角形的对应角相等 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的周长比等于相似比 题型04 相似三角形的面积比等于相似比平方 题型05 相似三角形的性质（三线问题 题型06 利用相似的性质作图 题型07 相似三角形与格点综合应用 题型08 相似三角形的实际应用 题型09 实物抽象出相似问题 B组 能力进阶 题型01 相似三角形的性质结合判定求线段长度 题型02 相似三角形的性质结合判定求面积 题型03 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式 题型04 相似三角形的性质结合判定求最值 题型05 相似三角形的性质结合判定综合证明 题型06 相似三角形的性质与判定综合 题型07 相似三角形与角平分线综合 题型08 相似三角形与坐标系综合求点坐标 C组 思维拔高 题型01 与相似三角形有关的动点问题 题型02 相似三角形与函数图象综合建模 题型03 折叠与旋转中的相似关系探究 题型04 利用相似三角形的性质探究规律 相似三角形的对应角相等题型01 1．如图，点P在的边上，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理． 根据相似三角形的对应角相等得到，进而根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 2．如图，，相交于点，且，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，则，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，三角形的外角． 3．若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（   ） A．30° B．50° C．40° D．70° 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠A=30°，∠C=110°， ∴∠B=40°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′=∠B=40°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用．在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵ ∴． 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质．根据相似三角形的性质，求得，由平行四边形的性质可得，据此即可证明． 【详解】略 利用相似三角形的性质求解题型02 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·联考）已知，相似比为，则对应周长的比和对应面积的比分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴对应周长的比为，对应面积的比为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似，对应面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴，即， 故选：A ． 3．（2026·江苏南通·模拟）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【分析】分类讨论当和，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①由题可知，当， , , , ②由题可知，当， , , , 故答案为：和． 4．如果，，，则______ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先根据相似三角形的性质求得，再根据勾股定理即可求得结果. 【详解】∵ ∴，即， 解得 ∵ ∴. 故答案为：. 5．如图，在中，，点D在上，，和是对应边．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 垂直．理由： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 即； (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质： （2）运用相似性质证出即可得出结论； （2）运用相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可得解 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∴． ∴． 相似三角形的周长比等于相似比题型03 1．（25-26九年级上·云南·期末）两个相似三角形的相似比是，则其周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的周长比也是. 故选：C 2．若， 面积比为， 则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】， 面积比为， ∴与的相似比是， ∵相似三角形的周长之比等于相似比， ∴与的周长比为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质及相似三角形的周长的比等于相似比的运用． 先求出等边三角形的周长，再根据三角形相似比得到周长比，从而求出周长． 【详解】解：∵等边三角形，， ∴． ∵点在边上，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米，它们的周长之差60厘米，那么这两个三角形的周长分别是________. 【答案】100cm, 40cm 【分析】运用相似三角形的周长比等于相似比进行作答即可. 【详解】解：设小三角形的周长是x厘米，则大三角形的周长是（x+60）厘米 由题意得：（x+60）：x=35：14， 解得x=40. 所以大三角形的周长是100厘米. 故答案为100cm和40cm. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,熟记并灵活应用相似三角形的周长的比等于相似比是解答的关键. 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 【答案】 【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似． 相似三角形的面积比等于相似比平方题型04 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）若，且相似比为，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵，相似比为， ∴ 面积比为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·期末）如图，在中，，，，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由于，则可判断，根据相似的性质得，则可计算出，然后利用求解． 【详解】解：， ． ． ，，， ． ， ． ． 故答案为：． 3．在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则是_______． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：①当时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ②当时， 同理可得，， 故答案为或． 【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________ 【答案】108 【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可． 【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H， ∵DE//BC，IG//AB，FH//AC， ∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形， △FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC， ∵， ∴FP：IE：PH=1：2：3， ∴AI：IE：EC=1：2：3， ∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6， S△ABC：S△FDP=36：1， ∴S△ABC=36×3=108． 故答案为:108． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方． 5．已知，，的周长为，的面积是，求： (1)的周长； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴， 即的周长为； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积是， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键． 相似三角形的性质（三线问题题型05 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为______． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．根据相似三角形的对应高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与相似，且对应高的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为. 故答案为：． 3．已知∽，， ，、分别为与的中线，下列结论中： ①； ②∽； ③∽； ④与'对应边上的高之比为．其中结论正确的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：∵∽，、分别为与的中线， ∴，故①正确； ∵，， ∴∽，故②正确； ∴与对应边上的高之比为，故④正确； 而与不相似，故③错误； ∴正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比. 4．如图，和的面积相等，点在边上，交于点.，，则的长是______. 【答案】14 【分析】根据题意可得和的高是相等的，再根据，可得的高的比值，进而可得的比值，再计算DF的长. 【详解】解：根据题意可得和的高是相等的 故答案为14. 【点睛】本题主要考查三角形的相似比等于高的比，这是一个重要的考点，必须熟练掌握. 5．（24-25九年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件得到分别为，的中线，再根据得出即可求解． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴分别为，的中线， ∵， ∴， 即，解得：， ∴的长为2． 利用相似的性质作图题型06 1．如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 【答案】(1) 如图，点P即为所求；    (2) 如图，点P即为所求；      【分析】（1）连接图中，与的交点即为点P； （2）连接图中，与的交点即为点P； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查作图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握画图的技巧是解题的关键． 2．在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 【答案】（1）直角三角形； （2）如图1中，射线即为所求作． （3）如图2中，点，点即为所求作． ． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可． （2）取格点，连接交于点，射线即为所求作． （3）利用平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 相似三角形与格点综合应用题型07 1．如图，点都是方格纸中的格点，为使（点和对应，点和对应），则点应是四点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6 DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H． 【详解】解：根据题意， ∵△DEM∽△ABC，AB=4，AC=6 DE=2 ∴DE：AB=DM：AC ∴DM=3 ∴M点的对应点应是H 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等. 2．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】 解：如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，根据相似比为可得，，，据此可得． 【详解】略 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画出边上的中线； (2)在图②中画出边上的高线； (3)在图③中画出，使，且． 【答案】(1) 如图1所示，根据题意可知，四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可知，线段即为边上的中线． (2) 如图2所示，线段即为所求． (3) 如图3所示，可知，根据勾股定理可知，所以． 如图4所示，线段即为所求． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质，勾股定理等： （1）如图1所示，根据题意可知，四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可知，线段即为边上的中线； （2）如图3所示，可知，根据勾股定理可知，所以； （3）因为，，所以，如图5所示，因为，，所以，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 因为，，所以 如图5所示，因为，，所以，． 如图6所示，即为所求． 5．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使； (2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F； （2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一． 【详解】（1）解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO， ∵AM=AC， ∴AO平分∠MAC， ∴∠OAC=45°， ∴延长AO，与BC交于一点，即为点F， ，∠ACB=∠ACF， ∴△ACF∽△BCA． （2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等； ∵AC=DC，O为AD的中点， ∴CM平分∠ACD， ∴点M到AC，CD的距离相等， ∴△MDC与△MAC的面积相等； 连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一； ∵在△PBG和△QCG中， ∴， ∴， ∴CG=， ∵AH∥GC， ， ， 设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，角平分线的性质，是解题的关键． 相似三角形的实际应用题型08 1．数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处竖立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 【答案】C 【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】∵， 即， ∴楼高米， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似三角形是解决问题的关键． 2．如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（    ） A．10m B．8m C．6m D．4m 【答案】B 【分析】根据题意，画出示意图，证明△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m； ∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°， ∴∠ECD=∠F， 又 ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2=ED•FD=4×16=64， 解得CD=8m（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 【答案】 【分析】先求出的长，再证出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 4．如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度． 【答案】小河的宽度为10 m． 【分析】由BC⊥AD，ED⊥AD，可得∴△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】设小河的宽度AB＝xm，根据题意得：BC⊥AD，ED⊥AD，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：ED，∴x：（x+5）＝1：1.5，解得：x＝10，∴AB＝10． 答：小河的宽度为10 m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度． 【答案】路灯离地面的高度是9米 【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值． 【详解】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′， ∴SO∥AB， ∴△ABC∽△SOC， ∴＝，即， 解得OB＝h﹣1①， 同理，∵A′B′⊥OC′， ∴△A′B′C′∽△SOC′， ∴，②， 把①代入②得， ， 解得：h＝9（米）． 答：路灯离地面的高度是9米． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 实物抽象出相似问题题型09 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：C． 2．图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（    ）         图1           图2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出截面图，过点作、的垂线，由，相似比等于对应高之比，列出等量关系式，，即可求解， 本题考查了，相似三角形的实际应用，求相似比，解题的关键是：将实际问题转化为数学模型． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点作，交于点，交于点，    由题意可知：，，， ∵， ∴、分别是、边上的高， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 4．凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于点对称）（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，先证明四边形是矩形，得到，再利用相似三角形的性质解决问题即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 缩小的实像是物体的， ， ， 焦点和关于点对称， ， ， 故选：A． 5．三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积__________分米． 【答案】8 【分析】设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积． 【详解】解：如图，在正方形中，， 设， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴正方体礼品盒的棱长为2， ∴体积为立方分米， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 相似三角形的性质结合判定求线段长度题型01 1．（25-26九年级上·广西百色·质检）如图，D是的边上一点，连接，已知，，，则线段的长为（　　） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，是边上的高，，，则等于________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到，即可得到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，分别是和上的点，且．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质， 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由，推出，再根据相似的性质即可求得． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1) 证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 5．综合与实践 问题情境 在综合实践活动课上，老师以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，M是的中点，E是边上任意一点，将沿折叠，点A落到点F处，连接并延长，交所在直线于点G． 分析探究 （1）如图1，当所在直线经过点M时，试判断线段与的数量关系，并说明理由； 解决问题 （2）如图2，连接，当点E与边的中点M重合时，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在矩形的对角线上，判断与的数量关系，并说明理由． （3）图2中，若，直接写出和的长． 【答案】（1）理由如下： ∵ 四边形是矩形， ． ． 是边的中点， ． 又， ． ． ， ． ． （2），理由如下： 如答图，连接， ∵四边形是矩形， ． ． 由折叠可知， ． ， ， ， 又， ， ． ． ． 是边的中点， ． ． 又， ， ． （3），． 【分析】(1)根据矩形的性质证明，再证明，根据边相等逐步推出； (2)根据矩形的性质和折叠的性质证明，再根据HL证明，得到FG=DG，推出； (3)根据勾股定理求出BC和CF的长度，过点F作BC的垂线FH，先证明∽，再根据相似求对应边的长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵AB=4， ∴ BF=AB=4， ∴， 过点F作BC的垂线FH，如图， ∵ ， ∴ ∽ ∴ ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定定理、勾股定理、相似三角形，掌握相关的性质和定理是解题的关键． 相似三角形的性质结合判定求面积题型02 1．如图，中，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，根据三角形中位线定理求得，，从而求得，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东聊城·期中）如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 3．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B． 若△ADC的面积为a ，则△ABD的面积为____________ 【答案】3a 【分析】通过证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可． 【详解】解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴ , ∴， 解得，△BCA的面积为4a， ∴△ABD的面积为：4a-a=3a， 故答案为：3a． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（2026·河北衡水·二模）如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由，，得，所以，同理得，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 5．【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，，点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，试说明：． 【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分，时，求的大小． 【应用】如图3，在问题原型的条件下，当，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积． 【答案】 【问题原型】证明：在中，点E，F分别为AC，BC的中点 ，且 在中，点E为AC的中点， 【探究】 ； 【应用】． 【分析】问题原型:利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论； 探究:先证明∠CEF=∠BAD，∠DEC=∠BAD，根据∠DEF=〖90〗^∘列方程得∠BAD的度数； 应用:由四边形CDEF是菱形，说明△CDE是等边三角形，再根据等底同高说明△CDE与△DEA间关系，根据相似说明△CAB与△CEF间关系，由AB=2，得DE=1，得等边△DE的面积，利用三角形的面积间关系得结论． 【详解】问题原型:略 探究:平分，， ， ， 应用:四边形ABCD的面积为： 四边形CDEF是菱形，， 与都是等边三角形， ， ， ，， ． 【点睛】考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式题型03 1．如图, ,. 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； (2) 证明：由 (1) 可知， 则有， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可； （2）根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 3．如图，点E在线段上，，，．求证． 【答案】 证明：，， ，． ， ． ， ． 又， ． ． ． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余和平角说明，再判断，最后利用相似三角形的性质得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． 4．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】 证明：如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 5．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）试证明EG2＝GF•AF． 【答案】 （1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF＝∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG． ∴GD＝DF． ∴DG＝GE＝DF＝EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）解：如图所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF． ∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2＝FO•AF． ∵FO＝GF，DF＝EG， ∴EG2＝GF•AF． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，解答本题主要应用了菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键． 相似三角形的性质结合判定求最值题型04 1．如图，平面内三点A、B、C，AB=8，AC=6，以BC边为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，则的最大值是（    ） A．98 B．100 C．72 D．70 【答案】A 【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD，利用相似三角形的性质得出OD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，以AB为斜边作等腰直角三角形∆AOB，连接OD， ∵∆CBD，∆AOB都是等腰直角三角形， ∴，，∠ABO=∠CBD=45°， ∴，∠ABC=∠OBD， ∴∆ABC~∆OBD， ∴， ∴， ∵AB=8，∠AOB=90°，OA=OB， ∴OA=OB=， ∵AD≤OA+OD， ∴AD≤， AD2≤98， 故选：A． 【点睛】题目主要考查旋转变换，相似三角形的判定和性质，作出相应辅助线，构造相似三角形及确定点D的运动轨迹是解题关键． 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，点E是上的动点，F是的中点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先求出，，的长度，当，即时，的值最小，根据，求出最小值 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，． ． F是的中点， ． 当，即时，的值最小． ，， ． ，即． . 故答案为：． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D和M分别是BC、AC边上的动点，则AD＋DM的最小值是________． 【答案】 【分析】如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，作EM⊥AC垂足为M，EM交BC于D，此时AD＋DM最小，由△AOB∽△AME，得到对应线段成比例，即可解决问题． 【详解】解：作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O， 作EM⊥AC垂足为M，EM交BC于D，此时AD＋DM最小（垂线段最短）． ∵AB＝AC＝10，AE⊥BC， ∴BO＝OC＝8，AO＝＝＝6， ∴∠BAO＝∠EAM，∵∠AOB＝∠AME， ∴△AOB∽△AME， ∴， ∴， ∴EM＝， ∴AD＋DM最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称，垂线段最短找到点D、M的位置，属于中考常考题型． 4．如图所示，在中，，点D、E分别在边上，点F、G在边上．当四边形是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】求出几种特殊位置的菱形的边长即可解决问题． 【详解】解：如图1中，当四边形是正方形时，设正方形的边长为． 在中，，，， ， 则，， ， ， ． ∴当四边形是菱形时，， 如图2中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为． ， ， ， ， 解得． 以点D为圆心，为半径画弧，交于，连接，过点G作交于，则四边形为菱形， ∴当时，四边形是菱形有两种情况， ∵当四边形是菱形，且符合条件的菱形只有一个， ∴不符合题意； 如图3中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为． ， ， ， ， ， ∵当四边形是菱形，且符合条件的菱形只有一个， ∴， 综上所述，菱形的边长的取值范围为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题． 相似三角形的性质结合判定综合证明题型05 1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论： ①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB． 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①如图，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME， ②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断； ③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断； ④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断； ⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF=a，想办法求出BE，EC即可判断． 【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°． ∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴， ∴， ∵∠AMB=∠EMN， ∴△AMB∽△NME，故①正确， ∴∠AEN=∠ABD=45°， ∴∠NAE=∠AEN=45°， ∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确， 在△ABE和△ADF中， ∵， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF． ∵BC=CD，∴CE=CF， 假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x， 如图2，连接AC，交EF于H， ∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线， ∴AC⊥EF，OE=OF， Rt△CEF中，OCEFx， 在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°， ∴OE=BE． ∵AE=AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)， ∴AO=AB=1，∴ACAO+OC， ∴1x， ∴x=2， ∴，故③不正确， ④如图3， ∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 则AF=AH，∠DAF=∠BAH． ∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE． ∵∠ABE=∠ABH=90°， ∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH(SAS)， ∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确， 如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa， ∵DF∥AB，∴， ∴AN=NEAFa， ∴AEANa， ∴BEa， ∴ECaBC，故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题． 2．某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) 解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． (2) 成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    【答案】 （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴CA平分∠DCE； （2）证明：∵AB2＝BD•BC， ∴＝， 又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠ACB， ∴AE∥BD， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AB∥DE， ∵AE∥BD，AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据角平分线的定义证明结论； （2）根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分别证明AE∥BD，AB∥DE，根据平行四边形的判定定理证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（25-26九年级上·上海·月考）已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连结交于点F，如果，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2)证明：如图，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，推出可得结论； （2）证明，推出，证明四边形是矩形，推出，证明，推出可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，矩形及菱形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键． 5．已知：在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G. (1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证：； (2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论； (3)如图③，若BA＝BC＝9，DA＝DC＝12，∠BAD＝90°，DE⊥CF.求的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°， ∴∠ADE＋∠CDG=90°. ∵DE⊥CF， ∴∠CDG＋∠DCF=90°， ∴∠ADE=∠DCF. 又∵∠A=∠CGD=90°， ∴△ADE∽△GCD， ∴ 即 （2）)当∠B＝∠EGC或∠B＋∠EGC＝180°时，成立， 证明：当∠B＝∠EGC时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图①，∴四边形CMDG是平行四边形， ∴CG=DM，∠M=∠CGD，∠CDG＝∠DCM. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠A＋∠B=180°，∠FCB=∠CFD. ∵∠B=∠EGC，∴∠A＋∠EGC=180°. ∵∠EGC＋∠CGD=180°， ∴∠A=∠CGD， ∴∠A=∠CGD=∠M. ∵AB∥CD， ∴∠AED=∠CDG. ∵∠CDG=∠DCM， ∴∠AED=∠DCM， ∴△ADE∽△MDC， ∴ ∵CG=DM， ∴ 即 当∠B＋∠EGC=180°时，过点C作DE的平行线，过点D作CF的平行线，两线交于点M，如图②， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CFD=∠BCF. ∵∠B＋∠EGC=180°， ∴∠GEB＋∠BCF=180°， ∴∠BCF=∠AED， ∴∠CFD=∠AED. ∵∠ADE=∠GDF， ∴△FDG∽△EDA， ∴，即 ∵AB∥CD，∴∠AED=∠CDE， ∴∠CFD=∠CDE. ∵∠FCD=∠DCG， ∴△FCD∽△DCG， ∴ ∴ ∴ （3）. 【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余关系推得∠ADE=∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF； （2）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，由等腰三角形的性质得出∠CMF=∠CFM．由平行四边形的性质得出∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，证出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB，因此∠CMF=∠AED．证明△ADE∽△DCM，得出对应边成比例得 即可得出结论； （3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，建立方程求出CN，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】(1)略 (2)略 (3)如图③，过点C作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN=x， ∵∠BAD=90°， ∴∠A=∠M=∠CAN=90°， ∴四边形AMCN是矩形， ∴AM=CN，AN=CM. ∵在△BAD和△BCD中， ∴△BAD≌△BCD， ∴∠BCD=∠A=90°， ∴∠ABC＋∠ADC=180°. ∵∠ABC＋∠MBC=180°， ∴∠MBC=∠ADC. ∵∠CND=∠M=90°， ∴△BCM∽△DCN， ∴即，∴ 在Rt△CMB中，，BM=AM－AB=x－9， 由勾股定理，得BM2＋CM2=BC2， ∴ 解得x1=0(舍去)，   ∴ ∵∠A=∠FGE=90°， ∴∠AED＋∠AFG=180°. ∵∠AFG＋∠NFC=180°， ∴∠AED=∠NFC. ∵∠A=∠CNF=90°， ∴△AED∽△NFC， 【点睛】属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 相似三角形的性质与判定综合题型06 1．如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 【答案】120 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 2．如图，，与交于点E，且． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1)18 (2) 证明：，， ，且公共， ． 【分析】（1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，且公共，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 即的长为18． （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． 3．如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用特殊直角三角形的边长关系求角，是解本题的关键． 4．【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】 （1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）； （3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）略 （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 相似三角形与角平分线综合题型07 1．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在中，点在的角平分线上，，过点作线段，分别交边于点．如果，那么=______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而由得到，再由得到，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，，点B、C分别在、上，且． (1)尺规作图：作的角平分线，与相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，①求证：．②若，求的长． 【答案】(1) 下图即为所求： (2) ①证明：在中，，，   ∴；   ∵， ∴；   又∵平分， ∴；   ∴；   ∵，且，   ∴． ②的长为5 【分析】本题考查了尺规作图（角平分线的作法）、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过角平分线定义和三角形内角和求出相等角，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例计算线段长度． （1）以B为圆心画弧交、于两点，再分别以这两点为圆心画弧，两弧交于内部一点，过B与该点作射线交于D，保留作图痕迹；   （2）①先由三角形内角和求，再根据点B在上得，结合平分求，证明，加公共角可判定相似；②利用相似三角形对应边成比例求，再根据C、D在上得，计算得长． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵，   ∴；   ，， ， ， ∴． 相似三角形与坐标系综合求点坐标题型08 1．已知直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立． 【详解】解：如图，P有四种情况， ①∵， ∴， 设， ， ，（舍去）， ； ②∵， ∴， 设， ， ， ； ③∵， ∴， 设， ， ，（舍去）， ； ④∵， ∴， 设， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 2．小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________． 【答案】（3.76，0） 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵BC=1.1， ∴DE=3.76， ∴E（3.76，0）． 故答案为：（3.76，0）． 【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 与相似三角形有关的动点问题题型01 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A．4或5 B．4或7 C．4或5或7 D．4或7或9 【答案】D 【分析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm， ∴AB=2BC=8cm， ∵D为BC中点， ∴BD=2cm， ∵0≤t＜12， ∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点， 按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况， ①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=AB-AE=（8-t）cm， 当∠EDB=90°时，则有AC∥ED， ∵D为BC中点， ∴E为AB中点， 此时AE=4cm，可得t=4； 当∠DEB=90°时， ∵∠DEB=∠C，∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴，即， 解得t=7； ②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9； 综上可知t的值为4或7或9， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路． 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么______秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)几秒后与相似？ 【答案】(1)3 (2)1秒 (3)或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质应用，找到关键描述语“的面积等于”“的长度等于”，得出等量关系是解决问题的关键． （1）利用勾股定理列出方程求解即可； （2）经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过t秒后，的长度等于， 由题意得，则有， ∵， ∴， 即，， 解得：（舍去）或3． 则3秒后，的长度为； （2）解：设经过秒以后，面积为， 此时， 由，得，， 整理得：， 解得：或（舍）； 答：1秒后的面积等于； （3）解：设t秒时，与相似， 则有， 当时，， ， 解得，； 当时，， ， 解得，， 综上，或后与相似． 4．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． （1）为何值时，？ （2）设四边形的面积为，试求出与之间的关系式； （3）是否存在某一时刻，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）当为何值时，？ 【答案】（1）当t=时，DE⊥AC；（2） ；（3）当t=时，  ；(4)t=时，= 【分析】（1）若DE⊥AC，则∠EDA=90°，易证△ADE∽△ABC，进而列出关于t的比例式，即可求解； （2）由△CDF∽△CAB，得CF=，BF=8﹣，进而用割补法得到与之间的关系式，进而即可得到答案； （3）根据，列出关于t的方程，即可求解； （4）过点E作EM⊥AC于点M，易证△AEM∽△ACB，从而得EM=，AM=，进而得DM=，根据当DM=ME时，=，列出关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）∵∠B=，AB=6 cm，BC=8 cm，   ∴AC=10cm， 若DE⊥AC，则∠EDA=90°，           ∴∠EDA=∠B， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， ∴t=， 答：当t=时，DE⊥AC； （2）∵DF⊥BC，   ∴∠DFC=90°， ∴∠DFC =∠B， ∵∠C=∠C， ∴△CDF∽△CAB， ∴, 即，    ∴CF=， ∴BF=8﹣， ∴； （3）若存在某一时刻t，使得， 根据题意得：， 解得：， 答：当t=时，； （4）过点E作EM⊥AC于点M，则△AEM∽△ACB ∴=， ∴， ∴EM=，AM=， ∴DM=10-2t-=， 在Rt△DEM中，当DM=ME时，=， ∴，解得：t= 即：当t=时，=． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理综合，通过相似三角形的性质，用代数式表示相关线段，进而列出方程，是解题的关键． 相似三角形与函数图象综合建模题型02 1．如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长． 【详解】解：由图象可知： AE＝3，BE＝4，， ∴AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图 此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3 ∵ABCD是矩形, ∴AB // CD ∴   ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程． 2．如图，一动点从的点出发，在三角形的内部（含边上）沿直线运动次，第一次到点，第二次到点，第三次到点，设点运动路程为，，与的函数图象如图所示，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据图象列出数量关系式． 根据图象可知当时，，即点与点重合，从而求出则，当时，，当运动到时，路程增加，且，则可知为中点，与重合，作于点，连接并延长交于点，则有垂直平分，然后通过相似三角形的判定与性质得出为中点，设，则，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得：当时，，即点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当运动到时，路程增加，且， 则可知为中点，与重合， 作于点，连接并延长交于点，如图， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为中点， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴， 故选：． 3．已知矩形中，，点是对角线上一点，且．点是边中点，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为．若面积记为，面积记为，面积记为．当点运动到点的正上方时，两点运动停止．    (1)如图①，点在线段(包含端点)上运动时，与的函数图像如图②所示，则的长为___________cm； (2)如图③，点在线段上运动； ①若，求此时的值； ②若，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据两个图像的对比，可以找到当为时，点与会重合，即可求得． （2）分别做出直角三角形，利用相似求边长，再用表示出三角形的面积，即可求得． 【详解】（1）解：由图②可知， 当x的值为时，点运动到了点， ∴， 故 (cm) （2）解：①如图3，过点作于点 ∵， ∴， ∵， ∴ 在Rt中， ∴ 解得： ∵点在线段上运动， ∴， ∴此时的值为3秒． ②如图3，过点作，交于点， 交于点 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 同理， 可得， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ 解得： ∵， ∴此时的值为秒．    【点睛】本题考查了动点问题的函数图象问题，勾股定理，相似三角形的性质，掌握运用动点表示线段长度是解题的关键． 折叠与旋转中的相似关系探究题型03 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 2．如图，矩形纸片中，，分别是的中点，将矩形沿所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形相似，则用等式表示与的数量关系为________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质即可求出答案． 【详解】解：由于ABAD,，E,F分别是AB,DC的中点， ∴矩形AEFD≌矩形BEFC， ∵两个小矩形都和矩形ABCD相似， ∴矩形AEFD∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查相似多边形，解题的关键是正确理解相似多边形的性质. 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是________； （2）求点的坐标是_______． 【答案】 平行 【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) ， 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 代入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解． 4．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴ ∴， ∴． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，矩形的性质及翻折变换，先根据图形翻折变换的性质得出，故可得出，再由可得出，据此可得出结论． 【详解】略 5．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　． （2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论） 【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG； （2）证明：∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD=∠DAG， ∴∠BAE=∠DAG， ∵AD=2AB，AG=2AE， ∴， ∴△ABE∽△ADG， ∴∠ABE=∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE=90°， ∴∠AGB+∠ADG=90°， ∵∠AGB=∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG=90°， ∴∠DHB=90°， ∴BE⊥DG； （3） 【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出BE，进而得出BE=AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAE=∠DAG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE=DG； ②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H， 由①知，△ABE≌△ADG， ∴∠ABE=∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE=90°， ∴∠AGB+∠ADG=90°， ∵∠AGB=∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG=90°， ∴∠DHB=90°， ∴BE⊥DG （2）略 （3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形） ∵EG∥AB， ∴∠DME=∠DAB=90°， 在Rt△AEG中，AE=1， ∴AG=2AE=2， 根据勾股定理得，EG=， ∵AB=， ∴EG=AB， ∵EG∥AB， ∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF， ∴点B，E，F在同一条直线上如图5， ∴∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE==2， 由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴， ∴， ∴DG=4． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键． 利用相似三角形的性质探究规律题型04 1．如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn-1Dn＝n－1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝____________(用含n的式子表示)． 【答案】1- 【分析】由相似三角形的对应边成比例，依次求得D2E2，D3E3的长，整理规律即可. 【详解】解：∵D2E2∥BC， ∴△AD2E2∽△ABC， ∴, ∵D1E1=,D1D2=D1B， ∴AD2=AB， ∴D2E2==1-=1-， 同理可得，D3E3==1-， ∴DnEn=1-. 故答案为1-. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．发现规律是解题关键. 2．将个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点和点是正方形的顶点，连结，分别交正方形的边于点，四边形的面积为，四边形的面积是，…四边形的面积是，则__________. 【答案】 【分析】根据题意得出：△M1MN1∽△M1EA，进而求出MN1的长，进而得出S1，同理得出S2，进而得出Sn的值． 【详解】 解：由题意可得出：△M1MN1∽△M1EA， 则==， 故MN1=， 故四边形M1N1A1A2的面积为S1=1-×1×=1-=； 同理可得出：==， 故四边形M2N2A2A3的面积是S2=1-×1×=1-=， 则四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn=1-=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出四边形的面积变化规律是解题关键． 3．如图，已知是的中线，过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，连接交于点；过点作交于点，…，如此继续，可以依次得到点，，…，和点，，…，．则______．（用含n的代数式表示） 【答案】． 【分析】本题考查了三角形相似的性质和判定，熟练掌握平行相似的判定是本题的关键．先根据平行相似证明，列比例式得：，再根据中点的定义得：，所以，同理可得：． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得： … ． 故答案是：． 4．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 5．探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 【答案】(1)不正确 (2)，理由： 如图所示， ， ， ， ， ， 多出一块巧克力． 【分析】本题主要考查图形的变化，相似三角形的判定和性质的运用，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据图示可得，宽度不变，长度减少了，由此即可求解； （2）根据题意可证，则，，根据面积关系即可求解． 【详解】（1）解：海燕猜想不正确，宽度不变，长度减少了； （2）略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $