3.3 相似三角形判定定理的证明 周末自主练2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.3 相似三角形判定定理的证明 周末自主练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 5．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图为某建筑结构施工图，其中，，，，为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段分别交、、于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．如图，直线 ，已知，，，___________． 9．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当______时，． 10．如图，矩形中，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为__________．    11．如图，在中，点、、分别在边、、上，，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则______． 三、解答题 12．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM． (2)在图②中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）． 13．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC． （1）求证：； （2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长． 14．如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： (1)的值． (2)的值． 15．追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并利用类似方法完成题（2）． （1）如图1，在中，，，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿边向点A运动（当点D到达点A时，运动停止），此时直线，交于点E．记x秒时的长度是y，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 变式拓展 （2）如图2，在中，，，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动（当点D到达点A时，运动停止），直线，交于点E．记x秒时四边形的面积是S，求出S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 16．如图： (1)如图1，边长为的正方形对角线与相交于点，且正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．则图中阴影部分（四边形）的面积为______；（用含的代数式表示） (2)如图2，已知中，，，平分，点为的中点．正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．求图中阴影部分（即四边形）的面积； (3)如图3，与均为等腰直角三角形，，，．是斜边上的中线，点为的中点，交边于点，交边于点．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为，已知，当两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C D D C C 1．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键．若使线段，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定． 【详解】解：如图， 若使线段，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项D、B可判定； ＝，即＝，故选项C可判定； 而由不能判断，故A选项答案错误． 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到，，，，再利用平行线的性质证明得到，则，所以，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明得到，则可对C选项进行判断；由于，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断熟练利用平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：由作法得平分， ，所以A选项不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ，所以B选项不符合题意； ， ， ， ， ，所以C选项不符合题意； ， ， ，所以D选项符合题意． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 作交于点，交于点，由图可知，，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：作交于点，交于点， 由图可知，， ∵，，，，为一组平行线， ∴． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当 时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 8．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 9．【答案】2 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意，当，即：时，； 故答案为：2． 10．【答案】/ 【知识点】由平行判断成比例的线段、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，      ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵沿着翻折得到， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，点是的中点，，， ∴， ∴，即， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线，则， ∵，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判断和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 11．【答案】/4 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】连接，由已知推出的面积是的面积的4倍，得到的面积的面积，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形的面积恰好是面积的一半， 的面积是的面积的4倍， 的面积的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是连接得到的面积是的面积的4倍． 12．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】（1）利用网格特征寻找点M即可； （2）取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即AM＝3BM， 故图①中，点M即为所求； （2）解：∵， ∴， 即AP＝2BP， 故图②中，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握网格特征解决问题，属于中考常考题型． 13．【答案】 （1）证明：∵DF∥AC， ∴， ∵DE∥BC，       ∴，       ∴； （2）， 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出． （2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵，      ∴， ∵，且AE＝4，EC＝2，        ∴，        解得：， ∴，      ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到图形中的平行线． （1）由可得，代入数值计算即可； （2）由可得，计算出的值，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故； （2）∵， ∴， 即，解得， ∴． 15．【答案】(1)， (2)， 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，勾股定理的逆定理等知识点，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． (1)根据平行可得，利用表示出，代入可得到关于的函数关系式； (2)先证出为直角三角形，求出，然后用表示出，进而即可得解． 【详解】(1)解：由题意可知，则， ， ， 即， ， ， ； (2)，，， ， 为直角三角形， ， 由题意可知，则， ， ， 即， ， ， ， ， ． 16．【答案】(1)； (2)； (3)或 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据正方形的性质证明△AOH≌△BOR，即可得到S阴影=，由此得到答案； （2）方法一：过点作分别与，交于点，，连接，．得到，推出点，，分别为，，的中点，证得四边形为正方形．根据（1）求出阴影部分的面积． 方法二：过点作，分别与，交于点，．证明．由求出答案； （3）先求出OE=OF=3，根据面积差为2列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线与， ∴OA=OB，， ∵∵四边形OEFG是正方形， ∴， ∴， ∴, ∴△AOH≌△BOR， ∴S阴影==， 故答案为：； （2）解：方法一： 如图，过点作分别与，交于点，，连接，． ∴， 又∵，平分， ∴，． 由上可知，点，，分别为，，的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵，， ∴四边形为正方形． 由（1）可得：． 方法二：过点作，分别与，交于点，． ∴，又，∴ 又∵，平分， ∴，，． ， ∴，∴． 所以． （3）解：∵，，， ∴OE=OF=3， 设， 由（2）可知 当S△ABC-S△EOF=2时， ， 解得=13， ∴=； 当S△EOF- S△ABC = 2时， ， 解得=5， ∴=； 综上，阴影部分面积S的值为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的实际应用，正确理解正方形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $