2.2 一元二次方程的解法（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 同步练聚焦一元二次方程解法，分层设计从基础到中考，梯度合理，通过题型进阶培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|直接开平方法等7类基本解法|基础题型强化运算能力，适配新授课巩固| |B组能力进阶|解法综合与参数应用|几何情境题（如三角形边长）培养推理意识| |C组思维拔高|新定义与跨知识整合|探究题（同族方程）发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题|中考题型衔接阶段测评需求|

分层作业 2.2 一元二次方程的解法 目 录 A组 巩固过关 题型01 解一元二次方程——直接开平方法 题型02 解一元二次方程——配方法 题型03 解一元二次方程——公式法 题型04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型05 根据一元二次方程根的情况求参数 题型06 解一元二次方程——因式分解法 题型07 解一元二次方程——换元法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 解一元二次方程——直接开平方法题型01 1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）一元二次方程的解是______． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 解一元二次方程——配方法题型02 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 解一元二次方程——公式法题型03 8．（25-26九年级上·全国·随堂练习）下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 _________ （用a，b，c表示） 10．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）求方程的正数根． 根据判别式判断一元二次方程根的情况题型04 12．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 13．（25-26·八下·四川内江·期末）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 14．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 根据一元二次方程根的情况求参数题型05 16．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 18．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 19．（2026·甘肃天水·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 解一元二次方程——因式分解法题型06 20．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 21．（25-26八年级上·上海·阶段检测）方程的根是________． 22．（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 23．（25-26八年级上·上海·阶段检测）方程的根是__________． 24．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）解方程：． 25．（25-26八年级上·齐齐哈尔·阶段检测）解方程：． 解一元二次方程——换元法题型07 26．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 27．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知方程的解是，，则方程的解是__________． 28．（2026·福建南平·模拟预测）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 29．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 32．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，            第一步 ，             第二步 ，              第三步 或，              第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 33．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 34．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 35．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 36．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，；②，；③，． 37．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)（用配方法解方程）． 38．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 39．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 40．（2026·江苏南通·模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 41．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 42．（25-26九年级下·江西·期末）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 43．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 44．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 45．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 46．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 47．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 48．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 一元二次方程的解法 目 录 A组 巩固过关 题型01 解一元二次方程——直接开平方法 题型02 解一元二次方程——配方法 题型03 解一元二次方程——公式法 题型04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型05 根据一元二次方程根的情况求参数 题型06 解一元二次方程——因式分解法 题型07 解一元二次方程——换元法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 解一元二次方程——直接开平方法题型01 1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【解析】解方程，解得，，，，A、，A选项错误；B、a与b不是互为相反数，B选项错误；C、，是17的算术平方根，C选项正确；D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）一元二次方程的解是______． 【答案】4或/或4 【解析】，开方得：． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】原方程移项得，开平方得，因为方程的根为整数， 因此为整数，即为完全平方数，取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 解一元二次方程——配方法题型02 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴移项得：，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得：，整理得：． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原方程为，移项得，一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得，，整理得． 6．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【解析】∵一元二次方程，，且，∴，方程有两个相等的实数根．对原方程配方：移项得，两边同除以得，配方得，∵，∴，∴． 解一元二次方程——公式法题型03 8．（25-26九年级上·全国·随堂练习）下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、最适合用直接开平方法，故不符合题意； B、最适合用直接开平方法，故不符合题意； C、最适合用公式法，故符合题意； D、最适合用直接开平方法，故不符合题意. 9．（25-26九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 _________ （用a，b，c表示） 【答案】 【解析】∵一元二次方程有实数根，∴，∴． 10．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 【答案】 【解析】方程化为一般式为，所以c的值为． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）求方程的正数根． 【解析】解：对于方程，可得，，． ∴． ∴． 因为，， 所以方程的正数根为． 根据判别式判断一元二次方程根的情况题型04 12．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】解：一元二次方程中，，，， ∵，∴方程有两个不相等的实数根． 13．（25-26·八下·四川内江·期末）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴， ∴，∴原方程有两个不相等的实数根． 14．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项：方程，，无实数根；B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 15．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【解析】对于一元二次方程，其中，，，,∵ ，∴ ，∴ ，因此方程无实数根. 根据一元二次方程根的情况求参数题型05 16．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对原方程移项整理得∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于∴解得． 17．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，整理得，解得． 18．（2026·河南平顶山·三模）定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】∵，∴化为一般式为．∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得． 19．（2026·甘肃天水·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 【答案】2 【解析】解：该方程是一元二次方程，因此，因为方程有实数根，所以，解得，因此只要取且的任意值都符合条件，比如． 解一元二次方程——因式分解法题型06 20．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，∴，∴或，解得，． 21．（25-26八年级上·上海·阶段检测）方程的根是________． 【答案】， 【解析】移项得，提取公因式得，则或解得，． 22．（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】或 【解析】由题意得，方程两边同乘最简公分母，得：，整理得：，因式分解得：，解得，，经检验，当和时，且，均为原方程的解． 23．（25-26八年级上·上海·阶段检测）方程的根是__________． 【答案】， 【解析】∵，∴或，解得，． 24．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）解方程：． 【解析】解：． ， 或， 解得：，． 25．（25-26八年级上·齐齐哈尔·阶段检测）解方程：． 【解析】解：， ， ， ， 或， ，． 解一元二次方程——换元法题型07 26．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【解析】设，原方程可化为，整理得，因式分解得，解得，（舍去），∴，∴． 27．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【答案】， 【解析】解：∵方程的解是，，∴方程的解为或，解得，． 28．（2026·福建南平·模拟预测）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则原方程为，，，，． 29．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于一元二次方程，根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项：A选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；B选项：方程中，， ，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；C选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，，， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根，∴，其根的判别式，∵，∴， ∴，整理得：，∴，∴，即，则选项B正确；假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误；假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误；假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 31．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】一元二次方程有解，判别式，其中，，代入得，，对任意实数，都有，，结合，得，解得，将代入原方程，得，整理为，解得，所以该方程的解是和． 32．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，            第一步 ，             第二步 ，              第三步 或，              第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【解析】正确步骤如下：，， ，或，解得或．∴第三步的提取公因式出错． 33．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【解析】将所求方程移项变形得 ，∵一元二次方程的两根分别为，，∴可得或，解得，，∴一元二次方程的两根分别为，． 34．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【解析】关于x的方程是一元二次方程，且，解得，该一元二次方程为，整理，得，，，． 35．（2026·江苏连云港·中考真题）若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【解析】，且都不为，，， 设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值，即的最小值为． 36．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，；②，；③，． 【解析】解：选①，；方程为， ， ∴，∴，； 选②，；方程为， 因式分解得， ∴，， ∴，； 选③，；方程为， ， ∴方程无实数解． 37．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)（用配方法解方程）． 【解析】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，． （2）解：中，，， ， 则， 解得：，． （3）解：， ， ∴或， 解得：，． （4）解：， ， 或， ； （5）解：， ， ， ， ， ． 38．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【解析】（1）证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴，∴此方程总有实数根． （2）解：对， 因式分解得， ∴或，解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数，∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意；∴． 39．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【解析】解：，解得，，∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ，即第三边 ， ∴不符合要求，舍去，则第三边长为6，∴此三角形的周长为． 40．（2026·江苏南通·模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【解析】对于一元二次方程即，设，则可得，而关于x的一元二次方程的一个根是，所以有一个根为，所以，解得，所以一元二次方程必有一根为． 41．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】是二次方程，，解得．二次方程有两根，． ,即．或．解，得．解，得且，不合题意舍去．实数m的取值范围为． 42．（25-26九年级下·江西·期末）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【解析】设，依题意，∴或，∵中，，方程有两个不等实数解，依题意，满足条件的点有且仅有三个，∴方程有且只有一个解，∴，∵，∴， 所以方程，∴，∴，∴，解得：解方程∴，解得：综上所述，点的横坐标为1或或. 43．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【解析】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解，故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解，∴ ，即． ∵ 有意义，∴ ．∴ ． 故对任意一个完美方程，总有; （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数，∴正整数k的值为1或3． 44．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，，整理得，，解得，． 45．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴或， 解得或，∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长，∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7，∴该菱形的面积为． 46．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式，展开整理得， 即，∴，得，∵，等式两边同除以得． 47．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，，，方程有两个不相等的实数根．选项B：方程为，，，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，，，方程有两个不相等的实数根．选项D：方程为，，，方程没有实数根． 48．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】已知方程为 得 或 ，解得，，方程的一个根是， ，因此方程的另一个根为2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 求解一元二次方程 参考答案 解一元二次方程——直接开平方法题型01 1. C 2.4或/或4 3．4（答案不唯一） 解一元二次方程——配方法题型02 4.A 5.B 6.B 7.D 解一元二次方程——公式法题型03 8．C 9． 10． 11．【解析】解：对于方程，可得，，． ∴． ∴． 因为，， 所以方程的正数根为． 根据判别式判断一元二次方程根的情况题型04 12．D 13．A 14．B 15．C 根据一元二次方程根的情况求参数题型05 16．A 17．B 18．A 19．2 解一元二次方程——因式分解法题型06 20．D 21．， 22．或 23．， 24．【解析】解：． ， 或， 解得：，． 25．【解析】解：， ， ， ， 或， ，． 解一元二次方程——换元法题型07 26．C 27．， 28．D 29．D【解析】对于一元二次方程，根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项：A选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；B选项：方程中，， ，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；C选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，，， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 30．B【解析】∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根，∴，其根的判别式，∵，∴， ∴，整理得：，∴，∴，即，则选项B正确；假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误；假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误；假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 31．B【解析】一元二次方程有解，判别式，其中，，代入得，，对任意实数，都有，，结合，得，解得，将代入原方程，得，整理为，解得，所以该方程的解是和． 32．C【解析】正确步骤如下：，， ，或，解得或．∴第三步的提取公因式出错． 33．，/，【解析】将所求方程移项变形得 ，∵一元二次方程的两根分别为，，∴可得或，解得，，∴一元二次方程的两根分别为，． 34．，【解析】关于x的方程是一元二次方程，且，解得，该一元二次方程为，整理，得，，，． 35．/【解析】，且都不为，，，设则，原式 ， ， ，当时，原式取得最小值，即的最小值为． 36．【解析】解：选①，；方程为， ， ∴，∴，； 选②，；方程为， 因式分解得， ∴，， ∴，； 选③，；方程为， ， ∴方程无实数解． 37．【解析】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，． （2）解：中，，， ， 则， 解得：，． （3）解：， ， ∴或， 解得：，． （4）解：， ， 或， ； （5）解：， ， ， ， ， ． 38．【解析】（1）证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴，∴此方程总有实数根． （2）解：对， 因式分解得， ∴或，解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数，∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意；∴． 39．A【解析】解：，解得，，∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ，即第三边 ， ∴不符合要求，舍去，则第三边长为6，∴此三角形的周长为． 40．A【解析】对于一元二次方程即，设，则可得，而关于x的一元二次方程的一个根是，所以有一个根为，所以，解得，所以一元二次方程必有一根为． 41．【解析】是二次方程，，解得．二次方程有两根，． ,即．或．解，得．解，得且，不合题意舍去．实数m的取值范围为． 42．1或或 【解析】设，依题意，∴或，∵中，，方程有两个不等实数解，依题意，满足条件的点有且仅有三个，∴方程有且只有一个解，∴，∵，∴，所以方程，∴，∴，∴，解得：解方程∴，解得：综上所述，点的横坐标为1或或. 43．【解析】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解，故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解，∴ ，即． ∵ 有意义，∴ ．∴ ． 故对任意一个完美方程，总有; （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数，∴正整数k的值为1或3． 44．B 45．D 46．D 47．D 48． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $