2.4一元二次方程的应用（分层作业，15大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 2.4 一元二次方程的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由实际问题抽象出一元二次方程 题型02 传播问题 题型03 增长率问题 题型04 销售利润问题 题型05 边框与甬道问题 题型06 围墙类问题 题型07 图形问题（面积、体积） B组 能力进阶 题型01 数字问题 题型02 单循环与双循环问题 题型03 工程问题 题型04 行程问题 题型05 图表信息问题 题型06 方程与几何图形结合（动点） C组 思维拔高 题型01 应用一元二次方程 题型02 函数与一元二次方程综合 由实际问题抽象出一元二次方程题型01 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，设每行的座位数是x，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 根据题意，每行座位数比总行数少16，设每行座位数为x，则总行数为，总座位数为每行座位数与总行数的乘积，因此列方程即可． 【详解】解：设每行座位数为x，且每行座位数比总行数少16， ∴总行数为， ∵总座位数为1161，且总座位数每行座位数总行数， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级·月考）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 传播问题题型02 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，第二轮新增感染者数由第一轮后的感染者数乘以传染人数x得到，即，且等于210，因此直接列出方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人． 初始感染者数为1， 第一轮后感染者总数为， 第二轮新增感染者数为， ∵ 第二轮新增210人感染， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·天津·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)经过第三轮传染一共有512人感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 根据题意列式计算即可． 【详解】（1）每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）根据题意得：人， 答：经过第三轮传染一共有512人感染． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中一个人传染了x个人． (1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示） (2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由． 【答案】(1) (2)第二轮传染后不会有63人患病的情况发生 【分析】（1）根据每轮的传染中平均一个人传染了x个人，可得答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，进而即可判断是否会有63人患病的情况． 【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是， 故答案为：； （2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∵不为正整数， ∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程是关键． 增长率问题题型03 1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增长率公式求解即可； 【详解】根据题意可得方程为； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列式是解题的关键． 2．（24-25九年级下·江苏南京·月考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题-增长率问题，由第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，设月平均增长率为，得到第二个月和第三个月进馆人次，求和即可得到方程．掌握增长率问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，进馆人次的月平均增长率为， 第二个月进馆人次；第三个月进馆人次； 由到第三个月末累计进馆1456人次可得方程， 故答案为：． 3．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 【答案】(1)该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为 (2)该企业能实现原定目标 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为，根据年和年，该企业生产一台电冰箱的能耗，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出年生产一台电冰箱的能耗，再比较即可． 【详解】（1）设该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为， 根据题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率为； （2）根据题意可知，年生产一台电冰箱的能耗为， ， 该企业能实现原定目标． 4．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 【答案】(1)2023年该电动汽车的价格为万元 (2)2024年降价的百分数为 【分析】本题考查了列代数式以及利用一元二次方程解决价格变化问题，解题关键是依据降价后的价格与原价、降价百分数的关系列出方程并正确求解。 （1）根据降价后价格、原价和降价百分数的关系，用含的式子表示2023年价格。 （2）先根据2023年降价百分数表示出2024年降价百分数，再依据2022到 2024年价格变化列出方程，求解方程并根据实际情况舍去不合理的值，从而得到2024年降价百分数。 【详解】（1）解：由题意得，2023年该电动汽车的价格为万元； （2）年降价的百分数为， ∴2024年降价的百分数为 由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）． 即2024年降价的百分数为． 销售利润问题题型04 1．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 【详解】解：设每件服装降价x元，根据题意，得： （44-x）（20+5x）=1600， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 2．某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价______元． 【答案】60 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得，解方程即可． 【详解】根据题意，得， 整理得， 解方程，得， 要让顾客得到实惠， 价格取较低的， 故， 故答案为：60． 3．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为________元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，设设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，再列式，即可作答． 【详解】解：依题意，设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元， 每天的销售量为瓶， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∴当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 故答案为：80． 4．某租赁公司拥有汽车 100 辆．