2.4一元二次方程的应用 同步训练 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 同步训练 第1课时 用一元二次方程解决实际应用问题（一） A 知识要点分类练 夯实基础 知识点 用一元二次方程解决几何图形问题 1. 某中学准备建一个面积为375 m²的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为 （ ） A. x(x-10)=375 B. x(x+10)=375 C. 2x(2x-10)=375 D. 2x(2x+10)=375 2. 《九章算术》"勾股"章有一题："今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问：甲乙行各几何？"大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇，乙走了3x步，则可列方程为 （ ） A. 10²+(3x)²=(7x-10)² B. 10²+(7x)²=(3x-10)² C. 10²+(3x)²=(7x)² D. 10²+(7x)²=(3x)² 3. 如图2-4-1，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5 m）的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为 （ ） A. 5 m或6 m B. 2.5 m或3 m C. 5 m D. 3 m 4. 如图2-4-2，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请求出小路的宽度． 5. 如图2-4-3，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时点B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙竖直下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ （1）请你将小明的解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即BB₁=x，则B₁C=x+0.7，A₁C=AC-AA₁=-0.4=2，而A₁B₁=2.5，在Rt△A₁B₁C中，由B₁C²+A₁C²=A₁B₁²，得方程__________，解方程得x₁=________，x₂=________（舍去），∴点B将向外移动________米． （2）梯子的顶端从A处沿墙AC竖直下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ B 规律方法综合练 训练思维 6. 如图2-4-4，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1 ，点Q的速度为2 ，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．若使△PBQ的面积为15 cm²，则点P移动的时间是 （ ） A. 2 s B. 3 s C. 4 s D. 5 s 7. 如图2-4-5，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C=90°，AD∥BC，新建墙BC-CD总长为15米，则当CD=________米时，梯形围栏的面积为36平方米． 8. 如图2-4-6，把长40 cm、宽30 cm的长方形纸板剪掉2个相同的小正方形和2个相同的小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的长方体盒子的表面积是950 cm²，求剪掉的小正方形的边长（纸板的厚度忽略不计）． C 拓广探究创新练 提升素养 9. 如图2-4-7，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB边向点B运动，且速度为1 ，点Q从点B开始沿BC，CA方向运动，且速度为2 ．点P，Q同时出发，设出发的时间为t s． （1）出发2 s后，求PQ的长； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒，△PQB为等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ为等腰三角形的运动时间． 第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题（二） A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 利用一元二次方程解决销售问题 1. 某种服装，每天销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利900元，那么每件应降价多少元？ 解：设每件应降价x元，则每件盈利________元，每天可多售出________件，每天一共售出________件，所以每天可获得利润________________元．（以上均用含x的代数式表示） 根据题意列方程，得____________________，解得____________________，符合题意的解为________．故每件应降价________元． 2. 某食品厂生产一种饮料，平均每天售出100箱，每箱盈利12元．为了减少库存，食品厂决定降价销售，若每箱每降价1元，则每天可多销售20箱，若要保证每天盈利1400元，设每箱降价x元，则根据题意可列方程为 （ ） A. (12-x)(100+20x)=1400 B. (12+x)(100+20x)=1400 C. (12-x)(100-20x)=1400 D. (12+x)(100-20x)=1400 3. 某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽可能让顾客得到实惠，则每瓶该饮料售价应定为________元． 4. 某专卖店在销售中发现一款每件进价为90元的服装，当销售价为每件130元时，每天可售出20件，专卖店为尽快减少库存，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）每件服装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 知识点2 利用一元二次方程解决变化率问题 5. 某市大力推进新能源汽车充电桩建设，截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为 （ ） A. 10(1+2x)=16.9 B. 10(1+x)²=16.9 C. 10(1+x²)=16.9 D. 10(1+x)=16.9 6. 近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是________． 7. 元旦期间，某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同，已知该商品原来每件售价为750元，降价两次后每件售价为480元，那么每次降价的百分率是________． 8. 列方程解应用题．某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场每月投入资金的增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ B 规律方法综合练 训练思维 9. 某公司今年4月的营业额为1800万元，按计划第二季度的总营业额要达到6400万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是 （ ） A. 1800(1+x)²=6400 B. 1800(1+x%)²=6400 C. 1800(1+x)+1800(1+x)²=6400 D. 1800+1800(1+x)+1800(1+x)²=6400 10. 某电商销售一款夏季时装，进价为40元/件，售价为110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元．为尽快回笼资金，减少库存，该电商计划开展降价促销活动．通过市场调研发现，该时装售价每件每降低1元，每天的销量就增加4件．若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元，则适合的售价应定为每件 （ ） A. 70元 B. 80元 C. 70元或90元 D. 90元 11. 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． C 拓广探究创新练 提升素养 12. "我运动，我健康，我快乐！"随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，每套售价可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 参考答案 第1课时 用一元二次方程解决实际应用问题（一） 1. A 2. A 3. C 4. m 5. （1）(x+0.7)²+2²=2.5²；0.8；-2.2；0.8；（2）有可能相等，理由略 6. B 7. 4或6 8. 5 cm 9. （1）2 cm；（2） s；（3）6.6 s或6 s或5.5 s 第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题（二） 1. (32-x)；5x；(20+5x)；(32-x)(20+5x)；(32-x)(20+5x)=900；x₁=2，x₂=26；x=2；2 2. A 3. 11 4. （1）20元；（2）不可能，理由略 5. B 6. 20% 7. 20% 8. （1）10%；（2）26.62万元 9. D 10. A 11. （1）20%；（2）40件 12. （1）25%；（2）200套 学科网（北京）股份有限公司 $