据统计，每辆车的月租金为 4000 元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加 100 元，未租出的车将增加 1 辆．租出的车每辆每月的维护费为 500 元，未租出的车每辆每月只需维护费 100 元． （1）当每辆车的月租金为 4600 元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣 除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过 7200 元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 40.4 万元？ 【答案】（1）38.48万元；（2）月租金定为5000元． 【分析】（1）由月租金比全部租出多4600-4000=600元，得出未租出6辆车，租出94辆车，进一步算得租赁公司的月收益即可； （2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元列出方程解答即可． 【详解】（1）因为月租金4600元，未租出6辆车，租出94辆车； 月收益：94×（4600﹣500）﹣6×100=384800（元），即38.48万元． （2）设上涨x个100元，由题意得（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x=404000. 整理得：x2﹣64x+540=0解得：x1=54，x2=10， 因为规定每辆车月租金不能超过7200元，所以取x=10，4000+10×100=5000． 答：月租金定为5000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的难点在于根据题意列出一元二次方程. 5．（25-26九年级上·河北·月考）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件30元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为300件，6月份的销售量为400件． (1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，依题意，可列方程_________； (2)从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设每件商品降价a元，（）． ①每件产品的利润为_________元，商场每月可以售出_________件（用含a的式子表示） ②若该商场这个月的利润为12180元，求a的值． 【答案】(1) (2)①,; ②的值为1或9． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用（增长率问题与销售利润问题），解题的关键是根据“月均增长率公式”和“利润每件利润销售量”的核心等量关系，分别建立方程，同时注意变量的实际意义（如降价金额需使利润为正、销售量为正）． （1）根据月均增长率模型，4月份销售量为300件，5月份销售量为件，6月份销售量为件，结合6月份实际销售量400件，列出方程； （2）①每件利润=原售价-成本-降价金额，原利润为元，降价元后每件利润为元；销售量=6月份销售量+因降价增加的销售量，每降1元增20件，故销售量为件； ②根据“利润每件利润销售量”列方程，整理方程后求解，验证解是否符合实际意义（每件利润为正）． 【详解】（1）解：4月份销售量为300件，月平均增长率为，则5月份销售量为 件，6月份销售量为件． 已知6月份销售量为400件，故列方程为． 故答案为：． （2）①解：每件原利润为元，降价元后，每件利润为元； 6月份销售量为400件，每降价1元销量增20件，故降价元后销售量为件． 故答案依次为：； ②解：根据“利润每件利润销售量”，得 展开并整理方程：，， 两边同时除以得 因式分解得， 解得， 验证：当时，；当时，，均符合实际意义． 答：的值为1或9． 边框与甬道问题题型05 1．如图是张阿姨做好的一幅“旭日东升”矩形刺绣，长为，宽为，要在这幅刺绣的四周镶一条相同宽度的银白色边框，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设银白色边框的宽为，则可列方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长2个纸边的宽度）（风景画的宽2个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设银白色边框的宽为，则： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键． 2．如图，为美化校园环境，学校打算在长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为的通道．若花圃的面积恰好等于，则通道的宽___________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，核心是利用几何关系建立方程，再通过代数方法求解并验证，体现了“数形结合”的数学思想．通过长方形空地的长和宽，结合通道宽度，推导花圃的长和宽，再根据花圃面积，列出方程，将方程展开并化为标准形式，通过因式分解或求根公式求解，最后根据实际意义，舍去不合理的解即可． 【详解】解：∵花圃四周余下的空地修建成宽为的通道， ∴花圃的长为，宽为， 由题意知，， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．为迎接杭州亚运会，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），其余部分铺设草坪，草坪的总面积为560平方米，根据题意列出的方程为_______．    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，把阴影部分集中处理，得到一个长为米，宽为米的矩形，根据矩形面积计算即可． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）在宽为100m，长为160m的矩形地面上，修筑同样宽的几条道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为13500m2，请你选择一种方案，并求出相应的道路的宽． 【答案】方案一：道路的宽为10米；方案二：道路的宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（矩形面积问题），解题的关键是通过“平移法”将耕地面积转化为规则矩形的面积． 选择方案一，将道路平移后，耕地可看作长为m、宽为m的矩形，根据耕地面积列方程，求解并检验得道路宽． 【详解】解：选方案一 设道路的宽为米， 根据题意得：， 解得：，或（不合题意，舍去）， 答：道路的宽为10米 选方案二 设道路的宽为米， 根据题意得：， 解得：，或（不合题意，舍去）． 答：道路的宽为米． 5．（24-25九年级上·广东梅州·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 【答案】(1)道路的宽为米； (2)每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 【分析】（）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程，解答并检验即可； （）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据“月租金每个车位的月租金车位数”，列出方程并解答即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让利居民， ∴， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 围墙类问题题型06 1．（25-26七年级上·天津·期末）要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（长方形面积与周长），熟练掌握长方形的周长和面积公式，并用未知数表示出另一边的长度是解题的关键.先根据篱笆总长得出长方形的周长，进而求出长与宽的和，再结合面积公式列出方程. 【详解】解：由题意可得 ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间留两个1米的小门．若矩形围栏面积为210平方米，则栅栏BC的长是__________米． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 若设米，则米．根据矩形围栏的面积为210平方米，即可得出关于的一元二次方程，解出即可． 【详解】解：设米，由栅栏的全长49米可得： ， 米， 又矩形围栏面积为210平方米，即， 列出方程得：． 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴栅栏的长为10米． 故答案为：10． 4．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）国庆节期间，西安某广场打造一个“陕西特色食品展”．如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便游客出入．若围成展示区的面积为，求的长． 【答案】的长为米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题的关键．设，则由题意得，根据矩形面积得到，解方程并检验即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 解得：或 当时，，故不符合题意； 当时，，符合题意， 答：的长为米． 5．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．    (1)要围成生态园的面积为，请求出的长． (2)围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】(1)的长为米． (2) 解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键； （1）设米，则米，再根据面积建立方程即可； （2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案． 【详解】（1）解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． （2）略 图形问题（面积、体积）题型07 1．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知P是线段上一点，，且满足，则是 ____________________ 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 设的长度为x厘米，则的长度为厘米，根据条件列出方程求到x的值，再求即可． 【详解】解：设厘米，则厘米． 由条件，得． 方程两边同时乘以，得． 整理得． ， 所以． 由于x为长度，取正根，即． 所以厘米． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·北京·期末）有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 4．（2025·广东珠海·三模）如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 【答案】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为36， 正方形边长为6， 直角三角形①中的长直角边为6， ，整理得， 解得：（负值已舍去） ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为：，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（取）． 【答案】(1) (2) 不能裁出圆形面积，理由如下： 设半径为，则， ， ∴直径， ∵绣布最短边， ∴无法裁出． 【分析】本题考查了算术平方根，实际问题与一元二次方程、估算无理数的大小的应用，关键是正确理解和计算； （1）根据长宽比设未知数，利用面积求解； （2）利用面积求圆的半径可得直径，并将直径与短边做比较即可判断. 【详解】（1）解：设宽为，长为，可列方程： ，， ∴， 即：宽，长， 周长． （2）略 数字问题题型01 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；根据相邻奇数相差2，设较小奇数为，则较大奇数为，根据积为143列方程． 【详解】解：∵较小奇数为x，且相邻奇数差为2， ∴较大奇数为， ∴方程为， 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 3．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为______________． 【答案】 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 4．【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 5．如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值？ (2)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明一人的说法是否正确．若正确，则数a表示是10月几日？ 【答案】(1)552 (2)两人的说法都正确；10月8日，10月6日 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （2）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察日历表，可知：a的最大值为23， ∴的最大值为， 故答案为：552； （2）解：两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得： （不符合题意，舍去）， ∵10月8日为周三，符合题意． ∴子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得： （不符合题意，舍去）， ∵10月6日为周一，符合题意， ∴瑾萱的说法正确． 单循环与双循环问题题型02 1．（2026·重庆·月考）高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该条高铁线上的城市总数为，根据车票印制规则列出一元二次方程，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设该条高铁线上的城市总数为（为正整数）.， 每两个城市之间需印制种不同的往返火车票，总共有种不同火车票， 根据题意可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 城市个数为正整数，需舍去负根， ，即该条高铁线上的城市总数为． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有___________名学生． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 3．一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共_________人． 【答案】9 【分析】设这次参加座谈会的有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手x（x-1）次，又知共握手36次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解． 【详解】解：设这次参加座谈会的有x人，则每人应握（x-1）次手， 由题意得：， 即：x2-x-72=0， 解得：x1=9，x2=-8（不符合题意舍去） 所以，这次参加座谈会的有9人． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解． 4．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用的围栏围成总面积为的3个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长．（设的长度为） (2)一个微信群里共有x个人，每个人都分别给群里其他人发送一条消息，这样共有756条消息，求这个微信群里的人数x． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义及一般形式，根据等量关系列方程是解决此题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，然后根据矩形的面积公式列出方程，并将其化成一般形式即可； （2）每两个群里的人之间要互发一次消息，设这个微信群里的人数为，每人发条消息，则发消息共有条，由此列出方程，并将其化成一般形式即可． 【详解】（1）解：设的长度为， 由题意得：， 化简，得：． （2）解：设这个微信群里的人数， 由题意得：， 化简，得：． 5．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 工程问题题型03 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，甲组实际工作天数为天，乙组实际工作天数为天，甲提高效率后的天数为天，乙在甲组提高效率后，继续工作的天数为：天，甲组提高效率后的日产量为盒，根据总任务量等于前2天完成量加上甲组提高效率后完成量和乙组后续完成量，建立方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 4．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 5．阅读下面材料： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400 【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【分析】（1）根据题意，由公式来计算等差数列的和，即可得到答案； （2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得 ，，， ∵， ∴； （2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得 1200x+×400＝25200， 整理得：（x﹣9）（x+14）＝0， ∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）． ∴2009+9-1=2017； 答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题． 行程问题题型04 1．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 2．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·新疆·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 4．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 5．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可； （2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可． 【详解】(1)当时， （）， 答：甲运动4后的路程是14； （2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆． 图表信息问题题型05 1．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 2．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【答案】参加旅游的人数40人. 【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可. 【详解】设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程. 3．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 4．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确， 假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为30元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示： 东江鱼销售单价（元/千克） … 35 40 45 50 55 … 每天销售数量（千克） … 90 80 70 60 50 … (1)根据表中信息可知：销售数量与销售单价什么函数关系，请你求出这个函数关系式（不要求写出销售单价的取值范围）； (2)现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为多少？ 【答案】(1)销售数量y是销售单价x成一次函数关系，函数关系式为． (2)销售单价应定为50元． 【分析】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用，涉及的知识点有一次函数的解析式求解（待定系数法）、一元二次方程的求解．运用了函数与方程思想（用一次函数表示销售量与单价的关系，用方程表示利润关系）、待定系数法．解题关键是准确建立函数、方程模型． （1）因为销售单价每增加元，销售数量减小千克，可得销售数量y与销售单价x成一次函数关系，所以设，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，从而得到函数关系式． （2）先根据每天销售利润达到1200元，结合利润公式列出一元二次方程，结合让顾客感觉到实惠，再确定销售单价． 【详解】（1）解：∵销售单价每增加元，销售数量减小千克， ∴销售数量y是销售单价x的一次函数， 设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）． 当时，；当时，，代入函数关系式可得： ， 解得． 所以，y与x的函数关系式为． （2）解：设销售单价应定为x元/千克． 根据利润公式，， 整理得：， 解得：或． ∵让顾客感觉到实惠， ∴， 所以专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为每千克元． 方程与几何图形结合（动点）题型06 1．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则，如图所示 当运动时间为秒时，，，， 依题意得：， 即， 解得：，． ∴当时，t的值为秒或秒， 故选D．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】在中，利用勾股定理可求出的长，设顶端上移x米，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：在中，， ∴． 设顶端上移米， 如图， ∴ 依题意得： 故答案为：或． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为______秒时，的面积为．    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：依题意， 的面积为． 解得 故答案为：． 4．（25-26九年级上·甘肃 张掖·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3秒 (2) 解：不存在，理由如下： 设秒后的面积是16， ． ， 整理得， ∴该方程无解， 不存在时间使得的面积是16． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，根据勾股定理可得，然后再代入相应数据可得方程，再解即可； （2）设秒后的面积是，利用矩形面积的面积周围三个三角形面积和列方程即可． 【详解】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当时， ， 解得：，（舍去）； 答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）略 5．如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程： （1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？ （2）经过多少时间后，的面积为15cm2？ （3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？    【答案】（1）经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm；（2）经过或2秒后，的面积为15cm2；（3）=；当时，最大，最大面积为 【分析】（1）连接PQ，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，然后设x秒后，P、Q两点的距离为5cm，根据勾股定理列出方程即可求出结论； （2）设y秒后，的面积为15cm2，根据三角形的面积公式列出方程即可求出结论； （3）利用三角形的面积公式即可用含t的代数式表示△PCQ的面积，然后配方，根据平方的非负性即可求出的取值范围，从而求出其最值． 【详解】解：（1）连接PQ，    ∵在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm， ∴BC2＋AC2=625=AB2 ∴△ABC为直角三角形，∠C=90° 设x秒后，P、Q两点的距离为5cm 根据题意可得BP=2x,CQ=5x ∴CP=BC－BP=7－2x 根据勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2 即（7－2x）2＋（5x）2=（5）2 解得：（不符合实际，舍去） 答：经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm． （2）设y秒后，的面积为15cm2 根据题意可得BP=2y,CQ=5y ∴CP=BC－BP=7－2y ∴ 解得： 答：经过或2秒后，的面积为15cm2． （3）根据题意可得BP=2t,CQ=5t ∴CP=BC－BP=7－2t ∴= = = = = = ∵ ∴ ∴（当且仅当取等号），即 ∴当时，最大，最大面积为． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决此题的关键． 应用一元二次方程题型01 1．（24-25九年级上·山西吕梁·月考）如图，小球悬浮于液体中，若，小球质量为，则的值为（    ） A．1 B．4 C．或1 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是能正确列出方程，先根据题意列出方程，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故选：C 2．有这样一首民间数学诗：三百六十一只缸，任君分作几船装。不许一船多一只，不容一船少一缸。译文为361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？答：每船所装的缸数为___________。 【答案】19 【分析】根据题意，可知每船装的缸数和船的数量相等，且它们的乘积为361，进而求解. 【详解】解：设船儿总数是，则每船装只缸. 由题意得：， 解得（不合题意，舍去），. 故每船所装的缸数为19. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解“每船装的缸数和船的数量相等”是解题的关键. 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是______毫升． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是81升，列出一个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每次倒出液体为x毫升， 则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ， 由题意可得： ， 整理可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴每次倒出的液体是10升． 故答案为：10． 4．阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 【答案】(1)25 (2) 不能，理由为： 由得， ， ， 为正整数，是无理数， 不存在值，使前行的点数和是900． 即在第一问的三角点阵图形中，前行的点数不能是900； (3)能， 【分析】（1）直接由所给公式列一元二次方程求解即可； （2）由所给公式列方程整理后求解，根据为正整数判断即可； （3）根据题意列方程，提公因数3后利用所给公式和一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得，（负值舍去）， 的值为25； （2）略 （3）解：能，，理由为： 由得， 则， ， 解得，（负值舍去）， 当时，前行的点数和是900． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题中公式，正确列出方程并会解一元二次方程是解答的关键． 5．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 函数与一元二次方程综合题型02 1．如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合） 过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．    （1）点A的坐标为 ，线段AB= ； （2）若矩形OCPD的面积为1，求点P的坐标； （3）是否存在一点P，使矩形OCPD的面积为？说明你的理由． 【答案】（1）（，0），；（2） P（1，1）或 P（，2）；（3）不存在 【分析】（1）根据一次函数解析式，令即可求得点的坐标；令即可求得点的坐标，进而根据勾股定理求得的长； （2）设的坐标为，根据矩形的面积公式列出方程，解方程即可求得的坐标 （3）根据（2）的方法列出方程，进而求解即可． 【详解】解：（1）一次函数的图象交x轴于点A，，交y轴于点B， 令，即 解得 令，即 （2）点P在线段AB上（不与点A，B重合） 设的坐标为， 整理得 解得 当时，，即 当时，,即 或 （3）不存在，理由如下， 依题意，设的坐标为， 整理得 即原方程无实数根，则不存在点P，使矩形OCPD的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标周交点问题，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80 单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26 (1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植株（），单位面积试验田单株的平均产量为粒，求关于的函数关系式． (2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 【答案】(1) (2)单位面积大豆应种植60株 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，一元二次方程的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． （1）设单株的平均产量为，由表格可知随的增大而减小，且每增加10，减小5，因此是的一次函数．设与的关系式为，在表格中取两组值代入，求出的值，即可得到单位面积试验田单株的平均产量； （2）根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程求出的值，再根据题意选取合适的值即可． 【详解】（1）解：设单株的平均产量为， 由表格可知随的增大而减小，且每增加10，减小5，因此是的一次函数． 设与的关系式为， 将代入得：， ∴， ∴与的关系式为：； （2）根据题意可列方程：． 整理得， ∴． ∵种植60株比种植72株的田间管理少一些，故应舍去， ∴． 答：单位面积大豆应种植60株． 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；②存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）首先确定点，坐标，设，则，利用面积公式解得的值，即可确定点坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式； （2）①根据题意，可知，由轴可知，然后由求解即可；②首先确定，结合轴可得，将其代入直线并求解，可得点坐标，进一步可得，结合计算的值，即可获得答案； （3）①设，设直线的表达式为，将点，代入并计算，即可确定直线的表达式，进一步确定点坐标，结合求得的值，即可获得答案；②结合①确定直线的表达式，设，，设该平行四边形的对角线交点为，然后分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、以为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，可得，即， 当时，可得，解得，即， ∴， 设，则， ∵面积为7， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵点E的横坐标为t，且点E在线段上， ∴， ∵轴， ∴， 由（1）可知直线的解析式为， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵轴，， ∴， 将其代入直线，可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； （3）解：①设，设直线的表达式为， 将点，点代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； ②由①可知，直线的表达式为， 设，， 设该平行四边形的对角线交点为， 分情况讨论： 情况1，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∵，， ∴，解得， ∴； 情况2，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴； 情况3，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.4 一元二次方程的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由实际问题抽象出一元二次方程 题型02 传播问题 题型03 增长率问题 题型04 销售利润问题 题型05 边框与甬道问题 题型06 围墙类问题 题型07 图形问题（面积、体积） B组 能力进阶 题型01 数字问题 题型02 单循环与双循环问题 题型03 工程问题 题型04 行程问题 题型05 图表信息问题 题型06 方程与几何图形结合（动点） C组 思维拔高 题型01 应用一元二次方程 题型02 函数与一元二次方程综合 由实际问题抽象出一元二次方程题型01 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，设每行的座位数是x，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·月考）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 传播问题题型02 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中一个人传染了x个人． (1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示） (2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由． 增长率问题题型03 1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏南京·月考）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______． 3．（2025·安徽合肥·二模）某电冰箱生产企业原生产一台电冰箱的能耗为，为了响应“十四五计划”国家关于生产总值能源消耗降低的目标，该企业自年开始进行技术改革，计划到年实现生产一台电冰箱的能耗不超过的目标． (1)实际到年，该企业生产一台电冰箱的能耗降低到，求该企业从年到年生产一台电冰箱能耗的年平均降低率； (2)年是“十四五计划”的收官之年，按照（1）中的年平均降低率，该企业能否实现原定目标？ 4．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 销售利润问题题型04 1．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价______元． 3．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为________元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 4．某租赁公司拥有汽车 100 辆．据统计，每辆车的月租金为 4000 元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加 100 元，未租出的车将增加 1 辆．租出的车每辆每月的维护费为 500 元，未租出的车每辆每月只需维护费 100 元． （1）当每辆车的月租金为 4600 元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣 除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过 7200 元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 40.4 万元？ 5．（25-26九年级上·河北·月考）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件30元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为300件，6月份的销售量为400件． (1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，依题意，可列方程_________； (2)从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设每件商品降价a元，（）． ①每件产品的利润为_________元，商场每月可以售出_________件（用含a的式子表示） ②若该商场这个月的利润为12180元，求a的值． 边框与甬道问题题型05 1．如图是张阿姨做好的一幅“旭日东升”矩形刺绣，长为，宽为，要在这幅刺绣的四周镶一条相同宽度的银白色边框，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设银白色边框的宽为，则可列方程（    ）    A． B． C． D． 2．如图，为美化校园环境，学校打算在长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为的通道．若花圃的面积恰好等于，则通道的宽___________． 3．为迎接杭州亚运会，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），其余部分铺设草坪，草坪的总面积为560平方米，根据题意列出的方程为_______．    4．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）在宽为100m，长为160m的矩形地面上，修筑同样宽的几条道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为13500m2，请你选择一种方案，并求出相应的道路的宽． 5．（24-25九年级上·广东梅州·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 围墙类问题题型06 1．（25-26七年级上·天津·期末）要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是_______． 3．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间留两个1米的小门．若矩形围栏面积为210平方米，则栅栏BC的长是__________米． 4．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）国庆节期间，西安某广场打造一个“陕西特色食品展”．如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便游客出入．若围成展示区的面积为，求的长． 5．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．    (1)要围成生态园的面积为，请求出的长． (2)围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 图形问题（面积、体积）题型07 1．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知P是线段上一点，，且满足，则是 ____________________ 厘米． 3．（24-25八年级下·北京·期末）有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为_____． 4．（2025·广东珠海·三模）如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为：，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（取）． 数字问题题型01 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 3．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为______________． 4．【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 5．如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值？ (2)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明一人的说法是否正确．若正确，则数a表示是10月几日？ 单循环与双循环问题题型02 1．（2026·重庆·月考）高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有___________名学生． 3．一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人数是共_________人． 4．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用的围栏围成总面积为的3个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长．（设的长度为） (2)一个微信群里共有x个人，每个人都分别给群里其他人发送一条消息，这样共有756条消息，求这个微信群里的人数x． 5．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 工程问题题型03 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 2．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 4．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 5．阅读下面材料： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，） 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120． 用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木． 2009年 2010年 2011年 2012年 植树后坡荒地的实际面积（公顷） 25 200 24 000 22 400 20400 行程问题题型04 1．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 2．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 3．（25-26九年级上·新疆·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 4．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 5．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 图表信息问题题型05 1．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 2．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 3．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 4．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）湖南郴州东江鱼以其鲜嫩、甜美的口感和独特的制作工艺而闻名于世，且它承载了当地深厚的地方文化和历史内涵．某学习小组为了研究东江鱼的最优销售单价，特到某农副特产专卖店了解到湖南郴州东江鱼成本为30元/千克，并且发现该店在营业期间，通过不断调整销售单价，对东江鱼的销售量统计如下表所示： 东江鱼销售单价（元/千克） … 35 40 45 50 55 … 每天销售数量（千克） … 90 80 70 60 50 … (1)根据表中信息可知：销售数量与销售单价什么函数关系，请你求出这个函数关系式（不要求写出销售单价的取值范围）； (2)现专卖店为了扩大销售，让顾客感觉到实惠，并且还需要保证每天销售利润达到1200元，则销售单价应定为多少？ 方程与几何图形结合（动点）题型06 1．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为__________． 3．如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为______秒时，的面积为．    4．（25-26九年级上·甘肃 张掖·月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 5．如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程： （1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？ （2）经过多少时间后，的面积为15cm2？ （3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？    应用一元二次方程题型01 1．（24-25九年级上·山西吕梁·月考）如图，小球悬浮于液体中，若，小球质量为，则的值为（    ） A．1 B．4 C．或1 D．或4 2．有这样一首民间数学诗：三百六十一只缸，任君分作几船装。不许一船多一只，不容一船少一缸。译文为361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？答：每船所装的缸数为___________。 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是______毫升． 4．阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，，…的前项和： 由    可知． 应用以上材料解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，．若该三角点阵前行的点数和为325，求的值． (2)在第一问的三角点阵图形中，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，，…，前行的点数和能是900吗？如果能，求出；如果不能，说明理由． 5．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 函数与一元二次方程综合题型02 1．如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合） 过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．    （1）点A的坐标为 ，线段AB= ； （2）若矩形OCPD的面积为1，求点P的坐标； （3）是否存在一点P，使矩形OCPD的面积为？说明你的理由． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以“探究大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习．在六块不同的试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计，并记录如下： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数/株 30 40 50 60 70 80 单位面积试验田单株的平均产量/粒 51 46 41 36 31 26 (1)根据记录表中的数据分析单位面积试验田的单株平均产量与种植株数的变化规律，若设单位面积试验田种植株（），单位面积试验田单株的平均产量为粒，求关于的函数关系式． (2)如果要想获得单位面积大豆的总产量达到2160粒，又相对减少田间管理，那么单位面积大豆应种植多少株？ 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $